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- En àlgebra, la descomposició en fraccions parcials és un mètode que s'utilitza per reduir el grau del numerador o del denominador (només un dels dos) d'una funció racional. Simbòlicament, es pot fer servir la descomposició en fraccions parcials per canviar una funció racional de la forma on ƒ i g són polinomis, en una funció de la forma on gj (x) són polinomis que són factors de g(x) i, en general, són de grau inferior. La descomposició en fraccions parcials es pot considerar, doncs, com el procediment invers de l'operació més elemental d'addició de fraccions, la qual dona com a resultat una única funció racional amb un numerador i denominador normalment de grau més elevat. La descomposició completa en fraccions parcials va fins al final, és a dir, es factoritza g tant com sigui possible. El resultat obtingut en aquest cas expressa la funció original com una suma de fraccions on:
* el denominador de cada terme és la potència d'un polinomi irreductible no factoritzable, i
* el numerador de cada terme és un polinomi de grau inferior que el polinomi irreductible. La motivació principal per descompondre una funció racional en una suma de fraccions més simples és que llavors és més fàcil dur a terme operacions lineals. És per això, doncs, que el problema de calcular derivades, antiderivades, integrals, sèries de potències, sèries de Fourier, residus i transformacions lineals es pot reduir gràcies a la descomposició en fraccions parcials, de tal manera que es faci el càlcul sobre cada element en comptes de fer-ho sobre l'element original. Vegeu, per exemple, Integració de fraccions racionals. La decisió de quins polinomis són irreductibles depèn de quin cos d'escalars s'adopti. Si es treballa amb nombres reals, llavors els polinomis irreductibles són de grau 1 o 2. Si es permeten nombres complexos, només els polinomis de primer grau són irreductibles. Finalment, si es permeten només nombres racionals, o un cos finit, llavors els graus dels polinomis irreductibles poden ser més elevats. (ca)
- Rozklad na parciální zlomky je v matematice rozklad racionální lomené funkce na součet polynomu (získaného metodou dělení polynomu polynomem) a zlomků J / H k, kde H je ireducibilní polynom a J je polynom stupně nižšího než stupeň H. Tento rozklad se používá v integrálním počtu k hledání primitivních funkcí racionálních funkcí. Používá se také pro výpočet inverzní Laplaceovy transformace. Určení, které polynomy jsou ireducibilní, závisí na použitém skalárním komutativním tělese. Pokud použijeme komplexní čísla, budou ireducibilní pouze polynomy prvního stupně. Pokud vezmeme reálná čísla, ireducibilní polynomy budou stupně prvního nebo druhého. Pokud bychom použili racionální čísla, můžeme nalézt ireducibilní polynomy libovolného stupně; totéž platí pro konečná tělesa. (cs)
- في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنجليزية: partial fraction decomposition) أو الكسور الجزئية هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة كسرية على الشكل: إلى شكل حيث و متعددتا حدود و معاملات يتم تحديدها. وتختلف طريقة الحل بناء على درجة دالتي البسط والمقام. (ar)
- Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung. Hier liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form dargestellt werden kann. Die sind dabei die Polstellen der Funktion. Sind die Polstellen bereits bekannt, so ist die Bestimmung der Zähler die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung. Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen und infolgedessen auch die Zahlen nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle auch die konjugiert komplexe Zahl Nullstelle ist. Statt und verwendet man dann einen Term , wobei ein reelles quadratisches Polynom ist und auch und reell sind. (de)
- Aljebran, frakzio sinpletako deskonposaketa (hau da, zenbakitzailea eta izendatzailea polinomialak diren zatiki bat edo batzuk), zenbakitzaile polinomial baten (agian zero) eta izendatzaile sinpleagoa baten arteko zatiketa bat edo batzuk adierazten dituen eragiketa bat da. Frakzio sinpletako deskonposaketaren garrantzia honako honetan datza: funtzio arrazionalak dituzten konputazio ezberdinetarako algoritmoak eskaintzen ditu, besteak beste, antideribatuen kalkulu esplizitua, Taylor serie hedapenak, Z-transformatu alderantzizkoak eta Laplace alderantzizkoak. Kontzeptua 1702an aurkitu zuten Johann Bernoulli eta Gottfried Leibnizek modu independentean. Sinbolikoki, funtzio arrazionalen frakzio sinpletako deskonposaketa horrela irudikatzen da: , non eta polinomioak diren, eta bere espresioa honakoa da: = + , bakoitzerako, izendatzailea polinomio irreduzible baten potentzia izanik (hau da, faktorizatu ezin daitekeen maila positiboko polinomioa), eta aldiz, zenbakitzailea aipatutako polinomio irreduzible hori baina maila txikiagoko polinomioa izanik. Kalkulu esplizitua egitean, zakarragoa den deskonposaketa egitea nahiago izaten da, eta berau polinomio irreduziblea karraturik gabeko polinomio baten ordezkatzean oinarritzen da. Kalkulu honek, faktorizatu beharreko polinomioa, askoz errazagoa den karraturik gabeko polinomio baten ordezkatzea ahalbidetzen du. Hau nahikoa izango da aplikazio gehienetan, eta honen bidez, koefiziente irrazionalak erabiltzea ekidin daiteke, hasierako polinomioen koefizienteak zenbaki osoak edo arrazionalak izanik. (eu)
- El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador. (es)
- In algebra, the partial fraction decomposition or partial fraction expansion of a rational fraction (that is, a fraction such that the numerator and the denominator are both polynomials) is an operation that consists of expressing the fraction as a sum of a polynomial (possibly zero) and one or several fractions with a simpler denominator. The importance of the partial fraction decomposition lies in the fact that it provides algorithms for various computations with rational functions, including the explicit computation of antiderivatives, Taylor series expansions, inverse Z-transforms, and inverse Laplace transforms. The concept was discovered independently in 1702 by both Johann Bernoulli and Gottfried Leibniz. In symbols, the partial fraction decomposition of a rational fraction of the form where f and g are polynomials, is its expression as wherep(x) is a polynomial, and, for each j,the denominator gj (x) is a power of an irreducible polynomial (that is not factorable into polynomials of positive degrees), andthe numerator fj (x) is a polynomial of a smaller degree than the degree of this irreducible polynomial. When explicit computation is involved, a coarser decomposition is often preferred, which consists of replacing "irreducible polynomial" by "square-free polynomial" in the description of the outcome. This allows replacing polynomial factorization by the much easier to compute square-free factorization. This is sufficient for most applications, and avoids introducing irrational coefficients when the coefficients of the input polynomials are integers or rational numbers. (en)
- En mathématiques, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle (parfois appelée décomposition en fractions partielles) est son expression comme somme d'un polynôme et de fractions J/Hk où H est un polynôme irréductible et J un polynôme de degré strictement inférieur à celui de H. Cette décomposition est utilisée dans le calcul intégral pour faciliter la recherche des primitives de la fonction rationnelle associée. Elle est aussi utilisée pour calculer des transformées de Laplace inverses. Déterminer quels polynômes sont irréductibles dépend du corps de scalaires utilisé. Ainsi, si les nombres complexes sont utilisés, seuls les polynômes de premier degré seront irréductibles. Si l'on se limite aux nombres réels, les polynômes irréductibles seront de degré 1 ou 2. Si l'on se limite aux nombres rationnels, on pourra trouver des polynômes irréductibles de degré arbitraire ; il en va de même sur les corps finis. (fr)
- 代数学における部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい、英: partial fraction decomposition）とは、有理式（あるいは分数式ともいう、多項式の商で表される式のこと）に対し、その有理式の分母が互いに素な多項式の積で表されるとき、その有理式を多項式と複数の有理式（ただし、分子の次数は分母の次数より小さい）の和で表すことをいう。このとき分解された各々の有理式の分母を通分すれば、当然ながら元の有理式の分母となる。 有理式からその部分分数分解を得ることを 「部分分数に分解する」 と言いまわすことがあるが、部分分数という実体があるわけではないことに注意。 例：
*
* 有理式の和分や積分においては、部分分数に分解することで計算が楽になることがある。 (ja)
- 대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다. (ko)
- Breuksplitsing of splitsen in partiële breuken is het herschrijven van een rationale functie als de som van een polynoom en een of meer rationale functies waarvan de noemers machten van irreducibele polynomen zijn, en waarvan de tellers telkens een kleinere graad hebben dan de irreducibele polynoom in de noemer. In het meest voorkomende geval beschouwen we polynomen en rationale functies met reële coëfficiënten. In die context hebben irreducibele polynomen graad 1 of 2, en de bijhorende tellers zijn dus constanten of polynomen van de eerste graad. Voor de irreducibele polynomen in de noemers kan men de irreducibele delers van de noemer van de oorspronkelijke rationale functie kiezen. De machten waarin ze optreden hoeven ook niet groter te zijn dan de macht waarmee ze voorkomen in de factorisatie van die oorspronkelijke noemer. (nl)
- In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale. Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale , in cui e sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma si considerano le frazioni , mentre per ogni fattore che ha la forma si considerano le frazioni: Si ottiene così la scrittura: e calcolando i coefficienti e si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi ad un'espressione del tipo: dove e sono polinomi di grado inferiore rispetto a e . Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile. (it)
- Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:
* mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
* licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1). Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste. To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni. Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych. (pl)
- Разложение рациональной дроби на простейшие ― представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и простейших дробей. Разложение на простейшие используется во многих задачах, например для интегрирования, разложения в ряд Лорана, расчёта обратного преобразования Лапласа рациональных функций. (ru)
- Em álgebra, Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace. Dada uma função racional , em que e são polinômios tais que o grau de Q seja maior que o grau de P, têm-se que: 1) Decomposição de fator linear com multiplicidade n. Exemplo: Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis. Rearrumando os termos do numerador: A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes das potências de e o numerador original, reagrupamos os termos. Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2 Portanto a nova fração é dada por: 2) Decomposição de um fator quadrático irredutível com multiplicidade n: 3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis: Exemplo: 4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside: Exemplo: Podemos reescrever a fração como; Agora usamos os limites para determinar os coeficientes. Logo a nova expressão é dada por: (pt)
- Partialbråksuppdelning är en metod för att överföra en rationell funktion till en summa av rationella funktioner (partialbråk) där är ett irreducibelt polynom och polynomet har lägre gradtal än . Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys som till exempel vid inverstransformering av rationella laplacetransformer, beräkning av antiderivator och inverstransformering av z-transformer. Partialbråken kan konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella): Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars är de faktoriserbara). Koefficienterna och är entydigt bestämda. (sv)
- 部分分式分解或部分分式展開（英語：Partial fraction decomposition），是將有理函數分解成許多次數較低有理函數和的形式，來降低分子或分母多項式的次數。分解後的分式需滿足以下條件：
* 分式的分母需為不可約多項式（irreducible polynomial）或其乘冪。
* 分式的分子多項式次數需比其分母多項式次數要低。 例： 分解後二分式的分母均為不可約多項式，分子次數比分母低，符合上述的條件。 簡單來說，部分分式分解的目的是將以下型式的有理函數： 其中 f 和 g 均為多項式，轉換為以下的型式 其中 hi 是 g(x) 的因式，次數較g(x)要低。因此一般會對g(x)作因式分解以得到所有的因式hi。 部分分式分解和有理函數相加的作用恰好相反：數個有理函數相加後，會變成一個有理函數，但分子及分母都比原來的次數要高；而部分分式分解會將一個有理函數變為數個分子及分母次數較小的有理函數。 部分分式分解的主要目的是將有理函數變為數個較簡單的有理函數，配合線性運算子處理時會比較方便。因此可以簡化有理函數導數、反導數、積分、冪級數展開、傅立葉級數、留數或其他線性函數轉換的計算。可以先針對每一個較簡單的有理函數進行處理，之後再相加得到結果。例如部分分式积分法就依此方式計算反導數。 部分分式分解的結果會是許多分母為「不可約多項式」。不過什麼樣的多項式不可約，則是依使用純量所在的域來決定。例如若只允許實數的純量出現，不可約多項式則為一次或二次的多項式；若允許複數的純量出現，則所有不可約多項式則都為一次多項式；若只允許整數或其他有限體的純量，有些二次以上的多項式也可能是不可約多項式。 (zh)
- Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на ) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками. Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше. Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми де ƒ і g є многочленами, до виразу форми де gj (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:
* знаменник кожного виразу степінь незвідного многочлена і
* чисельник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня чисельника напряму, можна використати , але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе. (uk)
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- في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنجليزية: partial fraction decomposition) أو الكسور الجزئية هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة كسرية على الشكل: إلى شكل حيث و متعددتا حدود و معاملات يتم تحديدها. وتختلف طريقة الحل بناء على درجة دالتي البسط والمقام. (ar)
- El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador. (es)
- 代数学における部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい、英: partial fraction decomposition）とは、有理式（あるいは分数式ともいう、多項式の商で表される式のこと）に対し、その有理式の分母が互いに素な多項式の積で表されるとき、その有理式を多項式と複数の有理式（ただし、分子の次数は分母の次数より小さい）の和で表すことをいう。このとき分解された各々の有理式の分母を通分すれば、当然ながら元の有理式の分母となる。 有理式からその部分分数分解を得ることを 「部分分数に分解する」 と言いまわすことがあるが、部分分数という実体があるわけではないことに注意。 例：
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* 有理式の和分や積分においては、部分分数に分解することで計算が楽になることがある。 (ja)
- 대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다. (ko)
- Разложение рациональной дроби на простейшие ― представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и простейших дробей. Разложение на простейшие используется во многих задачах, например для интегрирования, разложения в ряд Лорана, расчёта обратного преобразования Лапласа рациональных функций. (ru)
- En àlgebra, la descomposició en fraccions parcials és un mètode que s'utilitza per reduir el grau del numerador o del denominador (només un dels dos) d'una funció racional. Simbòlicament, es pot fer servir la descomposició en fraccions parcials per canviar una funció racional de la forma on ƒ i g són polinomis, en una funció de la forma on gj (x) són polinomis que són factors de g(x) i, en general, són de grau inferior. (ca)
- Rozklad na parciální zlomky je v matematice rozklad racionální lomené funkce na součet polynomu (získaného metodou dělení polynomu polynomem) a zlomků J / H k, kde H je ireducibilní polynom a J je polynom stupně nižšího než stupeň H. Tento rozklad se používá v integrálním počtu k hledání primitivních funkcí racionálních funkcí. Používá se také pro výpočet inverzní Laplaceovy transformace. (cs)
- Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung. Hier liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form dargestellt werden kann. Die sind dabei die Polstellen der Funktion. Sind die Polstellen bereits bekannt, so ist die Bestimmung der Zähler die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung. (de)
- Aljebran, frakzio sinpletako deskonposaketa (hau da, zenbakitzailea eta izendatzailea polinomialak diren zatiki bat edo batzuk), zenbakitzaile polinomial baten (agian zero) eta izendatzaile sinpleagoa baten arteko zatiketa bat edo batzuk adierazten dituen eragiketa bat da. Sinbolikoki, funtzio arrazionalen frakzio sinpletako deskonposaketa horrela irudikatzen da: , non eta polinomioak diren, eta bere espresioa honakoa da: = + , (eu)
- En mathématiques, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle (parfois appelée décomposition en fractions partielles) est son expression comme somme d'un polynôme et de fractions J/Hk où H est un polynôme irréductible et J un polynôme de degré strictement inférieur à celui de H. Cette décomposition est utilisée dans le calcul intégral pour faciliter la recherche des primitives de la fonction rationnelle associée. Elle est aussi utilisée pour calculer des transformées de Laplace inverses. (fr)
- In algebra, the partial fraction decomposition or partial fraction expansion of a rational fraction (that is, a fraction such that the numerator and the denominator are both polynomials) is an operation that consists of expressing the fraction as a sum of a polynomial (possibly zero) and one or several fractions with a simpler denominator. In symbols, the partial fraction decomposition of a rational fraction of the form where f and g are polynomials, is its expression as (en)
- In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale. Si ottiene così la scrittura: dove e sono polinomi di grado inferiore rispetto a e . (it)
- Breuksplitsing of splitsen in partiële breuken is het herschrijven van een rationale functie als de som van een polynoom en een of meer rationale functies waarvan de noemers machten van irreducibele polynomen zijn, en waarvan de tellers telkens een kleinere graad hebben dan de irreducibele polynoom in de noemer. (nl)
- Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:
* mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
* licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1). Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych. (pl)
- Em álgebra, Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace. Dada uma função racional , em que e são polinômios tais que o grau de Q seja maior que o grau de P, têm-se que: 1) Decomposição de fator linear com multiplicidade n. Exemplo: Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis. (pt)
- Partialbråksuppdelning är en metod för att överföra en rationell funktion till en summa av rationella funktioner (partialbråk) där är ett irreducibelt polynom och polynomet har lägre gradtal än . Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys som till exempel vid inverstransformering av rationella laplacetransformer, beräkning av antiderivator och inverstransformering av z-transformer. Partialbråken kan konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella): (sv)
- 部分分式分解或部分分式展開（英語：Partial fraction decomposition），是將有理函數分解成許多次數較低有理函數和的形式，來降低分子或分母多項式的次數。分解後的分式需滿足以下條件：
* 分式的分母需為不可約多項式（irreducible polynomial）或其乘冪。
* 分式的分子多項式次數需比其分母多項式次數要低。 例： 分解後二分式的分母均為不可約多項式，分子次數比分母低，符合上述的條件。 簡單來說，部分分式分解的目的是將以下型式的有理函數： 其中 f 和 g 均為多項式，轉換為以下的型式 其中 hi 是 g(x) 的因式，次數較g(x)要低。因此一般會對g(x)作因式分解以得到所有的因式hi。 部分分式分解和有理函數相加的作用恰好相反：數個有理函數相加後，會變成一個有理函數，但分子及分母都比原來的次數要高；而部分分式分解會將一個有理函數變為數個分子及分母次數較小的有理函數。 部分分式分解的主要目的是將有理函數變為數個較簡單的有理函數，配合線性運算子處理時會比較方便。因此可以簡化有理函數導數、反導數、積分、冪級數展開、傅立葉級數、留數或其他線性函數轉換的計算。可以先針對每一個較簡單的有理函數進行處理，之後再相加得到結果。例如部分分式积分法就依此方式計算反導數。 (zh)
- Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на ) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками. Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше. Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми (uk)
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