| dbo:abstract
|
- في نظرية الأعداد، عدد طبيعي غاوسي (بالإنجليزية: Gaussian integer) هو عدد عقدي جزءه الحقيقي وجزءه التخيلي هما عددان صحيحان.مجموعة الأعداد الصحيحة الغاوسية، مزودةً بالعمليتين الاعتياديتين، جمع وضرب الأعداد العقدية، تشكل مجالا تكامليا، عادة ما يُرمز إليه ب Z[i]. هذا المجال التكاملي لا يحتوي على ترتيب كلي. حيث . (ar)
- Gaussovo celé číslo je v teorii čísel takové komplexní číslo, jehož reálnou i imaginární složku tvoří celá čísla. Množina Gaussových čísel dohromady se sčítáním a násobením obvyklým z komplexních čísel tvoří obor integrity obvykle značený Z[i]. Zavedl je Carl Friedrich Gauss ve své práci z roku 1832. Formálně jsou Gaussova celá čísla množina: Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa . (cs)
- En matemàtiques, i més precisament en teoria de nombres algebraics, un enter de Gauss és un element de l' de l' dels racionals de Gauss. Es tracta doncs d'un nombre complex en el que les parts real i imaginària són enters relatius. El conjunt dels enters de Gauss, proveït de l'addició i de la multiplicació ordinària dels nombres complexos, forma un anell íntegre commutatiu i unitari, generalment notat ℤ[i], on i designa la unitat imaginària. Una estructura d'aquesta naturalesa posseeix nombroses propietats, agrupades sota el nom d'. A més, el que és molt més rar, és un anell euclidià i per tant factorial. Els enters de Gauss són àmpliament utilitzats en teoria algebraica de nombres i en aritmètica modular, per exemple per a l'estudi d'equacions diofàntiques, la seva utilització ha permès a Carl Friedrich Gauss demostrar la llei de reciprocitat quadràtica. (ca)
- Die gaußschen Zahlen (nach Carl Friedrich Gauß; englisch Gaussian integers) sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen in den komplexen Zahlen. Jede gaußsche Zahl liegt auf einem ganzzahligen Koordinatenpunkt der komplexen Ebene. Die gaußschen (ganzen) Zahlen bilden den Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers , des Körpers der gaußschen rationalen Zahlen; englisch Gaussian rationals. Außerdem bilden die gaußschen Zahlen einen euklidischen Ring und damit insbesondere einen faktoriellen Ring. Eine etwas kompliziertere Verallgemeinerung ganzer Zahlen, die ebenfalls in die komplexe Ebene eingebettet werden können, sind die Eisenstein-Zahlen. (de)
- Gaŭsa entjero estas kompleksa nombro kies reela kaj imaginara partoj ambaŭ estas entjeroj. La gaŭsaj entjeroj, kun ordinara adicio kaj multipliko de kompleksaj nombroj, formas integrecan ringon, kutime skribitan kiel Z[i]. Ĉi tiu ringo ne povas esti konvertita en , ĉar ĝi enhavas kvadratan radikon de -1. Formale, gaŭsaj entjeroj estas la aro La normo de gaŭsa entjero estas la natura nombro difinita kiel N(a + bi) = a2 + b2. La normo estas multiplika, tio estas N(z·w) = N(z)·N(w). La unuoj de Z[i] estas pro tio precize tiuj eroj kun normo 1, tio estas la eroj 1, −1, i kaj −i. La primaj eroj de Z[i] estas ankaŭ nomataj gaŭsaj primoj. Iuj primoj (kiuj, kontraste, estas iam nomataj kiel "racionalaj primoj") estas ne gaŭsaj primoj; ekzemple 2 = (1 + i)(1 − i) kaj 5 = (2 + i)(2 − i).Tiuj racionalaj primoj kiuj estas kongruaj al 3 (mod 4) estas gaŭsaj primoj; tiuj kiuj estas kongruaj al 1 (mod 4) ne estas. Tio estas pro tio, ke primoj de la formo 4k + 1 ĉiam povas esti skribitaj kiel la sumo de du kvadratoj, do, ni havas p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi). Se la normo de gaŭsa entjero z estas primo, tiam z devas esti gaŭsa primo, ĉar ĉiu ne-bagatela faktorigo de z devus liveri ne-bagatelan faktorigon de la normo kaj neredukteblaj normoj estas primoj. Do, ekzemple 2 + 3i estas gaŭsa primo, ĉar ĝia normo estas 4 + 9 = 13. Gaŭsa kriterio de tio ke gaŭsa entjero a+bi estas gaŭsa primo estas:
* a+bi estas gaŭsa primo se unu el la du sekvaj veras:
* Unu el a, b estas nulo kaj la alia estas primo de la formo 4k + 3 aŭ ĝia negativo -(4k + 3).
* Ambaŭ a kaj b estas nenulaj kaj a2 + b2 estas primo. La ringo de gaŭsaj entjeroj estas la de Z en la kampo de Q(i) konsistanta el la kompleksaj nombroj kies reela kaj imaginara partoj estas ambaŭ racionalaj. Estas facile vidi grafike, ke ĉiu kompleksa nombro estas en unuoj de gaŭsa entjero. Alivorte, ĉiu kompleksa nombro (kaj tial ĉiu Gaŭsa entjero) estas en unuoj de iu oblo de z, kie z estas kiu ajn gaŭsa entjero; tio faras el Z(i) eŭklidan ringon, kie v(z) = N(z). (eo)
- In number theory, a Gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers. The Gaussian integers, with ordinary addition and multiplication of complex numbers, form an integral domain, usually written as . This integral domain is a particular case of a commutative ring of quadratic integers. It does not have a total ordering that respects arithmetic. (en)
- Un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Forman el subconjunto propio de los números racionales gaussianos. El conjunto de los enteros de Gauss, dotado de la suma y producto ordinarios de números complejos, forma un anillo conmutativo con unidad multiplicativa y luego un dominio de integridad conmutativo y unitario, usualmente se denota como Z[i], donde i designa la unidad imaginaria. Una estructura de esta naturaleza posee numerosas propiedades, agrupadas con el nombre de dominio de Dedekind. Además, lo que aún es más extraordinario, es un dominio euclídeo y por lo tanto factorial. Los enteros de Gauss son utilizados en teoría de números algebraicos y en aritmética modular, por ejemplo, para el estudio de ecuaciones diofánticas. El empleo de este sistema algebraico facilitó a Carl Friedrich Gauss demostrar la ley de reciprocidad cuadrática. Formalmente, el conjunto de los enteros gaussianos se define como un subconjunto propio de los números complejos, siendo la parte real y la parte imaginaria números enteros, se denota: siendo i2 = -1. (es)
- En mathématiques, et plus précisément, en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. Il s'agit formellement d'un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté ℤ[i], i désignant ici l'unité imaginaire. Cet ensemble dispose en plus d'une division euclidienne, ce qui permet d'y bâtir une arithmétique très analogue à celle des entiers relatifs. De manière plus générale, cet ensemble peut être vu comme un anneau d'entiers quadratiques et à ce titre est un anneau de Dedekind. Ils sont largement utilisés en théorie algébrique des nombres et en arithmétique modulaire, par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes, en particulier ils fournissent une démonstration élégante du théorème des deux carrés de Fermat. Leur utilisation a permis à Carl Friedrich Gauss de démontrer la loi de réciprocité quadratique. (fr)
- 대수적 수론에서 가우스 정수(Gauß整數, 영어: Gaussian integer)는 실수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. 허수 이차 수체 의 대수적 정수환이다. (ko)
- ガウス整数（ガウスせいすう、英語: Gaussian integer）とは、実部と虚部が共に整数である複素数のことである。すなわち、a + bi（a, b は整数）の形の数のことである。ここで i は虚数単位を表す。ガウス整数という名称は、カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを複素整数（ドイツ語: Komplexe Ganze Zahl）と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。 通常の整数は、b = 0 の場合なので、ガウス整数の一種である。区別のために、通常の整数は有理整数と呼ばれることもある。 数学的には一つ一つのガウス整数を考えるよりも、集合として全体の構造を考える方が自然である。ガウス整数全体の集合を Z[i] と表し、これをガウス整数環と呼ぶ。すなわち、 である（Z は有理整数環、すなわち有理整数全体の集合を表す）。その名が示すように、ガウス整数環は加法と乗法について閉じており、環としての構造を持つ。複素数体 C の部分環であるから、整域でもある。 Q を有理数体、すなわち有理数全体の集合とするとき、 をガウス数体という。ガウス整数環はガウス数体の整数環である。ガウス数体は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、ガウス整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。 (ja)
- Een geheel getal van Gauss is een complex getal waarvan het reële en het imaginaire deel beide gehele getallen zijn. De gehele getallen van Gauss liggen op een vierkant rooster in het complexe vlak en vormen met de twee operaties, optelling en vermenigvuldiging van de complexe getallen een integriteitsdomein, dat meestal wordt weergegeven als . De gehele getallen van Gauss hebben geen totale ordening die compatibel is met de operaties. De gehele getallen van Eisenstein zijn met de gehele getallen van Gauss te vergelijken, maar zij liggen op een driehoekig rooster in plaats van een vierkant rooster. (nl)
- Un intero di Gauss (o gaussiano) è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono intere. L'insieme degli interi di Gauss, dotato delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi, è un anello. (it)
- Em matemática, um inteiro de Gauss é um número complexo da forma a + b i em que a e b são números inteiros. O anel dos inteiros de Gauss é o menor sub-anel do anel dos números complexos que contém o elemento i. Eles foram introduzidos por Carl Friedrich Gauss. (pt)
- Ett gaussiskt heltal eller gausskt heltal är ett komplext tal på formen, där x och y är heltal. Således är 2+3i, 4-8i och 19 gaussiska heltal. Summor, differenser och produkter av gaussiska heltal är också gaussiska heltal: . Vidare finns en heltalsvärd norm definierad genom , och en "division med kvot och rest": Om och är två gaussiska heltal, och , så finns två gaussiska heltal och , sådana att och . ( kan bildas genom att man var för sig avrundar realdelen och imaginärdelen av det komplexa talet till närmaste heltal.) De gaussiska heltalen är en euklidisk ring. (sv)
- Га́уссовы це́лые чи́сла (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа. Примеры: . Впервые введены Гауссом в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832) . Множество гауссовых целых чисел принято обозначать отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел добавлением в него мнимой единицы и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия. (ru)
- Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako . Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa. Zbiór liczb całkowitych Gaussa nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy zbiór liczb całkowitych jest takim pierścieniem. Elementami odwracalnymi pierścienia są: . Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są oraz Grupa ta działa na i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez ). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach (I ćwiartka), (II ćwiartka), (III ćwiartka), (IV ćwiartka). Elementy pierwsze pierścienia są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w można opisać w następujący sposób: 1.
* Jeśli kwadrat modułu liczby jest w liczbą pierwszą postaci (gdzie ), to jest liczbą pierwszą w Każda liczba pierwsza w postaci rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa. 2.
* Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej 3.
* Liczba pierwsza w postaci jest liczbą pierwszą w Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny (pl)
- Гауссові цілі числа — комплексні числа вигляду де — звичайні цілі числа. Якщо дозволити раціональні значення для то одержимо поле гауссових раціональних чисел. Гауссові цілі числа утворюють комутативне кільце, яке докладно дослідив Карл Гаусс. На гауссові цілі числа поширюється теорема про однозначність розкладу на прості множники, яка відома для звичайних цілих чисел з часів Евкліда. Це надає концептуальне пояснення результатам П. Ферма та Л. Ейлера відносно розв'язків рівняння у цілих числах і приводить до короткого доведення великої теореми Ферма для Множина гауссових цілих чисел прийнято позначати їх властивості схожі на властивості множини звичайних цілих чисел , проте є й істотні відмінності . У запроваджених Гауссом і Н. Абелем дослідженнях довжини дуги лемніскати, гауссові цілі числа було застосовано до питань теорії еліптичних функцій, так звана , і до обчислення середнього арифметико-геометричного. (uk)
- 高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作，是個不可以轉成的欧几里得整环。 高斯整數的范数都是非負整數，定義為 單位元的範數均為。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- في نظرية الأعداد، عدد طبيعي غاوسي (بالإنجليزية: Gaussian integer) هو عدد عقدي جزءه الحقيقي وجزءه التخيلي هما عددان صحيحان.مجموعة الأعداد الصحيحة الغاوسية، مزودةً بالعمليتين الاعتياديتين، جمع وضرب الأعداد العقدية، تشكل مجالا تكامليا، عادة ما يُرمز إليه ب Z[i]. هذا المجال التكاملي لا يحتوي على ترتيب كلي. حيث . (ar)
- Gaussovo celé číslo je v teorii čísel takové komplexní číslo, jehož reálnou i imaginární složku tvoří celá čísla. Množina Gaussových čísel dohromady se sčítáním a násobením obvyklým z komplexních čísel tvoří obor integrity obvykle značený Z[i]. Zavedl je Carl Friedrich Gauss ve své práci z roku 1832. Formálně jsou Gaussova celá čísla množina: Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa . (cs)
- In number theory, a Gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers. The Gaussian integers, with ordinary addition and multiplication of complex numbers, form an integral domain, usually written as . This integral domain is a particular case of a commutative ring of quadratic integers. It does not have a total ordering that respects arithmetic. (en)
- 대수적 수론에서 가우스 정수(Gauß整數, 영어: Gaussian integer)는 실수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. 허수 이차 수체 의 대수적 정수환이다. (ko)
- ガウス整数（ガウスせいすう、英語: Gaussian integer）とは、実部と虚部が共に整数である複素数のことである。すなわち、a + bi（a, b は整数）の形の数のことである。ここで i は虚数単位を表す。ガウス整数という名称は、カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを複素整数（ドイツ語: Komplexe Ganze Zahl）と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。 通常の整数は、b = 0 の場合なので、ガウス整数の一種である。区別のために、通常の整数は有理整数と呼ばれることもある。 数学的には一つ一つのガウス整数を考えるよりも、集合として全体の構造を考える方が自然である。ガウス整数全体の集合を Z[i] と表し、これをガウス整数環と呼ぶ。すなわち、 である（Z は有理整数環、すなわち有理整数全体の集合を表す）。その名が示すように、ガウス整数環は加法と乗法について閉じており、環としての構造を持つ。複素数体 C の部分環であるから、整域でもある。 Q を有理数体、すなわち有理数全体の集合とするとき、 をガウス数体という。ガウス整数環はガウス数体の整数環である。ガウス数体は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、ガウス整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。 (ja)
- Un intero di Gauss (o gaussiano) è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono intere. L'insieme degli interi di Gauss, dotato delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi, è un anello. (it)
- Em matemática, um inteiro de Gauss é um número complexo da forma a + b i em que a e b são números inteiros. O anel dos inteiros de Gauss é o menor sub-anel do anel dos números complexos que contém o elemento i. Eles foram introduzidos por Carl Friedrich Gauss. (pt)
- Ett gaussiskt heltal eller gausskt heltal är ett komplext tal på formen, där x och y är heltal. Således är 2+3i, 4-8i och 19 gaussiska heltal. Summor, differenser och produkter av gaussiska heltal är också gaussiska heltal: . Vidare finns en heltalsvärd norm definierad genom , och en "division med kvot och rest": Om och är två gaussiska heltal, och , så finns två gaussiska heltal och , sådana att och . ( kan bildas genom att man var för sig avrundar realdelen och imaginärdelen av det komplexa talet till närmaste heltal.) De gaussiska heltalen är en euklidisk ring. (sv)
- Га́уссовы це́лые чи́сла (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа. Примеры: . Впервые введены Гауссом в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832) . Множество гауссовых целых чисел принято обозначать отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел добавлением в него мнимой единицы и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия. (ru)
- 高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作，是個不可以轉成的欧几里得整环。 高斯整數的范数都是非負整數，定義為 單位元的範數均為。 (zh)
- En matemàtiques, i més precisament en teoria de nombres algebraics, un enter de Gauss és un element de l' de l' dels racionals de Gauss. Es tracta doncs d'un nombre complex en el que les parts real i imaginària són enters relatius. Els enters de Gauss són àmpliament utilitzats en teoria algebraica de nombres i en aritmètica modular, per exemple per a l'estudi d'equacions diofàntiques, la seva utilització ha permès a Carl Friedrich Gauss demostrar la llei de reciprocitat quadràtica. (ca)
- Die gaußschen Zahlen (nach Carl Friedrich Gauß; englisch Gaussian integers) sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen in den komplexen Zahlen. Jede gaußsche Zahl liegt auf einem ganzzahligen Koordinatenpunkt der komplexen Ebene. Die gaußschen (ganzen) Zahlen bilden den Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers , des Körpers der gaußschen rationalen Zahlen; englisch Gaussian rationals. Außerdem bilden die gaußschen Zahlen einen euklidischen Ring und damit insbesondere einen faktoriellen Ring. (de)
- Gaŭsa entjero estas kompleksa nombro kies reela kaj imaginara partoj ambaŭ estas entjeroj. La gaŭsaj entjeroj, kun ordinara adicio kaj multipliko de kompleksaj nombroj, formas integrecan ringon, kutime skribitan kiel Z[i]. Ĉi tiu ringo ne povas esti konvertita en , ĉar ĝi enhavas kvadratan radikon de -1. Formale, gaŭsaj entjeroj estas la aro La normo de gaŭsa entjero estas la natura nombro difinita kiel N(a + bi) = a2 + b2. La normo estas multiplika, tio estas N(z·w) = N(z)·N(w). La unuoj de Z[i] estas pro tio precize tiuj eroj kun normo 1, tio estas la eroj 1, −1, i kaj −i. (eo)
- Un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Forman el subconjunto propio de los números racionales gaussianos. El conjunto de los enteros de Gauss, dotado de la suma y producto ordinarios de números complejos, forma un anillo conmutativo con unidad multiplicativa y luego un dominio de integridad conmutativo y unitario, usualmente se denota como Z[i], donde i designa la unidad imaginaria. Una estructura de esta naturaleza posee numerosas propiedades, agrupadas con el nombre de dominio de Dedekind. Además, lo que aún es más extraordinario, es un dominio euclídeo y por lo tanto factorial. (es)
- En mathématiques, et plus précisément, en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. Il s'agit formellement d'un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss (fr)
- Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako . Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa. Zbiór liczb całkowitych Gaussa nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy zbiór liczb całkowitych jest takim pierścieniem. (I ćwiartka), (II ćwiartka), (III ćwiartka), (IV ćwiartka). (pl)
- Een geheel getal van Gauss is een complex getal waarvan het reële en het imaginaire deel beide gehele getallen zijn. De gehele getallen van Gauss liggen op een vierkant rooster in het complexe vlak en vormen met de twee operaties, optelling en vermenigvuldiging van de complexe getallen een integriteitsdomein, dat meestal wordt weergegeven als . De gehele getallen van Gauss hebben geen totale ordening die compatibel is met de operaties. (nl)
- Гауссові цілі числа — комплексні числа вигляду де — звичайні цілі числа. Якщо дозволити раціональні значення для то одержимо поле гауссових раціональних чисел. Гауссові цілі числа утворюють комутативне кільце, яке докладно дослідив Карл Гаусс. На гауссові цілі числа поширюється теорема про однозначність розкладу на прості множники, яка відома для звичайних цілих чисел з часів Евкліда. Це надає концептуальне пояснення результатам П. Ферма та Л. Ейлера відносно розв'язків рівняння у цілих числах і приводить до короткого доведення великої теореми Ферма для (uk)
|
