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- Die polare Menge oder die Polare einer Menge ist ein mathematischer Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Dabei wird einer Menge eines Vektorraums eine Menge des Dualraums zugeordnet und umgekehrt. (de)
- In functional and convex analysis, and related disciplines of mathematics, the polar set is a special convex set associated to any subset of a vector space lying in the dual space The bipolar of a subset is the polar of but lies in (not ). (en)
- En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual. Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature :
* le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à ;
* le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ;
* le polaire de la boule unité fermée de la norme ℓp de ℝn est la boule unité fermée de la norme ℓq, avec 1/p + 1/q = 1. En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ). (fr)
- 函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合（きょくしゅうごう、英: polar set）とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。 双対組 が与えられたとき、 のある部分集合 の極集合あるいは極とは、次で定義される 内の集合 のことを言う。 の部分集合 の双極（bipolar）とは、 の極集合のことを言う。それは と表記される 内の集合である。 (ja)
- In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà. (it)
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- Die polare Menge oder die Polare einer Menge ist ein mathematischer Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Dabei wird einer Menge eines Vektorraums eine Menge des Dualraums zugeordnet und umgekehrt. (de)
- In functional and convex analysis, and related disciplines of mathematics, the polar set is a special convex set associated to any subset of a vector space lying in the dual space The bipolar of a subset is the polar of but lies in (not ). (en)
- 函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合（きょくしゅうごう、英: polar set）とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。 双対組 が与えられたとき、 のある部分集合 の極集合あるいは極とは、次で定義される 内の集合 のことを言う。 の部分集合 の双極（bipolar）とは、 の極集合のことを言う。それは と表記される 内の集合である。 (ja)
- In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà. (it)
- En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual. Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature : (fr)
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