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- In mathematics, certain systems of partial differential equations are usefully formulated, from the point of view of their underlying geometric and algebraic structure, in terms of a system of differential forms. The idea is to take advantage of the way a differential form restricts to a submanifold, and the fact that this restriction is compatible with the exterior derivative. This is one possible approach to certain over-determined systems, for example, including Lax pairs of integrable systems. A Pfaffian system is specified by 1-forms alone, but the theory includes other types of example of differential system. To elaborate, a Pfaffian system is a set of 1-forms on a smooth manifold (which one sets equal to 0 to find solutions to the system). Given a collection of differential 1-forms on an -dimensional manifold , an integral manifold is an immersed (not necessarily embedded) submanifold whose tangent space at every point is annihilated by (the pullback of) each . A maximal integral manifold is an immersed (not necessarily embedded) submanifold such that the kernel of the restriction map on forms is spanned by the at every point of . If in addition the are linearly independent, then is-dimensional. A Pfaffian system is said to be completely integrable if admits a foliation by maximal integral manifolds. (Note that the foliation need not be regular; i.e. the leaves of the foliation might not be embedded submanifolds.) An integrability condition is a condition on the to guarantee that there will be integral submanifolds of sufficiently high dimension. (en)
- 数学において、ある種の偏微分方程式系は、内在する幾何学的ないし代数的構造の観点から微分形式の言葉で定式化される。動機は、微分形式を用いて部分多様体を制限する手法を適用し、この制限手法と外微分が整合する事実を活用することにある。この定式化は、例えばある種の(over-determined system)に対するアプローチの候補となる。パフィアン系(Pfaffian system)は 1-形式によって指定される一方で、この理論は他のタイプの微分方程式系(differential system)も対象として含む。 n-次元多様体 M 上で微分可能な 1-形式 αi (i=1,2, ..., k) が与えられた時、積分可能多様体(integral manifold)とは、部分多様体 N であって、全ての点 p ∈ N における接空間が各々の αi により消去されるものをいう。 最大積分可能多様体(maximal integral manifold)は部分多様体 であり、形式 上への制限写像の核(kernel)が N の全ての点 p で αi ではられるような部分多様体である。加えて、 αi が線型独立であれば、N は (n − k)-次元である。i: N ⊂ M は埋め込まれた多様体である必要はないことに注意する。 パフィアン系は、N が最大積分可能多様体により(foliation)を持つときに、完全可積分(completely integrable)と言われる。（葉層構造は、必ずしも正規(regular)である必要はない、つまり、葉層構造の葉は部分多様体に埋め込まれていなくともよい。） 可積分条件(integrability condition)は、αi 上の条件で十分に大きな次元で積分可能な部分多様体が存在することを保証する条件を言う。 (ja)
- Równanie Pfaffa – typ równania różniczkowego cząstkowego o zmiennych, rozważanego w geometrii różniczkowej. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Johanna Pfaffa. (pl)
- Пфа́ффово уравнение — уравнение вида , где — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия размерности . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа. Если на многообразии введены (локальные) координаты , то пфаффово уравнение (локально) имеет вид где — скалярные функции, заданные на .Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме: . (ru)
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- Równanie Pfaffa – typ równania różniczkowego cząstkowego o zmiennych, rozważanego w geometrii różniczkowej. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Johanna Pfaffa. (pl)
- Пфа́ффово уравнение — уравнение вида , где — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия размерности . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа. Если на многообразии введены (локальные) координаты , то пфаффово уравнение (локально) имеет вид где — скалярные функции, заданные на .Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме: . (ru)
- In mathematics, certain systems of partial differential equations are usefully formulated, from the point of view of their underlying geometric and algebraic structure, in terms of a system of differential forms. The idea is to take advantage of the way a differential form restricts to a submanifold, and the fact that this restriction is compatible with the exterior derivative. This is one possible approach to certain over-determined systems, for example, including Lax pairs of integrable systems. A Pfaffian system is specified by 1-forms alone, but the theory includes other types of example of differential system. To elaborate, a Pfaffian system is a set of 1-forms on a smooth manifold (which one sets equal to 0 to find solutions to the system). (en)
- 数学において、ある種の偏微分方程式系は、内在する幾何学的ないし代数的構造の観点から微分形式の言葉で定式化される。動機は、微分形式を用いて部分多様体を制限する手法を適用し、この制限手法と外微分が整合する事実を活用することにある。この定式化は、例えばある種の(over-determined system)に対するアプローチの候補となる。パフィアン系(Pfaffian system)は 1-形式によって指定される一方で、この理論は他のタイプの微分方程式系(differential system)も対象として含む。 n-次元多様体 M 上で微分可能な 1-形式 αi (i=1,2, ..., k) が与えられた時、積分可能多様体(integral manifold)とは、部分多様体 N であって、全ての点 p ∈ N における接空間が各々の αi により消去されるものをいう。 最大積分可能多様体(maximal integral manifold)は部分多様体 であり、形式 上への制限写像の核(kernel)が N の全ての点 p で αi ではられるような部分多様体である。加えて、 αi が線型独立であれば、N は (n − k)-次元である。i: N ⊂ M は埋め込まれた多様体である必要はないことに注意する。 (ja)
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- Integrability conditions for differential systems (en)
- 微分方程式系の可積分条件 (ja)
- Równanie Pfaffa (pl)
- Пфаффово уравнение (ru)
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