| dbo:abstract
|
- التفاضل والتكامل الكسري (بالإنجليزية: Fractional Calculus) يعتبر البعض هذا العلم جزء من التحليل الرياضي ويتعامل مع تطبيقات التكامل والاشتقاق في حالة الرتب الاختيارية، وهذا المجال يهتم بتعميم المشتقة لاقتران (دالة) ما لأي مشتقة ذات رتبة غير صحيحة، فمثلا: نحن في العادة نتعامل مع المشتقة الأولى والثانية. أما هذا المجال (التفاضل الكسري) فيفيدنا في إيجاد المشتقة رقم نصف أو 0.3 أو 0.7 ...إلخ. بدات أصول هذا الاتجاه في القرن السابع عشر حينما وضع نيوتن ولايبنز أساسات التفاضل والتكامل، فقد وضع لايبنز الرمز الشهير ليدل على المشتقة النونية للاقتران (الدالة) f، فأرسل لايبنز رسالة إلى لوبيتال يخبره بهذا الرمز الجديد لكن لوبيتال رد على الرسالة بسؤال محير: «ماذا لو كانت n=1/2؟» الرسالة كتبت عام 1695 وتعد اليوم أول ظهور للمشتقة الكسرية. بدأ العالم الرياضي «ليوفيل» بالتقصي والبحث في الموضوع وأصدر سلسلة أبحاث في الفترة 1832-1837، حيث عرف أول مؤثر (operator) للتكامل الكسري (fractional integration)، وبعد أن ولج «ريمان» هذا الموضوع وطور عليه ظهر ما يعرف اليوم بتعريف «ريمان-ليوفيل» (Riemann-Liouville fractional operator) تبع ذلك اهتمام غير مسبوق وتطوير كبير لهذا المجال. المعادلات التفاضلية الكسرية، هي تعميم للمعادلات التفاضلية من خلال تطبيق حساب التفاضل والتكامل الكسري. (ar)
- Die Fraktionale Infinitesimalrechnung bezeichnet die Erweiterung des Ableitungsbegriffs auf nichtganzzahlige Ordnungen. Der Begriff „fraktional“ ist dabei historisch bedingt, die Ableitungen können ganz allgemein von reeller oder sogar komplexer Ordnung sein. (de)
- Fractional calculus is a branch of mathematical analysis that studies the several different possibilities of defining real number powers or complex number powers of the differentiation operator and of the integration operator and developing a calculus for such operators generalizing the classical one. In this context, the term powers refers to iterative application of a linear operator to a function , that is, repeatedly composing with itself, as in . For example, one may ask for a meaningful interpretation of as an analogue of the functional square root for the differentiation operator, that is, an expression for some linear operator that, when applied twice to any function, will have the same effect as differentiation. More generally, one can look at the question of defining a linear operator for every real number in such a way that, when takes an integer value , it coincides with the usual -fold differentiation if , and with the -th power of when . One of the motivations behind the introduction and study of these sorts of extensions of the differentiation operator is that the sets of operator powers defined in this way are continuous semigroups with parameter , of which the original discrete semigroup of for integer is a denumerable subgroup: since continuous semigroups have a well developed mathematical theory, they can be applied to other branches of mathematics. Fractional differential equations, also known as extraordinary differential equations, are a generalization of differential equations through the application of fractional calculus. (en)
- En matemáticas, el cálculo fraccional es una rama del análisis matemático que estudia la posibilidad de tomar potencias reales del operador diferencial D y el operador integral J En este contexto potencias se refieren a la aplicación iterativa, en el mismo sentido que f2(x) = f(f(x)).Por ejemplo, uno podría presentar la pregunta de interpretar con algún sentido como una raíz cuadrada del operador diferencial (un operador medio iterado), es decir, una expresión para algún operador que al ser aplicada dos veces a una función tendrá el mismo efecto que la diferenciación. Más generalmente, uno puede mirar la cuestión de definir para valores reales de s de manera tal que cuando s toma como valor un número natural n, la potencia usual de la n-diferenciación se recupera para n > 0, y la −n potencia de J cuando n < 0. Hay varias razones para considerar esta pregunta. Una de ellas es que de esta forma el semigrupo de potencias Dn en la variable discreta n son vistas dentro de un semigrupo continuo (eso se espera) de parámetro s, el cual es un número real. Los semigrupos continuos prevalecen en matemáticas, y tienen una teoría interesante. Nótese aquí que fracción es entonces una mala denominación para el exponente, ya que no necesita ser un número racional, pero el término cálculo fraccional se ha vuelto tradicional. (es)
- L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de définir des puissances non entières des opérateurs de dérivation et d'intégration. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires entrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels. Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement la racine carrée de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction, aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir pour des valeurs réelles de α, de telle sorte que lorsque α prend une valeur entière n, on récupère la dérivation n-ième usuelle pour n > 0 ou l'intégration itérée |n| fois pour n < 0. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : α n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et l'on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel. Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ». (fr)
- 분수계 미적분학(Fractional calculus)은 해석학의 한 갈래로서 미분 연산자 와 적분 연산자 J의 거듭제곱 자리에 실수 혹은 복소수가 위치할 수 있는 가능성에 대해 연구한다. 여기에서 거듭제곱이란 단어는 작용소의 합성을 반복한다는 의미로 사용된 것으로, f2(x) = f(f(x)) 와 같은 표현과 같은 맥락이다. (ko)
- 分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、英: fractional calculus）は解析学（特に微分積分学）の一分野で、微分作用素 D および積分作用素 J が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する学問である。 この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば f2(x) = f(f(x)) ということになる。さてたとえば、微分作用素 D の平方根（あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式 に何か意味のある解釈をつけられるかということを考える。この式は、つまりある作用素を「二度」作用させて、微分作用素 D と同じ効果を得られるということを意味しているのであり、あるいはもっと一般に、実数 s に対して微分作用素の冪 にあたるものを決定できるかという問をも考えることができるだろう。このとき、s が整数 n を値にとるならば、n > 0 のときこの冪は通常の意味での n-階微分作用素となり、n < 0 のときは積分作用素 J の (−n)-乗となるように定義されるものでなければならない。 このようなことを考える理由はいくつかある。ひとつはそれによって「離散」的な変数 n で添字付けられる微分作用素の族 Dn 全体が作る半群を実数 s を径数とする「連続」的な半群のなかにあるとして考えられるようになることである。連続的半群というものは数学のさまざまなところに現われ、豊かな理論を備えている。分数階微分積分学では、冪として必ずしも有理数冪に限らず実数冪や複素数冪を一般に扱うため「分数階」という名称で呼ぶのは少々紛らわしいが、慣習的に「分数階微分積分学」の名称が使われている。 (ja)
- Il calcolo frazionario è una branca dell'analisi matematica che studia le diverse possibilità di definire una potenza reale o complessa dell'operatore derivata , e dell'operatore integrale , e sviluppare un calcolo infinitesimale per questi operatori, generalizzando quelli classici. In questo contesto, il termine potenza si riferisce all'applicazione iterata di un operatore lineare a una funzione, in analogia alla composizione di funzioni nel caso a una variabile, cioè . Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare come l'analogo della radice quadrata funzionale per un operatore differenziale, cioè un certo operatore lineare che quando applicato due volte a qualsiasi funzione ha lo stesso effetto della derivata. Più in generale, ci si potrebbe chiedere di definire un funzionale lineare per ogni numeri reale in modo tale che, quando assume un valore intero , coincide con la usuale derivata -esima se o con la -esima potenza di se . Una delle motivazioni dietro l'introduzione e lo studio di questa estensione dell'operatore derivata è che gli insiemi delle potenze definite in questo modo sono semigruppi continui con parametro , di cui l'originale semigruppo discreto di è un sottogruppo numerabile: poiché i semigruppi continui hanno una teoria matematica ben sviluppata, è interessante applicarli ad altre branche della matematica. Le equazioni differenziali frazionarie, anche conosciute come equazioni differenziali straordinarie, sono una generalizzazione delle equazioni differenziali attraverso l'applicazione del calcolo frazionario. (it)
- O Cálculo de Ordem Não inteira, tradicionalmente conhecido como cálculo fracionário é um ramo da análise matemática que estuda as possibilidades de usar potências de números reais ou potências de números complexos em operadores diferenciais e o operador de integração J. (Usualmente J é usado no lugar de I para não causar confusão com outras notações semelhantes a I e identidades.) Neste contexto, o têrmo potência refere-se à aplicação interativa ou composição, com o mesmo sentido que f 2(x) = f(f(x)). Por exemplo, pode-se questionar o significado da interpretação como uma raiz quadrada de um operador derivacional (um operador ), i.e., uma expressão para algum operador que quando aplicado duas vezes em uma função terá o mesmo efeito que uma diferenciação. Generalizando, podemos definir a questão para números reais, valores de a como quando a passa pelos valores inteiros n, usualmente uma diferenciação por n cobre os n > 0, e as −nésimas potências de J quando n < 0. Há vários motivos para analisarmos esta questão. Um é que, deste modo o semigrupo das potências Dn na variável discreta n é vista como um semigrupo contínuo (espera-se) que os parâmetros a onde é um número real. Semigrupos contínuos pré-valentes em Matemática são de interesse teórico. Diz-se que fração é então o mesmo que o expoente, desde que precise ser um racional, mas que a expressão cálculo fracionário torne-se padrão por tradição. Equações fracionárias diferenciais são uma generalização de equações diferenciais pela aplicação do cálculo fracionário. (pt)
- Pochodna ułamkowa – uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty. Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech wtedy pochodna n-tego rzędu Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza się do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja . Dla rzeczywistego definiujemy więc Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora można ją zróżniczkować wyraz po wyrazie zgodnie z powyższą definicją, co jest równoważne licząc całki również wyraz po wyrazie. Łatwo sprawdzić ze pochodna ułamkowa jest ciągła względem jej rzędu. (pl)
- 数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。 在这个上下文中，幂指反复应用，和 中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题 作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。 更一般的， 对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。 讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Die Fraktionale Infinitesimalrechnung bezeichnet die Erweiterung des Ableitungsbegriffs auf nichtganzzahlige Ordnungen. Der Begriff „fraktional“ ist dabei historisch bedingt, die Ableitungen können ganz allgemein von reeller oder sogar komplexer Ordnung sein. (de)
- 분수계 미적분학(Fractional calculus)은 해석학의 한 갈래로서 미분 연산자 와 적분 연산자 J의 거듭제곱 자리에 실수 혹은 복소수가 위치할 수 있는 가능성에 대해 연구한다. 여기에서 거듭제곱이란 단어는 작용소의 합성을 반복한다는 의미로 사용된 것으로, f2(x) = f(f(x)) 와 같은 표현과 같은 맥락이다. (ko)
- 数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。 在这个上下文中，幂指反复应用，和 中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题 作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。 更一般的， 对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。 讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。 (zh)
- التفاضل والتكامل الكسري (بالإنجليزية: Fractional Calculus) يعتبر البعض هذا العلم جزء من التحليل الرياضي ويتعامل مع تطبيقات التكامل والاشتقاق في حالة الرتب الاختيارية، وهذا المجال يهتم بتعميم المشتقة لاقتران (دالة) ما لأي مشتقة ذات رتبة غير صحيحة، فمثلا: نحن في العادة نتعامل مع المشتقة الأولى والثانية. أما هذا المجال (التفاضل الكسري) فيفيدنا في إيجاد المشتقة رقم نصف أو 0.3 أو 0.7 ...إلخ. المعادلات التفاضلية الكسرية، هي تعميم للمعادلات التفاضلية من خلال تطبيق حساب التفاضل والتكامل الكسري. (ar)
- Fractional calculus is a branch of mathematical analysis that studies the several different possibilities of defining real number powers or complex number powers of the differentiation operator and of the integration operator and developing a calculus for such operators generalizing the classical one. In this context, the term powers refers to iterative application of a linear operator to a function , that is, repeatedly composing with itself, as in . For example, one may ask for a meaningful interpretation of (en)
- En matemáticas, el cálculo fraccional es una rama del análisis matemático que estudia la posibilidad de tomar potencias reales del operador diferencial D y el operador integral J En este contexto potencias se refieren a la aplicación iterativa, en el mismo sentido que f2(x) = f(f(x)).Por ejemplo, uno podría presentar la pregunta de interpretar con algún sentido para valores reales de s de manera tal que cuando s toma como valor un número natural n, la potencia usual de la n-diferenciación se recupera para n > 0, y la −n potencia de J cuando n < 0. (es)
- L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de définir des puissances non entières des opérateurs de dérivation et d'intégration. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires entrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels. Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement la racine carrée (fr)
- Il calcolo frazionario è una branca dell'analisi matematica che studia le diverse possibilità di definire una potenza reale o complessa dell'operatore derivata , e dell'operatore integrale , e sviluppare un calcolo infinitesimale per questi operatori, generalizzando quelli classici. In questo contesto, il termine potenza si riferisce all'applicazione iterata di un operatore lineare a una funzione, in analogia alla composizione di funzioni nel caso a una variabile, cioè . Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare (it)
- 分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、英: fractional calculus）は解析学（特に微分積分学）の一分野で、微分作用素 D および積分作用素 J が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する学問である。 この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば f2(x) = f(f(x)) ということになる。さてたとえば、微分作用素 D の平方根（あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式 に何か意味のある解釈をつけられるかということを考える。この式は、つまりある作用素を「二度」作用させて、微分作用素 D と同じ効果を得られるということを意味しているのであり、あるいはもっと一般に、実数 s に対して微分作用素の冪 にあたるものを決定できるかという問をも考えることができるだろう。このとき、s が整数 n を値にとるならば、n > 0 のときこの冪は通常の意味での n-階微分作用素となり、n < 0 のときは積分作用素 J の (−n)-乗となるように定義されるものでなければならない。 (ja)
- Pochodna ułamkowa – uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty. Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech wtedy pochodna n-tego rzędu Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza się do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja . Dla rzeczywistego definiujemy więc Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora można ją zróżniczkować wyraz po wyrazie zgodnie z powyższą definicją, co jest równoważne licząc całki również wyraz po wyrazie. (pl)
- O Cálculo de Ordem Não inteira, tradicionalmente conhecido como cálculo fracionário é um ramo da análise matemática que estuda as possibilidades de usar potências de números reais ou potências de números complexos em operadores diferenciais e o operador de integração J. (Usualmente J é usado no lugar de I para não causar confusão com outras notações semelhantes a I e identidades.) Neste contexto, o têrmo potência refere-se à aplicação interativa ou composição, com o mesmo sentido que f 2(x) = f(f(x)). Por exemplo, pode-se questionar o significado da interpretação (pt)
|
