| dbo:abstract
|
- Věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, Picardova–Lindelöfova věta, Picardova existenční věta nebo Cauchyho–Lipschitzova věta je důležitá matematická věta o existenci a řešení obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu s danými počátečními podmínkami. Věta je pojmenovaná po Émile Picard, , Rudolf Lipschitz a Augustin Louis Cauchy. Uvažujme počáteční úlohu Předpokládejme, že f je lipschitzovsky spojitá v y a spojitá v t. Pak pro nějakou hodnotu ε > 0, existuje jednoznačné řešení y(t) počáteční úlohy na intervalu . (cs)
- El teorema de Picard-Lindelof (de vegades anomenat simplement teorema de Picard, altres teorema de Cauchy-Lipschitz) és un resultat matemàtic de gran importància dins de l'estudi de les equacions diferencials ordinàries (EDO's). Estableix sota quines condicions pot assegurar-se l'existència i unicitat de solució d'una EDO donat un problema de Cauchy (problema de valor inicial). (ca)
- تعتبر مبرهنة بيكار ليندلوف إلى جانب أحد المبرهنات الرئيسية في الرياضيات في مجال .يبدو أن المبرهنة نشرت لأول مرة سنة 1890 من قبل الرياضياتي الفينلاندي أرنست ليونارد ليندلوف Ernst Leonard Lindelöf في مقال يتعلق بقابلية المعادلات التفاضلية للحل. في نفس الفترة كان العالم والرياضياتي شارل إيميل بيكارد يدرس خوارزميات حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الشيء الذي أفرز عن خوارزمية بيكارد التكرارية التي تعتمد لبرهنة مبرهنة بيكار ليندلوف. (ar)
- Der Satz von Picard-Lindelöf ist in der Mathematik, neben dem Satz von Peano, ein grundlegender Satz der Theorie über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Er wurde erstmals 1890 von Ernst Leonard Lindelöf in einem Artikel zur Lösbarkeit von Differentialgleichungen aufgestellt. Um die gleiche Zeit beschäftigte sich auch Émile Picard mit der schrittweisen Approximation von Lösungen. Diese Picarditeration, eine Fixpunktiteration im Sinne des Fixpunktsatzes von Banach, ist der Kern moderner Beweise dieses Satzes. Er wird auch als Satz von Cauchy-Lipschitz bezeichnet (nach Augustin-Louis Cauchy und Rudolf Lipschitz) oder als Existenzsatz von Picard. Ähnlich wie im Satz von Peano wird auch dieser Satz in mehreren, aufeinander aufbauenden Versionen formuliert und bewiesen. 1.
* Die lokale Version besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung (s. u.) in einer gewissen Umgebung von eindeutig gelöst werden kann. Die Größe dieser Umgebung hängt dabei stark von der rechten Seite ab. 2.
* Die globale Version besagt, dass ein solches Anfangswertproblem, das auf einem senkrechten Streifen eine globale Lipschitz-Bedingung erfüllt, auf dem gesamten Intervall eine eindeutige Lösung besitzt. Besitzt man erst einmal eine (lokale) Lösung, kann man aus dieser in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. In dieser Hinsicht ist der Satz von Picard-Lindelöf der erste Schritt für die Existenztheorie einer Differentialgleichung. Bemerkung zur theoretischen Einbettung: Im Sinne einer möglichst knappen Darstellung ist es ausreichend, aus der Stetigkeit der rechten Seite mit dem Satz von Peano auf die Existenz von (möglicherweise mehreren) maximalen Lösungen zu schließen, und mit der gronwallschen Ungleichung auf die Eindeutigkeit der Lösung. Dieser Weg wird in einführenden Kursen meist nicht gewählt, da der Satz von Peano auf dem Satz von Arzelà-Ascoli aufbaut, während der Satz von Picard-Lindelöf mit wesentlich elementareren Mitteln, wie dem Fixpunktsatz von Banach, bewiesen werden kann. (de)
- Στα μαθηματικά, στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, το θεώρημα Πικάρ-Λίντελεφ, θεώρημα ύπαρξης του Πικάρ ή θεώρημα Κωσύ-Λίπσιτς είναι ένα σημαντικό θεώρημα για την ύπαρξη και των λύσεων για τις εξισώσεις πρώτης τάξης με . Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους , , και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Θεωρούμε το Ας υποθέσουμε ότι f είναι ομοιόμορφα στο y (εννοώντας ότι η σταθερά Λίπσιτς μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη του t) και συνεχής στο t. Τότε, για κάποια τιμή ε > 0, υπάρχει μια μοναδική λύση y(t) στο πρόβλημα αρχικών τιμών στο διάστημα . Η απόδειξη στηρίζεται στον μετασχηματισμό της διαφορικής εξίσωσης, και την εφαρμογή της θεωρίας σταθερού σημείου. Ολοκληρόνωντας και τις δύο πλευρές, κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση, πρέπει επίσης να ικανοποιεί και την ολοκληρωτική εξίσωση Μια απλή απόδειξη της ύπαρξης της λύσης προκύπτει από διαδοχικές προσεγγίσεις. Στο πλαίσιο αυτό, η μέθοδος είναι γνωστή ως . Θέτουμε και Στη συνέχεια, μπορεί να αποδειχθεί, χρησιμοποιώντας το , ότι η ακολουθία των "προσεγγίσεων Πικάρ" φk συγκλίνει και αυτό το όριο είναι μια λύση στο πρόβλημα. Μια εφαρμογή της του στο |φ(t) − ψ(t)|, όπου φ και ψ είναι δύο λύσεις, δείχνει ότι φ(t) = ψ(t), αποδεικνύοντας έτσι την παγκόσμια μοναδικότητα (η τοπική μοναδικότητα είναι μια συνέπεια της μοναδικότητας του σταθερού σημείου του Μπάναχ). (el)
- El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial). (es)
- En mathématiques et plus précisément en analyse, le théorème de Cauchy-Lipschitz, appelé également théorème de Picard-Lindelöf ou théorème d'existence de Picard, concerne les solutions d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses de régularité de la fonction définissant l'équation, le théorème garantit l'existence d'une solution répondant à une et l'unicité d'une . Certaines lois physiques, comme le principe fondamental de la dynamique, se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème. Ce dernier assure alors le caractère déterministe du mécanisme décrit par la loi. Ce déterminisme ne se traduit pas toujours par une possibilité de prédiction, la théorie du chaos montre l'existence de possibles phénomènes fortuits. Selon les auteurs, le théorème de Cauchy-Lipschitz s'exprime de manière plus ou moins forte. Sous une forme plus élaborée, ce théorème assure que la solution varie continûment si la condition initiale est modifiée, et il en est de même si la fonction définissant l'équation dépend continûment d'un paramètre. Si l'équation est définie par une fonction de classe Cp, la solution est de classe Cp+1. Ce théorème peut encore être généralisé au cas où l'équation différentielle n'est plus à valeurs dans un espace vectoriel, mais dans une variété différentielle. Une première version est démontrée par Augustin-Louis Cauchy durant la première moitié du XIXe siècle, à l'aide d'une technique d'approximation découverte par Leonhard Euler au siècle précédent. Rudolf Lipschitz généralise l'énoncé en élargissant un peu la classe des équations qui s'y rapportent. Le théorème n'en reste pas moins uniquement un résultat d'existence locale. C'est à la fin de ce siècle que les techniques de démonstration, ainsi que l'énoncé du théorème, sont profondément modifiés. À la suite des travaux de Lazarus Fuchs, les mathématiciens Émile Picard, Paul Painlevé et Henri Poincaré développent une version moderne de l'analyse des équations différentielles. Cette vision permet d'apporter des éléments de réponse sur les solutions maximales, l'unicité et la régularité de la solution. Une version relativement moderne est publiée en 1894 par Ernst Lindelöf. Le théorème se démontre maintenant généralement à l'aide d'un théorème du point fixe et d'une approche topologique, classique en analyse fonctionnelle. (fr)
- In mathematics – specifically, in differential equations – the Picard–Lindelöf theorem gives a set of conditions under which an initial value problem has a unique solution. It is also known as Picard's existence theorem, the Cauchy–Lipschitz theorem, or the existence and uniqueness theorem. The theorem is named after Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz and Augustin-Louis Cauchy. (en)
- 数学の微分方程式論において、ピカール＝リンデレーフの定理（Picard–Lindelöf theorem）、ピカールの存在定理（Picard's existence theorem）、コーシー＝リプシッツの定理（Cauchy–Lipschitz theorem）、または解の存在と一意性の定理（かいのそんざいといちいせいのていり、existence and uniqueness theorem）とは、初期値問題の解が一意に存在するための十分条件を与える定理である。 定理の名前は、エミール・ピカール、、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ルドルフ・リプシッツに因む。 次の初期値問題を考える。 関数 f が y に一様にリプシッツ連続（リプシッツ定数が t に依らないことを意味する）であり、かつ、 t に連続しているとすると、ある値 ε > 0 に対して、区間 上で初期値問題の唯一の解 y(t) が存在する。 (ja)
- 동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 피카르 유일성 정리(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 코시-립시츠 정리(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. (ko)
- In matematica, il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, detto anche teorema di Picard-Lindelöf, teorema di esistenza di Picard o teorema di Cauchy-Lipschitz, stabilisce le condizioni di esistenza e unicità della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria. Il teorema dice che dato il problema ai valori iniziali: se è una funzione lipschitziana in e continua in allora per qualche esiste un'unica soluzione al problema ai valori iniziali sull'intervallo (it)
- In de studie van differentiaalvergelijkingen, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Picard-Lindelöf, de existentiestelling van Picard of de stelling van Cauchy-Lipschitz een belangrijke stelling over het bestaan en de uniciteit van oplossingen voor bepaalde . De stelling is genoemd naar Charles Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz en Augustin-Louis Cauchy. (nl)
- Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de para o problema de valor inicial: onde é uma função contínua na variável e Lipschitz contínua na variável . Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy. (pt)
- Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego. (pl)
- Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку. (uk)
- 在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和。 (zh)
- Теорема Пикара — теорема о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, Picardova–Lindelöfova věta, Picardova existenční věta nebo Cauchyho–Lipschitzova věta je důležitá matematická věta o existenci a řešení obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu s danými počátečními podmínkami. Věta je pojmenovaná po Émile Picard, , Rudolf Lipschitz a Augustin Louis Cauchy. Uvažujme počáteční úlohu Předpokládejme, že f je lipschitzovsky spojitá v y a spojitá v t. Pak pro nějakou hodnotu ε > 0, existuje jednoznačné řešení y(t) počáteční úlohy na intervalu . (cs)
- El teorema de Picard-Lindelof (de vegades anomenat simplement teorema de Picard, altres teorema de Cauchy-Lipschitz) és un resultat matemàtic de gran importància dins de l'estudi de les equacions diferencials ordinàries (EDO's). Estableix sota quines condicions pot assegurar-se l'existència i unicitat de solució d'una EDO donat un problema de Cauchy (problema de valor inicial). (ca)
- تعتبر مبرهنة بيكار ليندلوف إلى جانب أحد المبرهنات الرئيسية في الرياضيات في مجال .يبدو أن المبرهنة نشرت لأول مرة سنة 1890 من قبل الرياضياتي الفينلاندي أرنست ليونارد ليندلوف Ernst Leonard Lindelöf في مقال يتعلق بقابلية المعادلات التفاضلية للحل. في نفس الفترة كان العالم والرياضياتي شارل إيميل بيكارد يدرس خوارزميات حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الشيء الذي أفرز عن خوارزمية بيكارد التكرارية التي تعتمد لبرهنة مبرهنة بيكار ليندلوف. (ar)
- El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial). (es)
- In mathematics – specifically, in differential equations – the Picard–Lindelöf theorem gives a set of conditions under which an initial value problem has a unique solution. It is also known as Picard's existence theorem, the Cauchy–Lipschitz theorem, or the existence and uniqueness theorem. The theorem is named after Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz and Augustin-Louis Cauchy. (en)
- 数学の微分方程式論において、ピカール＝リンデレーフの定理（Picard–Lindelöf theorem）、ピカールの存在定理（Picard's existence theorem）、コーシー＝リプシッツの定理（Cauchy–Lipschitz theorem）、または解の存在と一意性の定理（かいのそんざいといちいせいのていり、existence and uniqueness theorem）とは、初期値問題の解が一意に存在するための十分条件を与える定理である。 定理の名前は、エミール・ピカール、、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ルドルフ・リプシッツに因む。 次の初期値問題を考える。 関数 f が y に一様にリプシッツ連続（リプシッツ定数が t に依らないことを意味する）であり、かつ、 t に連続しているとすると、ある値 ε > 0 に対して、区間 上で初期値問題の唯一の解 y(t) が存在する。 (ja)
- 동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 피카르 유일성 정리(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 코시-립시츠 정리(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. (ko)
- In matematica, il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, detto anche teorema di Picard-Lindelöf, teorema di esistenza di Picard o teorema di Cauchy-Lipschitz, stabilisce le condizioni di esistenza e unicità della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria. Il teorema dice che dato il problema ai valori iniziali: se è una funzione lipschitziana in e continua in allora per qualche esiste un'unica soluzione al problema ai valori iniziali sull'intervallo (it)
- In de studie van differentiaalvergelijkingen, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Picard-Lindelöf, de existentiestelling van Picard of de stelling van Cauchy-Lipschitz een belangrijke stelling over het bestaan en de uniciteit van oplossingen voor bepaalde . De stelling is genoemd naar Charles Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz en Augustin-Louis Cauchy. (nl)
- Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de para o problema de valor inicial: onde é uma função contínua na variável e Lipschitz contínua na variável . Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy. (pt)
- Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego. (pl)
- Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку. (uk)
- 在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和。 (zh)
- Теорема Пикара — теорема о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. (ru)
- Στα μαθηματικά, στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων, το θεώρημα Πικάρ-Λίντελεφ, θεώρημα ύπαρξης του Πικάρ ή θεώρημα Κωσύ-Λίπσιτς είναι ένα σημαντικό θεώρημα για την ύπαρξη και των λύσεων για τις εξισώσεις πρώτης τάξης με . Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους , , και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Θεωρούμε το Ας υποθέσουμε ότι f είναι ομοιόμορφα στο y (εννοώντας ότι η σταθερά Λίπσιτς μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη του t) και συνεχής στο t. Τότε, για κάποια τιμή ε > 0, υπάρχει μια μοναδική λύση y(t) στο πρόβλημα αρχικών τιμών στο διάστημα . Θέτουμε και (el)
- Der Satz von Picard-Lindelöf ist in der Mathematik, neben dem Satz von Peano, ein grundlegender Satz der Theorie über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Er wurde erstmals 1890 von Ernst Leonard Lindelöf in einem Artikel zur Lösbarkeit von Differentialgleichungen aufgestellt. Um die gleiche Zeit beschäftigte sich auch Émile Picard mit der schrittweisen Approximation von Lösungen. Diese Picarditeration, eine Fixpunktiteration im Sinne des Fixpunktsatzes von Banach, ist der Kern moderner Beweise dieses Satzes. (de)
- En mathématiques et plus précisément en analyse, le théorème de Cauchy-Lipschitz, appelé également théorème de Picard-Lindelöf ou théorème d'existence de Picard, concerne les solutions d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses de régularité de la fonction définissant l'équation, le théorème garantit l'existence d'une solution répondant à une et l'unicité d'une . (fr)
|
