| dbo:abstract
|
- Inzidenz ist in der Geometrie die einfachste Beziehung, die zwischen geometrischen Elementen wie Punkt, Gerade, Kreis, Ebene etc. auftreten kann. Inzidenz besteht, wenn beispielsweise ein Punkt auf einer Geraden liegt, eine Ebene eine Gerade enthält oder jeweils umgekehrt. Mathematisch gesprochen handelt es sich also um eine Relation, d. h. um eine Teilmenge der Vereinigung der kartesischen Produkte der Menge der Punkte mit der Menge der Geraden, der Menge der Geraden mit der Menge der Punkte, der Menge der Ebenen mit der Menge der Geraden, der Menge der Punkte mit der Menge der Ebenen etc. (de)
- In geometry, an incidence relation is a heterogeneous relation that captures the idea being expressed when phrases such as "a point lies on a line" or "a line is contained in a plane" are used. The most basic incidence relation is that between a point, P, and a line, l, sometimes denoted P I l. If P I l the pair (P, l) is called a flag. There are many expressions used in common language to describe incidence (for example, a line passes through a point, a point lies in a plane, etc.) but the term "incidence" is preferred because it does not have the additional connotations that these other terms have, and it can be used in a symmetric manner. Statements such as "line l1 intersects line l2" are also statements about incidence relations, but in this case, it is because this is a shorthand way of saying that "there exists a point P that is incident with both line l1 and line l2". When one type of object can be thought of as a set of the other type of object (viz., a plane is a set of points) then an incidence relation may be viewed as containment. Statements such as "any two lines in a plane meet" are called incidence propositions. This particular statement is true in a projective plane, though not true in the Euclidean plane where lines may be parallel. Historically, projective geometry was developed in order to make the propositions of incidence true without exceptions, such as those caused by the existence of parallels. From the point of view of synthetic geometry, projective geometry should be developed using such propositions as axioms. This is most significant for projective planes due to the universal validity of Desargues' theorem in higher dimensions. In contrast, the analytic approach is to define projective space based on linear algebra and utilizing homogeneous co-ordinates. The propositions of incidence are derived from the following basic result on vector spaces: given subspaces U and W of a (finite-dimensional) vector space V, the dimension of their intersection is dim U + dim W − dim (U + W). Bearing in mind that the geometric dimension of the projective space P(V) associated to V is dim V − 1 and that the geometric dimension of any subspace is positive, the basic proposition of incidence in this setting can take the form: linear subspaces L and M of projective space P meet provided dim L + dim M ≥ dim P. The following sections are limited to projective planes defined over fields, often denoted by PG(2, F), where F is a field, or P2F. However these computations can be naturally extended to higher-dimensional projective spaces, and the field may be replaced by a division ring (or skewfield) provided that one pays attention to the fact that multiplication is not commutative in that case. (en)
- In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ossia quando la loro intersezione non è vuota. In geometria descrittiva l'incidenza indica anche l'intersezione di due insiemi nel piano o nello spazio euclideo, considerando anche i punti impropri. Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti. La sezione di una figura piana rispetto a una retta o di una figura solida rispetto ad un piano sono casi particolari di incidenza. (it)
- Incydencja – własność wzajemnych relacji między pewnymi obiektami. (pl)
- Inom geometrin är begreppet incidens primitivt och grundläggande. Det betecknar påståenden som att:
* En punkt och en rät linje är incidenta om punkten ligger på linjen
* En punkt och ett plan är incidenta om punkten ligger i planet
* En linje och ett plan är incidenta om linjen ligger i planet De så kallade incidensaxiomen för de två primitiva mängderna punkter P och linjer L säger bland annat att:
* Varje linje är en delmängd till P och innehåller minst två punkter
* För varje par av skilda punkter A och B finns det exakt en linje som går genom både A och B
* Om a och b är skilda linjer så finns det minst en punkt A sådan att A tillhör a men inte b (sv)
- Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично, отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая l1 пересекает прямую l2», также являются утверждениями об отношении инцидентности, но в этом случае проще сказать: «существует точка P, инцидентная обоим прямым l1 и l2». Когда один тип объектов можно рассматривать как множество объектов другого типа (а именно, плоскость является множеством точек), отношение инцидентности можно рассматривать как включение. Утверждения вида «любые две прямые на плоскости пересекаются» называются утверждениями инцидентности. Такие утверждения верны в проективных плоскостях, но не верны на евклидовых, где прямые могут быть параллельны. Исторически, проективная геометрия была предложена для того, чтобы утверждение инцидентности было верно без исключений. С точки зрения синтетической геометрии проективную геометрию следует создавать, используя такие утверждения в качестве аксиом. Наиболее существенен такой подход для проективных плоскостей ввиду верности теоремы Дезарга для более высоких размерностей. Аналитический подход, напротив, определяет проективное пространство на основе линейной алгебры с использованием однородной системы координат. Отношение инцидентности выводится из следующего базового результата для векторных пространств: если даны подпространства U и W векторного пространства V (конечной размерности), размерность их пересечения равна dim U + dim W − dim (U + W). Если принять во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства P(V), ассоциированного с V, равна dim V − 1, и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, базовое утверждение инцидентности в этих условиях примет вид: линейные подпространства L и M проективного пространства P пересекаются при условии, что dim L + dim M ≥ dim P Последующие разделы относятся к проективным плоскостям, определённым над полями. Такие плоскости часто обозначаются как PG(2, F) или P2F, где F — поле. Однако эти рассуждения можно естественным образом распространить на пространства более высоких размерностей, а поле может быть заменено на тело с учётом, что в этом случае умножение не будет коммутативным. (ru)
- Відношення інцидентності — це бінарне відношення між двома різними типами об'єктів. Воно включає поняття, які можна виразити такими фразами як «точка лежить на прямій» або «пряма належить площині». Найістотніше відношення інцидентності — між точкою P і прямою l яке записується як P I l. Якщо P I l пара (P, l) називається прапором. У розмовній мові існує багато виразів, що описують відношення інцидентності (наприклад, пряма проходить через точку, точка лежить на площині тощо), проте термін «інцидентна» кращий, оскільки не передбачає додаткових супутніх понять і може бути використаний симетрично, відбиваючи властивість симетричності відношення. Твердження, такі як «пряма l1 перетинає пряму l2» також є твердженнями про відношення інцидентності, але в цьому випадку простіше сказати: «існує точка P, інцидентна обом прямим l1 і l2». Коли один тип об'єктів можна розглядати як множину об'єктів іншого типу (а саме, площина є множиною точок), відношення інцидентності можна розглядати як включення. Твердження вигляду «будь-які дві прямі на площині перетинаються» називаються твердженнями інцидентності. Такі твердження істинні в проєктивних площинах, але хибні на евклідових, де прямі можуть бути паралельними. Історично, проєктивну геометрію запропоновано для того, щоб твердження інцидентності було істинним без винятків. З точки зору синтетичної геометрії проєктивну геометрію слід створювати, використовуючи такі твердження як аксіоми. Найістотніший такий підхід для проєктивних площин, зважаючи на істинність теореми Дезарга для вищих розмірностей. Аналітичний підхід, навпаки, визначає проєктивний простір на основі лінійної алгебри з використанням однорідної системи координат. Відношення інцидентності виводиться з такого базового результату для векторних просторів: якщо дано підпростори U і W векторного простору V (скінченної розмірності), розмірність їх перетину дорівнює dim U + dim W − dim (U + W) Якщо взяти до уваги, що геометрична розмірність проєктивного простору P(V), асоційованого з V, дорівнює dim V − 1 і що геометрична розмірність будь-якого підпростору додатна, базове твердження інцидентності в цих умовах набуде вигляду: лінійні підпростори L і M проєктивного простору P перетинаються за умови, що dim L + dim M ≥ dim P. Подальші розділи стосуються проєктивних площин, визначених над полями. Такі площини часто позначають як PG(2, F) або P2F, де F — поле. Однак ці міркування можна природним чином поширити на простори вищих розмірностей, а поле можна замінити тілом з урахуванням, що в цьому випадку множення не буде комутативним. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Inzidenz ist in der Geometrie die einfachste Beziehung, die zwischen geometrischen Elementen wie Punkt, Gerade, Kreis, Ebene etc. auftreten kann. Inzidenz besteht, wenn beispielsweise ein Punkt auf einer Geraden liegt, eine Ebene eine Gerade enthält oder jeweils umgekehrt. Mathematisch gesprochen handelt es sich also um eine Relation, d. h. um eine Teilmenge der Vereinigung der kartesischen Produkte der Menge der Punkte mit der Menge der Geraden, der Menge der Geraden mit der Menge der Punkte, der Menge der Ebenen mit der Menge der Geraden, der Menge der Punkte mit der Menge der Ebenen etc. (de)
- Incydencja – własność wzajemnych relacji między pewnymi obiektami. (pl)
- In geometry, an incidence relation is a heterogeneous relation that captures the idea being expressed when phrases such as "a point lies on a line" or "a line is contained in a plane" are used. The most basic incidence relation is that between a point, P, and a line, l, sometimes denoted P I l. If P I l the pair (P, l) is called a flag. There are many expressions used in common language to describe incidence (for example, a line passes through a point, a point lies in a plane, etc.) but the term "incidence" is preferred because it does not have the additional connotations that these other terms have, and it can be used in a symmetric manner. Statements such as "line l1 intersects line l2" are also statements about incidence relations, but in this case, it is because this is a shorthand way (en)
- In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ossia quando la loro intersezione non è vuota. In geometria descrittiva l'incidenza indica anche l'intersezione di due insiemi nel piano o nello spazio euclideo, considerando anche i punti impropri. Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti. (it)
- Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично, отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая l1 пересекает прямую l2», также являются утверждениями об (ru)
- Inom geometrin är begreppet incidens primitivt och grundläggande. Det betecknar påståenden som att:
* En punkt och en rät linje är incidenta om punkten ligger på linjen
* En punkt och ett plan är incidenta om punkten ligger i planet
* En linje och ett plan är incidenta om linjen ligger i planet De så kallade incidensaxiomen för de två primitiva mängderna punkter P och linjer L säger bland annat att: (sv)
- Відношення інцидентності — це бінарне відношення між двома різними типами об'єктів. Воно включає поняття, які можна виразити такими фразами як «точка лежить на прямій» або «пряма належить площині». Найістотніше відношення інцидентності — між точкою P і прямою l яке записується як P I l. Якщо P I l пара (P, l) називається прапором. У розмовній мові існує багато виразів, що описують відношення інцидентності (наприклад, пряма проходить через точку, точка лежить на площині тощо), проте термін «інцидентна» кращий, оскільки не передбачає додаткових супутніх понять і може бути використаний симетрично, відбиваючи властивість симетричності відношення. Твердження, такі як «пряма l1 перетинає пряму l2» також є твердженнями про відношення інцидентності, але в цьому випадку простіше сказати: «існує точ (uk)
|
