| dbo:abstract
|
- Grupa rotací v trojrozměrném prostoru, v mechanice a geometrii často nazývaná SO(3), je grupa všech rotací kolem počátku souřadnic v Eukleidovském prostoru s operací skládání zobrazení. Podle definice rotace kolem počátku souřadnicového systému je to transformace, která zachovává počátek souřadnicového systému, eukleidovskou metriku (jde tedy o izometrické zobrazení) a orientaci (tj. nepřehazuje levou a pravou ruku). Každá netriviální rotace je určena svojí osou otáčení (přímkou procházející počátkem souřadnicového systému) a úhlem rotace. Složení dvou rotací dává jinou rotaci; ke každé rotaci existuje jednoznačná inverzní rotace; identita je nulovým prvkem (který také vyhovuje definici rotace). Vzhledem k výše uvedeným vlastnostem (spolu s asociativitou skládání rotací) je množina všech rotací grupou, jejíž grupovou operací je skládání zobrazení. Rotace nejsou komutativní (například rotace R o 90° v rovině x-y následovaná rotací S o 90° v rovině y-z není totéž jako S následované R), takže jde o . Grupa rotací má navíc přirozenou strukturu jako varieta, jejíž grupové operace jsou ; je to tedy Lieova grupa. Je to také kompaktní množina a má dimenzi 3. Rotace jsou lineární zobrazení a proto (je-li vybrána nějaká báze ) mohou být reprezentovány maticemi. Pokud použijeme ortonormální bázi prostoru , bude každá rotace popsána ortogonální maticí 3 × 3 (tj. maticí 3 × 3 s reálnými prvky, kterou když znásobíme s její transponovanou maticí dostaneme jednotkovou matici) s determinantem rovným jedné. Grupu SO(3) můžeme proto ztotožnit s grupou těchto matic s operací násobení matic. Tyto matice jsou známé jako „speciální ortogonální matice“, z čehož pochází označení SO(3). Grupa SO(3) se používá pro popis možných rotačních symetrií různých objektů, i možných orientací objektu v prostoru. Její reprezentace hrají důležitou roli ve fyzice, kde je jejich důsledkem celočíselný spin elementárních částic. (cs)
- In mechanics and geometry, the 3D rotation group, often denoted SO(3), is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a transformation that preserves the origin, Euclidean distance (so it is an isometry), and orientation (i.e., handedness of space). Composing two rotations results in another rotation, every rotation has a unique inverse rotation, and the identity map satisfies the definition of a rotation. Owing to the above properties (along composite rotations' associative property), the set of all rotations is a group under composition. Every non-trivial rotation is determined by its axis of rotation (a line through the origin) and its angle of rotation. Rotations are not commutative (for example, rotating R 90° in the x-y plane followed by S 90° in the y-z plane is not the same as S followed by R), making the 3D rotation group a nonabelian group. Moreover, the rotation group has a natural structure as a manifold for which the group operations are smoothly differentiable, so it is in fact a Lie group. It is compact and has dimension 3. Rotations are linear transformations of and can therefore be represented by matrices once a basis of has been chosen. Specifically, if we choose an orthonormal basis of , every rotation is described by an orthogonal 3 × 3 matrix (i.e., a 3 × 3 matrix with real entries which, when multiplied by its transpose, results in the identity matrix) with determinant 1. The group SO(3) can therefore be identified with the group of these matrices under matrix multiplication. These matrices are known as "special orthogonal matrices", explaining the notation SO(3). The group SO(3) is used to describe the possible rotational symmetries of an object, as well as the possible orientations of an object in space. Its representations are important in physics, where they give rise to the elementary particles of integer spin. (en)
- En matematiko, turnada grupo estas la grupo de ĉiuj turnadoj ĉirkaŭ la fonto de koordinatoj - la punkto (0, 0, 0) de 3-dimensia eŭklida spaco R3 sub la operacio de komponaĵo. Laŭ difino, turnado ĉirkaŭ la fonto estas lineara transformo kiu konservas longojn kaj orientiĝon (dekstrecon) de spaco. Longo-konservanta transformo kiu donas la malan orientiĝon estas . Kompono de du turnadoj donas ankaŭ turnadon. Ĉiu turnado havas unikan inversan turnadon. Ankaŭ estas turnado. Pro la pli supre donitaj propraĵoj, la aro de ĉiuj turnadoj estas grupo sub komponaĵo. Ankaŭ, la turnada grupo havas naturan sternaĵan strukturon por kiu la grupaj operacioj estas ; tiel ĝi estas fakte grupo de Lie. La turnada grupo estas ofte skribata kiel SO(3), vidu pli sube pri la kaŭzoj. La turnada grupo estas (ne komuta grupo). Tio estas ke gravas la ordo en kiu kelkaj turnadoj estas komponitaj. Ekzemple, kvaroncirkla turno je la pozitiva x-akso sekvita per kvaroncirkla turno je la pozitiva y-akso estas malsama turnado ol tiu ricevita per unue turno ĉirkaŭ y-akso kaj poste ĉirkaŭ x-akso. Ĉi tio estas malsama de turnado en du dimensioj, kie ordo de turnadoj ne gravas. (eo)
- Die Drehgruppe im engeren Sinn ist die spezielle orthogonale Gruppe oder auch aller Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum (falls ) oder in der reellen Ebene (falls ), in letzterem Fall heißt sie Kreisgruppe. Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen mit Determinante eins. Daneben wird eine Untergruppe dieser reellen Gruppen als Drehgruppe einer zwei- oder dreidimensionalen Figur bezeichnet, wenn sie alle Drehungen umfasst, die die Figur auf sich selbst abbilden, also die Untergruppe der Drehungen in der Symmetriegruppe des Körpers bzw. der Figur ist. Zur Unterscheidung wird die die volle -dimensionale Drehgruppe genannt. Im weiteren und übertragenen Sinn werden die speziellen orthogonalen Gruppen – das sind die Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe , deren Elemente orthogonale Matrizen mit Determinante eins sind – auch für höhere Dimensionen mit als (volle) Drehgruppen bezeichnet. (de)
- En mecánica y geometría, el grupo de rotación 3D, a menudo denominado SO(3), es el grupo de todos los movimiento de rotación sobre el origen de coordenadas en el espacio euclídeo tridimensional R3, bajo la operación de composición. Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación que conserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría) y la orientación (es decir, la mano del espacio). Cada rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación; cada rotación tiene una rotación inversa única; y la función identidad satisface la definición de una rotación. Debido a las propiedades anteriores (y en especial, a la asociatividad de las rotaciones compuestas), el conjunto de todas las rotaciones es un grupo bajo la composición de rotaciones. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, rotar R 90° en el plano xy y a continuación rotar S 90° en el plano yz, no es lo mismo que S seguido de R), por lo que es un . Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como una variedad para la que las operaciones del grupo son continuamente diferenciables; así que de hecho es un grupo de Lie. Además, es compacto y tiene dimensión 3. Las rotaciones son aplicaciones lineales de R3 y, por lo tanto, pueden representarse utilizando matrices una vez que se ha elegido una base de R3. Específicamente, si se elige una base ortonormal de R3, cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3×3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, cuando se multiplica por su matriz transpuesta, da como resultado la matriz identidad) y con determinante 1. Por lo tanto, el grupo SO(3) puede identificarse con el grupo de estas matrices bajo la multiplicación de matrices. Estas matrices se conocen como matrices ortogonales especiales, de donde procede la notación SO(3) (Special Orthogonal). El grupo SO(3) se utiliza para describir las posibles simetrías de rotación de un objeto, así como las diversas orientaciones de un objeto en el espacio. Sus representaciones son importantes en física, donde permiten caracterizar las partículas elementales de espín entero. (es)
- 3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다. (ko)
- In de mechanica en de meetkunde is de rotatiegroep de groep van alle rotaties rondom de oorsprong van driedimensionale euclidische ruimte R3 onder de operatie van samenstelling. Per definitie is een rotatie rondom de oorsprong een lineaire transformatie die de lengte van vectoren bewaart (het is een isometrie) en bewaart deze rotatie de oriëntatie (dat wil zeggen handedness) van de ruimte. Een lengte-bewarende transformatie die de oriëntatie omkeert wordt een genoemd. Elke oneigenlijk rotatie van de driedimensionale euclidische ruimte is een spiegeling in een vlak door de oorsprong. Het samenstellen van twee rotaties resulteert in een andere rotatie; iedere rotatie heeft een unieke inverse rotatie en de identiteitsfunctie voldoet aan de definitie van een rotatie. Door deze bovengenoemde eigenschappen, is de verzameling van alle rotaties een groep onder samenstelling. Bovendien heeft de rotatiegroep een natuurlijke variëteitsstructuur voor welke de groepsbewerkingen glad is; het is in feite dus een Lie-groep. De rotatiegroep wordt vaak aangeduid met SO(3). (nl)
- Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — ). (ru)
- Grupa obrotów SO(n) – grupa izometrii w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej, zachowująca bez zmian jeden punkt, zwany środkiem obrotu. Grupie tej odpowiada w sposób wzajemnie jednoznaczny grupa macierzy obrotu wymiaru (pl)
- Em mecânica (especialmente em mecânica quântica) e geometria, o grupo de rotação ou SO(3) é o grupo de todas as rotações sobre a origem de um espaço euclidiano tridimensional R3 sob a operação de composição. Por definição, uma rotação sobre a origem é uma transformação linear que preserva o comprimento dos vetores e preserva a (i.e. o sentido) do espaço. Uma transformação preservante de comprimento a qual preserva a orientação é chamada uma . Compondo duas rotações resulta em outra rotação; cada rotação tem uma única rotação inversa; e a função identidade satisfaz à definição de uma rotação. Apropriando-se das propriedades acima, o conjunto de todas as rotações é um grupo sob composição. Além disso, o grupo de rotação tem uma estrutura de variedade natural para a qual as operações de grupo são suaves; então ele é de fato um grupo de Lie. (pt)
- 在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。 兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。 (zh)
- У математиці SO(3) — група обертань навколо фіксованої точки (початку координат) в тривимірному евклідовому просторі. Назва виникла через те, що ця група ізоморфна спеціальній ортогональній групі ступеня 3. За визначенням, обертання навколо початку координат — це перетворення, що зберігає початок координат, евклідову відстань (так що це ізометрія), і орієнтацію (тобто, об'єктивність простору). Будь-яке нетривіальне обертання визначається його віссю (лінія, що проходить через початок координат) і кутом. Поєднання двох обертань призводить до іншого обертання; кожне обертання має унікальне зворотне обертання; і тотожне відображення задовольняє визначенню обертання. Внаслідок зазначених вище властивостей усі обертання утворюють групу. Крім того, група обертань має таку природну структуру як многовид, для якого групові операції є гладкими; так що це насправді група Лі. Вона компактна і має розмірність 3. Обертання це лінійні перетворення R3 і, отже, можуть бути представлені матрицями, щойно буде обраний базис R3. Зокрема, якщо ми виберемо ортонормований базис з R3, кожне обертання описується ортогональною матрицею 3х3 (тобто матриця 3х3 з дійсними елементами, які при множенні на транспоновану матрицю, призводять до одиничної матриці) з визначником 1. Група SO(3) визначається групою цих матриць при множенні матриць. Ці матриці відомі як «спеціальні ортогональні матриці», пояснюючи позначення SO(3). Група SO(3) застосовується для опису можливої обертальної симетрії об'єкта, а також можливої орієнтації об'єкта в просторі. Його представлення відіграють важливу роль у фізиці, де вони призводять до виникнення елементарних частинок цілого спіну. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- 3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다. (ko)
- Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — ). (ru)
- Grupa obrotów SO(n) – grupa izometrii w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej, zachowująca bez zmian jeden punkt, zwany środkiem obrotu. Grupie tej odpowiada w sposób wzajemnie jednoznaczny grupa macierzy obrotu wymiaru (pl)
- 在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。 兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。 (zh)
- Grupa rotací v trojrozměrném prostoru, v mechanice a geometrii často nazývaná SO(3), je grupa všech rotací kolem počátku souřadnic v Eukleidovském prostoru s operací skládání zobrazení. Podle definice rotace kolem počátku souřadnicového systému je to transformace, která zachovává počátek souřadnicového systému, eukleidovskou metriku (jde tedy o izometrické zobrazení) a orientaci (tj. nepřehazuje levou a pravou ruku). Každá netriviální rotace je určena svojí osou otáčení (přímkou procházející počátkem souřadnicového systému) a úhlem rotace. Složení dvou rotací dává jinou rotaci; ke každé rotaci existuje jednoznačná inverzní rotace; identita je nulovým prvkem (který také vyhovuje definici rotace). Vzhledem k výše uvedeným vlastnostem (spolu s asociativitou skládání rotací) je množina všech (cs)
- In mechanics and geometry, the 3D rotation group, often denoted SO(3), is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a transformation that preserves the origin, Euclidean distance (so it is an isometry), and orientation (i.e., handedness of space). Composing two rotations results in another rotation, every rotation has a unique inverse rotation, and the identity map satisfies the definition of a rotation. Owing to the above properties (along composite rotations' associative property), the set of all rotations is a group under composition. (en)
- En matematiko, turnada grupo estas la grupo de ĉiuj turnadoj ĉirkaŭ la fonto de koordinatoj - la punkto (0, 0, 0) de 3-dimensia eŭklida spaco R3 sub la operacio de komponaĵo. Laŭ difino, turnado ĉirkaŭ la fonto estas lineara transformo kiu konservas longojn kaj orientiĝon (dekstrecon) de spaco. Longo-konservanta transformo kiu donas la malan orientiĝon estas . (eo)
- Die Drehgruppe im engeren Sinn ist die spezielle orthogonale Gruppe oder auch aller Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum (falls ) oder in der reellen Ebene (falls ), in letzterem Fall heißt sie Kreisgruppe. Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen mit Determinante eins. Im weiteren und übertragenen Sinn werden die speziellen orthogonalen Gruppen – das sind die Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe , deren Elemente orthogonale Matrizen mit Determinante eins sind – auch für höhere Dimensionen mit als (volle) Drehgruppen bezeichnet. (de)
- En mecánica y geometría, el grupo de rotación 3D, a menudo denominado SO(3), es el grupo de todos los movimiento de rotación sobre el origen de coordenadas en el espacio euclídeo tridimensional R3, bajo la operación de composición. Por definición, una rotación sobre el origen es una transformación que conserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría) y la orientación (es decir, la mano del espacio). Cada rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. (es)
- In de mechanica en de meetkunde is de rotatiegroep de groep van alle rotaties rondom de oorsprong van driedimensionale euclidische ruimte R3 onder de operatie van samenstelling. Per definitie is een rotatie rondom de oorsprong een lineaire transformatie die de lengte van vectoren bewaart (het is een isometrie) en bewaart deze rotatie de oriëntatie (dat wil zeggen handedness) van de ruimte. Een lengte-bewarende transformatie die de oriëntatie omkeert wordt een genoemd. Elke oneigenlijk rotatie van de driedimensionale euclidische ruimte is een spiegeling in een vlak door de oorsprong. (nl)
- Em mecânica (especialmente em mecânica quântica) e geometria, o grupo de rotação ou SO(3) é o grupo de todas as rotações sobre a origem de um espaço euclidiano tridimensional R3 sob a operação de composição. Por definição, uma rotação sobre a origem é uma transformação linear que preserva o comprimento dos vetores e preserva a (i.e. o sentido) do espaço. Uma transformação preservante de comprimento a qual preserva a orientação é chamada uma . (pt)
- У математиці SO(3) — група обертань навколо фіксованої точки (початку координат) в тривимірному евклідовому просторі. Назва виникла через те, що ця група ізоморфна спеціальній ортогональній групі ступеня 3. За визначенням, обертання навколо початку координат — це перетворення, що зберігає початок координат, евклідову відстань (так що це ізометрія), і орієнтацію (тобто, об'єктивність простору). Будь-яке нетривіальне обертання визначається його віссю (лінія, що проходить через початок координат) і кутом. Поєднання двох обертань призводить до іншого обертання; кожне обертання має унікальне зворотне обертання; і тотожне відображення задовольняє визначенню обертання. Внаслідок зазначених вище властивостей усі обертання утворюють групу. Крім того, група обертань має таку природну структуру як мн (uk)
|
