| dbo:abstract
|
- Das Crank-Nicolson-Verfahren ist in der numerischen Mathematik eine Finite-Differenzen-Methode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung und ähnlicher partieller Differentialgleichungen.Es ist ein implizites Verfahren 2. Ordnung und numerisch stabil.Das Verfahren wurde Mitte des 20. Jahrhunderts von John Crank und Phyllis Nicolson entwickelt. Für die Wärmeleitungsgleichung und viele andere Gleichungen kann gezeigt werden, dass das Crank-Nicolson-Verfahren ohne Bedingungen numerisch stabil ist. Trotzdem können die approximierten Lösungen störende Schwingungen enthalten, wenn der Quotient aus Zeitdifferenz und Abstandsquadrat groß ist (typischerweise größer als ). In diesem Fall wird häufig das weniger genaue Euler-Rückwärtsverfahren genutzt, welches numerisch stabil und unempfindlich gegenüber Störungen ist. (de)
- In numerical analysis, the Crank–Nicolson method is a finite difference method used for numerically solving the heat equation and similar partial differential equations. It is a second-order method in time. It is implicit in time, can be written as an implicit Runge–Kutta method, and it is numerically stable. The method was developed by John Crank and Phyllis Nicolson in the mid 20th century. For diffusion equations (and many other equations), it can be shown the Crank–Nicolson method is unconditionally stable. However, the approximate solutions can still contain (decaying) spurious oscillations if the ratio of time step times the thermal diffusivity to the square of space step, , is large (typically, larger than 1/2 per Von Neumann stability analysis). For this reason, whenever large time steps or high spatial resolution is necessary, the less accurate backward Euler method is often used, which is both stable and immune to oscillations. (en)
- En el campo del análisis numérico, el método deCrank-Nicolson es un método de diferencias finitas usado parala resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales, talescomo la ecuación del calor. Se trata de unmétodo de segundo orden en tiempo, ynuméricamente estable. El método fuedesarrollado por y a mediados delsiglo XX. Para ecuaciones difusivas (y para muchos otros tipos de ecuaciones), puede demostrarse que el método de Crank–Nicolson es incondicionalmente estable. Sin embargo, las soluciones aproximadas pueden aún contener algunas oscilaciones espurias (decrecientes) si el ratio entre el paso de tiempo y el cuadrado de la malla en espacio es grande (típicamente, mayor que 1/2). Por este motivo, siempre que sean necesarios pasos de tiempo grande o pequeñas mallas espaciales, puede considerarse el uso del , que es a la vez estable e inmune a oscilaciones (aunque es de menor orden). (es)
- En mathématiques, en analyse numérique, la méthode de Crank-Nicolson est un algorithme simple permettant de résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode utilise les différences finies pour approcher une solution du problème : elle est numériquement stable et quadratique pour le temps. On peut facilement la généraliser à des problèmes à deux ou trois dimensions. Cette méthode, publiée en 1947, est le résultat des travaux de la mathématicienne britannique Phyllis Nicolson (1917 — 1968) et du physicien John Crank (1916 — 2006). Ils l'utilisèrent dans la résolution de l'équation de la chaleur. Son efficacité et sa simplicité en font un outil courant dans les simulations numériques, pour résoudre des problèmes de mécanique quantique, de thermodynamique hors-équilibre, de mécanique des fluides et d'électromagnétisme. Par ailleurs, un certain nombre de phénomènes pouvant être ramenés à l'étude de l'équation de la chaleur, son champ d'application est relativement étendu : à partir du modèle Black-Scholes, on peut par exemple utiliser la méthode de Crank-Nicolson à la finance. (fr)
- Metoda Cranka-Nicolson – popularna metoda uwikłana rozwiązywania znanych w fizyce i inżynierii równań różniczkowych cząstkowych metodą różnic skończonych. Weźmy dla przykładu jednowymiarowe równanie dyfuzji: Przybliżając w nim pochodne za pomocą ilorazów różnicowych na jednorodnej siatce punktów możemy je zapisać jako lub gdzie dolny indeks oznacza punkt na siatce a górny chwilę dyskretnego czasu. Używanie ostatniego intuicyjnego wzoru akumuluje jednak niestabilności. Metoda Cranka-Nicolson polega na użyciu po prawej stronie średniej arytmetycznej z wyrażeń w czasie obecnym i w czasie następnym w celu stabilizacji rozwiązania tak aby równanie to stało się układem równań liniowych na wielkość w czasie następnym tzn. czyli było w postaci uwikłanej. Metoda Cranka-Nicolson zastosowana do równania Schrōdingera na siatce punktów równoważna jest metodzie Cayleya. (pl)
- Na análise numérica, o método de Crank–Nicolson é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações diferenciais parciais similares. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço, implícito no tempo e é numericamente estável. O método foi desenvolvido por John Crank e Phyllis Nicolson na metade do século 20. Para equações de difusão (e muitas outras), pode-se provar que o método de Crank–Nicolson é incondicionalmente estável. Contudo, as soluções aproximadas podem ainda conter oscilações significativas caso a razão entre o passo de tempo e o quadrado do passo de espaço for grande (usualmente maior que 1/2). Por essa razão, sempre que grandes passos de tempo forem tomados, o método menos preciso de euler implícito é frequentemente utilizado, o qual é estável e imune à oscilações. (pt)
- 克兰克－尼科尔森方法（英語：Crank–Nicolson method）是一種数值分析的有限差分法，可用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，可以寫成隐式的龍格－庫塔法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由約翰·克蘭克与菲利斯·尼科爾森发展。 可以证明克兰克－尼科尔森方法对于扩散方程（以及许多其他方程）是无条件稳定。但是，如果时间步长Δt乘以熱擴散率，再除以空间步长平方Δx2的值过大（根據馮諾依曼穩定性分析，以大于1/2為準），近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率的时候，往往会采用数值精确较差的进行计算，这样即可以保证稳定，又避免了解的伪振荡。 (zh)
- Метод Кранка-Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та . Для рівняння теплопровідності, дифузії і можна довести, що метод Кранка-Ніколсон є безумовно чисельно стабільним. Проте, при використанні великого кроку сітки (коли ) розв'язок може містити сильні коливання. У випадку, коли крок різницевої сітки змінити неможливо, при нестабільності розв'язку рекомендується використовувати менш точний, але також чисельно стабільний неявний . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- 克兰克－尼科尔森方法（英語：Crank–Nicolson method）是一種数值分析的有限差分法，可用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，可以寫成隐式的龍格－庫塔法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由約翰·克蘭克与菲利斯·尼科爾森发展。 可以证明克兰克－尼科尔森方法对于扩散方程（以及许多其他方程）是无条件稳定。但是，如果时间步长Δt乘以熱擴散率，再除以空间步长平方Δx2的值过大（根據馮諾依曼穩定性分析，以大于1/2為準），近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率的时候，往往会采用数值精确较差的进行计算，这样即可以保证稳定，又避免了解的伪振荡。 (zh)
- In numerical analysis, the Crank–Nicolson method is a finite difference method used for numerically solving the heat equation and similar partial differential equations. It is a second-order method in time. It is implicit in time, can be written as an implicit Runge–Kutta method, and it is numerically stable. The method was developed by John Crank and Phyllis Nicolson in the mid 20th century. (en)
- Das Crank-Nicolson-Verfahren ist in der numerischen Mathematik eine Finite-Differenzen-Methode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung und ähnlicher partieller Differentialgleichungen.Es ist ein implizites Verfahren 2. Ordnung und numerisch stabil.Das Verfahren wurde Mitte des 20. Jahrhunderts von John Crank und Phyllis Nicolson entwickelt. (de)
- En el campo del análisis numérico, el método deCrank-Nicolson es un método de diferencias finitas usado parala resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales, talescomo la ecuación del calor. Se trata de unmétodo de segundo orden en tiempo, ynuméricamente estable. El método fuedesarrollado por y a mediados delsiglo XX. (es)
- En mathématiques, en analyse numérique, la méthode de Crank-Nicolson est un algorithme simple permettant de résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode utilise les différences finies pour approcher une solution du problème : elle est numériquement stable et quadratique pour le temps. On peut facilement la généraliser à des problèmes à deux ou trois dimensions. (fr)
- Metoda Cranka-Nicolson – popularna metoda uwikłana rozwiązywania znanych w fizyce i inżynierii równań różniczkowych cząstkowych metodą różnic skończonych. Weźmy dla przykładu jednowymiarowe równanie dyfuzji: Przybliżając w nim pochodne za pomocą ilorazów różnicowych na jednorodnej siatce punktów możemy je zapisać jako lub gdzie dolny indeks oznacza punkt na siatce a górny chwilę dyskretnego czasu. Używanie ostatniego intuicyjnego wzoru akumuluje jednak niestabilności. czyli było w postaci uwikłanej. (pl)
- Na análise numérica, o método de Crank–Nicolson é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações diferenciais parciais similares. É um método de segunda ordem no tempo e no espaço, implícito no tempo e é numericamente estável. O método foi desenvolvido por John Crank e Phyllis Nicolson na metade do século 20. (pt)
- Метод Кранка-Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та . (uk)
|
