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- El teorema dels quatre quadrats de Lagrange, també anomenat conjectura de Bachet, va ser demostrat el 1770 per Joseph Louis Lagrange. Diu que qualsevol nombre enter positiu és la suma de quatre quadrats enters. (ca)
- Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích je tvrzení z oboru teorie čísel, které říká, že každé přirozené číslo lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Tedy pro každé přirozené n existují taková celá čísla a, b, c a d, že: Větu dokázal Joseph Louis Lagrange v roce 1770. (cs)
- مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج (بالإنجليزية: Lagrange's four-square theorem) تعرف أيضا باسم حدسية باشي. تنص هذه المبرهنة على أن أي عدد طبيعي يمكن أن يكتب على شكل مجموع أربعة مربعات لأعداد صحيحة طبيعية : بُرهن على هاته المبرهنة من طرف جوزيف لويس لاغرانج في عام 1770. على سبيل المثال، الأعداد 3 و 31 و 310 يمكن أن تكتب على شكل مجموع أربعة مربعات كما يلي : 3 = 12 + 12 + 12 + 0231 = 52 + 22 + 12 + 12310 = 172 + 42 + 22 + 12. (ar)
- Der Vier-Quadrate-Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dieser Satz lautet: Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden. Beispiele: 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 0 + 0 + 07 = 4 + 1 + 1 + 131 = 25 + 4 + 1 + 1 = 9 + 9 + 9 + 4 Diese Aussage wurde 1621 von Bachet in seiner einflussreichen Diophant-Ausgabe vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen, mittels einer 1748 von Euler gefundenen Identität, die das Problem auf Primzahlen reduzierte. (de)
- El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, también conocido como la conjetura de Bachet se demostró en 1770 por Joseph Louis Lagrange. Dice que cada número entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados de enteros. Por ejemplo, 31 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2 310 = 17 2 + 4 2 + 2 2 + 1 2 Más formalmente, para cada entero positivo n, existen números enteros no negativos a, b, c, d como que: n = a2 + b2 + c2 + d2 Adrien-Marie Legendre mejoró el teorema en 1798 demostrando que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4 k (8 m + 7). Su prueba estaba incompleta, dejando un hueco que después llenó Carl Friedrich Gauss. En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi encontró la fórmula exacta para el número total de maneras en que un número entero positivo n dado puede representarse como la suma de cuatro cuadrados. Este número es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par. El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y del problema de Waring. (es)
- Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'énonce de la façon suivante : Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés. Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers a, b, c, d tels que : n = a2 + b2 + c2 + d2. Il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler : (fr)
- Lagrange's four-square theorem, also known as Bachet's conjecture, states that every natural number can be represented as the sum of four integer squares. That is, the squares form an additive basis of order four. where the four numbers are integers. For illustration, 3, 31, and 310 in several ways, can be represented as the sum of four squares as follows: This theorem was proven by Joseph Louis Lagrange in 1770. It is a special case of the Fermat polygonal number theorem. (en)
- 数学において、ラグランジュの四平方定理(Lagrange's four square theorem)は、全ての自然数が高々四個の平方数の和で表されることを主張する定理である。これはフェルマーの多角数定理の四角数の場合に当たり、ウェアリングの問題の二次の場合に当たる。ヤコビの四平方定理(Jacobi's -)は自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理である。 (ja)
- Il teorema dei quattro quadrati, conosciuto anche come congettura di Bachet, afferma che ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) quattro quadrati perfetti. Ad esempio: 3 = 12 + 12 + 12 + 0231 = 52 + 22 + 12 + 12310 = 172 + 42 + 22 + 12. Più formalmente, per ogni intero positivo n esistono interi non-negativi a, b, c, d tali che n = a2 + b2 + c2 + d2. (it)
- 수론에서 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 영어: Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다. (ko)
- O teorema de Fermat-Lagrange é um teorema enunciado por Fermat e demonstrado por Lagrange no século XVIII e de forma mais elegante por Euler en 1815. Esse teorema enuncia que todo inteiro se escreve :
* como soma de no máximo 3 números triangulares
* como soma de no máximo 4 números quadrados
* como soma de no máximo 5 números pentagonais
* etc. (pt)
- De vier-kwadratenstelling van Lagrange, ook bekend als het vermoeden van Bachet, werd in 1770 bewezen door Joseph-Louis Lagrange. Een eerder bewijs door Fermat werd nooit gepubliceerd. De stelling is bekend uit de Arithmetica van Diophantus, in het Latijn vertaald door Bachet in 1621. De stelling zegt dat ieder positief geheel getal geschreven kan worden als de som van vier kwadraten van gehele getallen. Bijvoorbeeld: Formeler, voor elk positief geheel getal zijn er gehele getallen en zodat Adrien-Marie Legendre verbeterde de stelling in 1798 door te stellen dat een positief geheel getal kan worden geschreven als de som van drie kwadraten dan en slechts dan als het niet van de vorm is. Zijn bewijs was incompleet en liet een gat over dat later door Carl Friedrich Gauss werd gedicht. In 1834 vond Carl Jacobi een exacte formule voor het totale aantal manieren waarop een gegeven positief geheel getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Dat aantal is acht keer de som van de delers van als oneven is, en 24 keer de som van zijn oneven delers als even is. De vier-kwadraten-stelling van Lagrange is een speciaal geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat en van het probleem van Waring. Een andere generalisatie is de volgende: Gegeven de natuurlijke getallen en , kunnen daarbij voor elk positief geheel getal gehele getallen en gevonden worden, zodat geldt (*): ? Het geval dat wordt door de vier-kwadratenstelling van Lagrange positief beantwoord. De algemene oplossing werd gevonden door Srinivasa Aaiyangar Ramanujan. Aannemende, zonder de algemeenheid te verliezen, dat , bewees hij dat er precies 54 mogelijke keuzes voor en zijn, zodat (*) oplosbaar is in en voor alle . (Ramanujan gaf nog een 55e mogelijkheid , maar in dit geval is er geen oplossing van (*) voor .[1]). De studie naar deze gevallen leverde uiteindelijk verdere generalisatie op naar de 15- en 290-stelling. (nl)
- Twierdzenie Lagrange'a – twierdzenie w teorii liczb mówiące, że każda liczba całkowita nieujemna jest sumą kwadratów czterech liczb całkowitych. Taki rozkład nie jest zawsze jednoznaczny, mamy dla przykładu: oraz Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange'a. (pl)
- Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел. Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що : Наприклад: Теорема доведена Лагранжем в 1770 році.Довільне натуральне число, що не записується у виді можна також записати як суму квадратів трьох чисел. (uk)
- Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году. Теорема является решением проблемы Варинга для степени . Поскольку числа вида где , непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди . Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа с помощью арифметических операций. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов. Примеры: (ru)
- 四平方和定理 （英語：Lagrange's four-square theorem） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。 (zh)
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- It is sufficient to prove the theorem for every odd prime number p. This immediately follows from Euler's four-square identity .
The residues of a2 modulo p are distinct for every a between 0 and .
To see this, take some a and define c as a2 mod p.
a is a root of the polynomial over the field .
So is .
In a field K, any polynomial of degree n has at most n distinct roots ,
so there are no other a with this property, in particular not among 0 to .
Similarly, for b taking integral values between 0 and , the are distinct.
By the pigeonhole principle, there are a and b in this range, for which a2 and are congruent modulo p, that is for which
Now let m be the smallest positive integer such that mp is the sum of four squares, . We show by contradiction that m equals 1: supposing it is not the case, we prove the existence of a positive integer r less than m, for which rp is also the sum of four squares .
For this purpose, we consider for each x'i the y'i which is in the same residue class modulo m and between and m/2 . It follows that , for some strictly positive integer r less than m.
Finally, another appeal to Euler's four-square identity shows that . But the fact that each x'i is congruent to its corresponding y'i implies that all of the zi are divisible by m. Indeed,
It follows that, for , , and this is in contradiction with the minimality of m.
In the descent above, we must rule out both the case , and also the case . For both of those cases, one can check that would be a multiple of m2, contradicting the fact that p is a prime greater than m. (en)
- The Hurwitz quaternions consist of all quaternions with integer components and all quaternions with half-integer components. These two sets can be combined into a single formula
where are integers. Thus, the quaternion components are either all integers or all half-integers, depending on whether is even or odd, respectively. The set of Hurwitz quaternions forms a ring; that is to say, the sum or product of any two Hurwitz quaternions is likewise a Hurwitz quaternion.
The (arithmetic, or field) norm of a rational quaternion is the nonnegative rational number
where is the conjugate of . Note that the norm of a Hurwitz quaternion is always an integer.
Since quaternion multiplication is associative, and real numbers commute with other quaternions, the norm of a product of quaternions equals the product of the norms:
For any , . It follows easily that is a unit in the ring of Hurwitz quaternions if and only if .
The proof of the main theorem begins by reduction to the case of prime numbers. Euler's four-square identity implies that if Langrange's four-square theorem holds for two numbers, it holds for the product of the two numbers. Since any natural number can be factored into powers of primes, it suffices to prove the theorem for prime numbers. It is true for . To show this for an odd prime integer , represent it as a quaternion and assume for now that it is not a Hurwitz irreducible; that is, it can be factored into two non-unit Hurwitz quaternions
The norms of are integers such that
and . This shows that both and are equal to , and is the sum of four squares
If it happens that the chosen has half-integer coefficients, it can be replaced by another Hurwitz quaternion. Choose in such a way that has even integer coefficients. Then
Since has even integer coefficients, will have integer coefficients and can be used instead of the original to give a representation of as the sum of four squares.
As for showing that is not a Hurwitz irreducible, Lagrange proved that any odd prime divides at least one number of the form , where and are integers. This can be seen as follows: since is prime, can hold for integers , only when . Thus, the set of squares contains distinct residues modulo . Likewise, contains residues. Since there are only residues in total, and , the sets and must intersect.
The number can be factored in Hurwitz quaternions:
The norm on Hurwitz quaternions satisfies a form of the Euclidean property: for any quaternion with rational coefficients we can choose a Hurwitz quaternion so that by first choosing so that and then so that for . Then we obtain
It follows that for any Hurwitz quaternions with , there exists a Hurwitz quaternion such that
The ring of Hurwitz quaternions is not commutative, hence it is not an actual Euclidean domain, and it does not have unique factorization in the usual sense. Nevertheless, the property above implies that every right ideal is principal. Thus, there is a Hurwitz quaternion such that
In particular, for some Hurwitz quaternion . If were a unit, would be a multiple of , however this is impossible as is not a Hurwitz quaternion for . Similarly, if were a unit, we would have
so divides , which again contradicts the fact that is not a Hurwitz quaternion. Thus, is not Hurwitz irreducible, as claimed. (en)
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- Proof using the Hurwitz integers (en)
- The classical proof (en)
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- El teorema dels quatre quadrats de Lagrange, també anomenat conjectura de Bachet, va ser demostrat el 1770 per Joseph Louis Lagrange. Diu que qualsevol nombre enter positiu és la suma de quatre quadrats enters. (ca)
- Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích je tvrzení z oboru teorie čísel, které říká, že každé přirozené číslo lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Tedy pro každé přirozené n existují taková celá čísla a, b, c a d, že: Větu dokázal Joseph Louis Lagrange v roce 1770. (cs)
- مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج (بالإنجليزية: Lagrange's four-square theorem) تعرف أيضا باسم حدسية باشي. تنص هذه المبرهنة على أن أي عدد طبيعي يمكن أن يكتب على شكل مجموع أربعة مربعات لأعداد صحيحة طبيعية : بُرهن على هاته المبرهنة من طرف جوزيف لويس لاغرانج في عام 1770. على سبيل المثال، الأعداد 3 و 31 و 310 يمكن أن تكتب على شكل مجموع أربعة مربعات كما يلي : 3 = 12 + 12 + 12 + 0231 = 52 + 22 + 12 + 12310 = 172 + 42 + 22 + 12. (ar)
- Der Vier-Quadrate-Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dieser Satz lautet: Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden. Beispiele: 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 0 + 0 + 07 = 4 + 1 + 1 + 131 = 25 + 4 + 1 + 1 = 9 + 9 + 9 + 4 Diese Aussage wurde 1621 von Bachet in seiner einflussreichen Diophant-Ausgabe vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen, mittels einer 1748 von Euler gefundenen Identität, die das Problem auf Primzahlen reduzierte. (de)
- Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'énonce de la façon suivante : Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés. Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers a, b, c, d tels que : n = a2 + b2 + c2 + d2. Il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler : (fr)
- Lagrange's four-square theorem, also known as Bachet's conjecture, states that every natural number can be represented as the sum of four integer squares. That is, the squares form an additive basis of order four. where the four numbers are integers. For illustration, 3, 31, and 310 in several ways, can be represented as the sum of four squares as follows: This theorem was proven by Joseph Louis Lagrange in 1770. It is a special case of the Fermat polygonal number theorem. (en)
- 数学において、ラグランジュの四平方定理(Lagrange's four square theorem)は、全ての自然数が高々四個の平方数の和で表されることを主張する定理である。これはフェルマーの多角数定理の四角数の場合に当たり、ウェアリングの問題の二次の場合に当たる。ヤコビの四平方定理(Jacobi's -)は自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理である。 (ja)
- Il teorema dei quattro quadrati, conosciuto anche come congettura di Bachet, afferma che ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) quattro quadrati perfetti. Ad esempio: 3 = 12 + 12 + 12 + 0231 = 52 + 22 + 12 + 12310 = 172 + 42 + 22 + 12. Più formalmente, per ogni intero positivo n esistono interi non-negativi a, b, c, d tali che n = a2 + b2 + c2 + d2. (it)
- 수론에서 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 영어: Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다. (ko)
- O teorema de Fermat-Lagrange é um teorema enunciado por Fermat e demonstrado por Lagrange no século XVIII e de forma mais elegante por Euler en 1815. Esse teorema enuncia que todo inteiro se escreve :
* como soma de no máximo 3 números triangulares
* como soma de no máximo 4 números quadrados
* como soma de no máximo 5 números pentagonais
* etc. (pt)
- Twierdzenie Lagrange'a – twierdzenie w teorii liczb mówiące, że każda liczba całkowita nieujemna jest sumą kwadratów czterech liczb całkowitych. Taki rozkład nie jest zawsze jednoznaczny, mamy dla przykładu: oraz Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange'a. (pl)
- Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел. Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що : Наприклад: Теорема доведена Лагранжем в 1770 році.Довільне натуральне число, що не записується у виді можна також записати як суму квадратів трьох чисел. (uk)
- 四平方和定理 （英語：Lagrange's four-square theorem） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。 (zh)
- El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, también conocido como la conjetura de Bachet se demostró en 1770 por Joseph Louis Lagrange. Dice que cada número entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados de enteros. Por ejemplo, 31 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2 310 = 17 2 + 4 2 + 2 2 + 1 2 Más formalmente, para cada entero positivo n, existen números enteros no negativos a, b, c, d como que: n = a2 + b2 + c2 + d2 El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat y del problema de Waring. (es)
- De vier-kwadratenstelling van Lagrange, ook bekend als het vermoeden van Bachet, werd in 1770 bewezen door Joseph-Louis Lagrange. Een eerder bewijs door Fermat werd nooit gepubliceerd. De stelling is bekend uit de Arithmetica van Diophantus, in het Latijn vertaald door Bachet in 1621. De stelling zegt dat ieder positief geheel getal geschreven kan worden als de som van vier kwadraten van gehele getallen. Bijvoorbeeld: Formeler, voor elk positief geheel getal zijn er gehele getallen en zodat ? (nl)
- Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году. Примеры: (ru)
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- مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج (ar)
- Teorema dels quatre quadrats (ca)
- Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích (cs)
- Vier-Quadrate-Satz (de)
- Teorema de los cuatro cuadrados (es)
- Théorème des quatre carrés de Lagrange (fr)
- Teorema dei quattro quadrati (it)
- Lagrange's four-square theorem (en)
- 라그랑주 네 제곱수 정리 (ko)
- 四平方定理 (ja)
- Vier-kwadratenstelling van Lagrange (nl)
- Twierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych (pl)
- Teorema de Fermat-Lagrange (pt)
- Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов (ru)
- 四平方和定理 (zh)
- Теорема Лагранжа про чотири квадрати (uk)
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