| dbo:abstract
|
- في الرياضيات، مجموع غاوس (بالإنجليزية: Gauss sum) أو مجموع غاوسي (بالإنجليزية: Gaussian sum) هو نوع ما من المجاميع المنتهية لجذور الوحدة. انظر إلى . (ar)
- En matemàtiques, i més precisament en aritmètica modular, el sumatori de Gauss és un nombre complex. El sumatori de Gauss fa servir les eines de l'anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit sobre el cos finit on p designa un senar i Z el conjunt dels enters. Va ser introduït pel matemàtic Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) que el va fer servir en els seus Disquisitiones arithmeticae, aparegudes el 1801. Es fan servir per establir la teoria dels polinomis ciclotòmics i tenen nombroses aplicacions. Es pot citar per exemple una demostració de la llei de reciprocitat quadràtica. (ca)
- Die Gaußsche Summe, Gaußsumme oder Gauß-Summe (nicht zu verwechseln mit der gaußschen Summenformel) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise Dabei geht die Summe über die Elemente eines endlichen kommutativen Rings , ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe in den Einheitskreis und ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten.Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter die Gleichung in der Beziehung zwischen und den Faktor verwendet, wobei die komplex Konjugierte von ist. Ursprünglich betrachtete Carl Friedrich Gauß die mit als einem Restklassenkörper modulo einer ungeraden Primzahl und als Legendre-Symbol, dem quadratischen Restklassencharakter modulo . Gauß bewies, dass oder gilt, je nachdem, ob kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist. Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist: Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der Thetafunktionen eng verbunden. Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summen wurde im frühen 19. Jahrhundert, unter Verwendung der und deren Primzahlenzerlegung in Kreisteilungskörpern, entwickelt. Summen über den Mengen, wo einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der Restklassenring modulo einer ganzen Zahl ist, werden durch die Theorie der beschrieben. Der Absolutbetrag einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des Satzes von Plancherel auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass ein Körper von Elementen und nichttrivial ist, ist dieser Betrag gleich . Die Bestimmung des eigentlichen Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe . (de)
- In algebraic number theory, a Gauss sum or Gaussian sum is a particular kind of finite sum of roots of unity, typically where the sum is over elements r of some finite commutative ring R, ψ is a group homomorphism of the additive group R+ into the unit circle, and χ is a group homomorphism of the unit group R× into the unit circle, extended to non-unit r, where it takes the value 0. Gauss sums are the analogues for finite fields of the Gamma function. Such sums are ubiquitous in number theory. They occur, for example, in the functional equations of Dirichlet L-functions, where for a Dirichlet character χ the equation relating L(s, χ) and L(1 − s, χ) (where χ is the complex conjugate of χ) involves a factor (en)
- En matemáticas, una suma de Gauss o suma gaussiana es un tipo particular de suma finita de raíces de la unidad, usualmente donde la suma es sobre los elementos r de algún anillo conmutativo finito R, ψ(r) es un homomorfismo de grupos del grupo aditivo R+ sobre el círculo unitario, y χ(r) es un homomorfismo de grupo del grupo unitario R× dentro del círculo, extendido a r no unitario, donde éste toma el valor de 0. Las sumas gaussianas son los análogos para campos finitos de la función gamma. Tales sumas están muy presentes en teoría de números. Estas se utilizan, por ejemplo, en las ecuaciones funcionales de las funciones L de Dirichlet, donde para un carácter de Dirichlet χ la ecuación que relaciona L(s, χ) y L(1 − s, χ*) implica al factor donde χ* es el complejo conjugado de χ. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. Elles sont utilisées dans la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. nécessaire] On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique. (fr)
- 数学におけるガウス和（ガウスわ、英: Gauss sum）あるいはガウスの和とは、ある特別な1の冪根の有限和である。典型的に で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ(r) は加法群 R+ から（複素平面の）単位円への群準同型で、χ(r) は単数群 R× から単位円への群準同型である。単元でない r については χ(r) = 0 と拡張する。ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。 このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, χ) と L(1 − s, χ) を関連付ける方程式が を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし χ は χ の複素共役である。 (ja)
- In matematica, una somma di Gauss è un particolare tipo di somma finita delle radici dell'unità, ad esempio: dove la somma è su gli elementi r di un anello commutativo finito R, ψ(r) è un omomorfismo di gruppi del gruppo additivo R+ nella circonferenza unitaria, e χ(r) è un omomorfismo di R× (il gruppo degli elementi invertibili di R) nella circonferenza unitaria, esteso alle non unità r, per le quali assume il valore 0. La somma di Gauss è l'analogo per i campi finiti della funzione Gamma. Questa funzione è utilissima in teoria dei numeri: ad esempio, nell'equazione funzionale della L di Dirichlet, dove per un carattere χ l'equazione che lega L(s, χ) e L(1 − s, χ*) coinvolge il fattore (χ* è il complesso coniugato di χ). Gauss originariamente considerò le , con R il campo dei residui modulo un numero primo p, e χ il simbolo di Legendre. Gauss provò che G(χ) = p1/2 oppure G(χ) = ip1/2 a seconda che p sia congruente a 1 o 3 modulo 4. Una forma alternativa per la somma di Gauss è: Le somme quadratiche di Gauss sono strettamente collegate alla teoria delle funzioni theta. La teoria generale delle somme di Gauss fu sviluppata agli inizi dell'Ottocento, attraverso l'uso delle e la loro scomposizione nei campi ciclotomici. La teoria del descrive alcuni casi particolari (l'anello sottostante è il residuo di un anello modulo un intero). Il valore assoluto delle somme di Gauss si trova, di solito, attraverso l'uso del teorema di Plancherel sui gruppi finiti. Nel caso in cui R è un campo di p elementi e χ è non banale, il valore assoluto è p1/2. La determinazione del valore esatto di una somma di Gauss in forma generale, secondo i risultati di Gauss stesso nel caso quadratico, è un problema complesso. Per alcuni casi consultare la pagina sulla . (it)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Gauss-som een bepaalde vorm van eindige som van eenheidswortels. Een typisch voorbeeld is waar de som over elementen r van enige eindige commutatieve ring R, ψ(r) een groepshomomorfisme is van de R+ in en op de eenheidscirkel, en χ(r) een groepshomomorfisme is van de R× in en op de eenheidscirkel, uitgebreid tot niet-eenheid r, waar het de waarde 0 heeft. Gauss-sommen zijn de analoga voor eindige lichamen van de gammafunctie. (nl)
- Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych. (pl)
- В математике под суммой Гаусса понимается определенный вид конечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде Здесь сумма берется по всем элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R, ψ(r) — гомоморфизм аддитивной группы R+ в единичную окружность, и χ(r) — гомоморфизм группы единиц R× в единичную окружность, расширенную элементом 0. Суммы Гаусса являются аналогом гамма-функций для случая конечных полей. Эти суммы часто встречаются в теории чисел, в частности, в функциональных уравнениях L-функций Дирихле. Карл Фридрих Гаусс использовал свойства сумм для решения некоторых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности.Первоначально под суммами Гаусса понимались , для которых R — поле вычетов по модулю p, а χ — символ Лежандра. Для этого случая Гаусс показал, что G(χ) = p1/2 или ip1/2, когда p сравнимо с 1 или 3 по модулю 4 соответственно. Альтернативная форма записи суммы Гаусса: Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале XIX века с использованием и их разложений на простые в круговых полях. Значение сумм Гаусса для теории чисел было выявлено только в 20-е годы XX века. В это время Герман Вейль применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрические суммы, впоследствии названные суммами Вейля. В то же время И. М. Виноградов использовал суммы Гаусса для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Суммы Гаусса позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: мультипликативными и аддитивными характерами. Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией θ-функций. Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находят с помощью теоремы Планшереля для конечных групп. В случае, когда R — поле из p элементов и χ нетривиален, абсолютное значение равно p1/2. Вычисление точного значения общих сумм Гаусса является непростой задачей. (ru)
- 在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為 其中 為有限交換環， 為同態， 亦為同態，對於 ，可定義 。 這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 ，特徵 必為 之形式（），此處的 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 ，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。 高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 ，其中 為素數，並取 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述： 高斯得到的結果是： 由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- في الرياضيات، مجموع غاوس (بالإنجليزية: Gauss sum) أو مجموع غاوسي (بالإنجليزية: Gaussian sum) هو نوع ما من المجاميع المنتهية لجذور الوحدة. انظر إلى . (ar)
- En matemàtiques, i més precisament en aritmètica modular, el sumatori de Gauss és un nombre complex. El sumatori de Gauss fa servir les eines de l'anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit sobre el cos finit on p designa un senar i Z el conjunt dels enters. Va ser introduït pel matemàtic Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) que el va fer servir en els seus Disquisitiones arithmeticae, aparegudes el 1801. Es fan servir per establir la teoria dels polinomis ciclotòmics i tenen nombroses aplicacions. Es pot citar per exemple una demostració de la llei de reciprocitat quadràtica. (ca)
- 数学におけるガウス和（ガウスわ、英: Gauss sum）あるいはガウスの和とは、ある特別な1の冪根の有限和である。典型的に で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ(r) は加法群 R+ から（複素平面の）単位円への群準同型で、χ(r) は単数群 R× から単位円への群準同型である。単元でない r については χ(r) = 0 と拡張する。ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。 このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, χ) と L(1 − s, χ) を関連付ける方程式が を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし χ は χ の複素共役である。 (ja)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Gauss-som een bepaalde vorm van eindige som van eenheidswortels. Een typisch voorbeeld is waar de som over elementen r van enige eindige commutatieve ring R, ψ(r) een groepshomomorfisme is van de R+ in en op de eenheidscirkel, en χ(r) een groepshomomorfisme is van de R× in en op de eenheidscirkel, uitgebreid tot niet-eenheid r, waar het de waarde 0 heeft. Gauss-sommen zijn de analoga voor eindige lichamen van de gammafunctie. (nl)
- Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych. (pl)
- 在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為 其中 為有限交換環， 為同態， 亦為同態，對於 ，可定義 。 這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 ，特徵 必為 之形式（），此處的 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 ，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。 高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 ，其中 為素數，並取 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述： 高斯得到的結果是： 由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。 (zh)
- Die Gaußsche Summe, Gaußsumme oder Gauß-Summe (nicht zu verwechseln mit der gaußschen Summenformel) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise Dabei geht die Summe über die Elemente eines endlichen kommutativen Rings , ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe in den Einheitskreis und ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten.Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter die Gleichung in der Beziehung zwischen und den Faktor (de)
- In algebraic number theory, a Gauss sum or Gaussian sum is a particular kind of finite sum of roots of unity, typically where the sum is over elements r of some finite commutative ring R, ψ is a group homomorphism of the additive group R+ into the unit circle, and χ is a group homomorphism of the unit group R× into the unit circle, extended to non-unit r, where it takes the value 0. Gauss sums are the analogues for finite fields of the Gamma function. (en)
- En matemáticas, una suma de Gauss o suma gaussiana es un tipo particular de suma finita de raíces de la unidad, usualmente donde la suma es sobre los elementos r de algún anillo conmutativo finito R, ψ(r) es un homomorfismo de grupos del grupo aditivo R+ sobre el círculo unitario, y χ(r) es un homomorfismo de grupo del grupo unitario R× dentro del círculo, extendido a r no unitario, donde éste toma el valor de 0. Las sumas gaussianas son los análogos para campos finitos de la función gamma. donde χ* es el complejo conjugado de χ. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. (fr)
- In matematica, una somma di Gauss è un particolare tipo di somma finita delle radici dell'unità, ad esempio: dove la somma è su gli elementi r di un anello commutativo finito R, ψ(r) è un omomorfismo di gruppi del gruppo additivo R+ nella circonferenza unitaria, e χ(r) è un omomorfismo di R× (il gruppo degli elementi invertibili di R) nella circonferenza unitaria, esteso alle non unità r, per le quali assume il valore 0. La somma di Gauss è l'analogo per i campi finiti della funzione Gamma. (χ* è il complesso coniugato di χ). Una forma alternativa per la somma di Gauss è: (it)
- В математике под суммой Гаусса понимается определенный вид конечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде Здесь сумма берется по всем элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R, ψ(r) — гомоморфизм аддитивной группы R+ в единичную окружность, и χ(r) — гомоморфизм группы единиц R× в единичную окружность, расширенную элементом 0. Суммы Гаусса являются аналогом гамма-функций для случая конечных полей. Эти суммы часто встречаются в теории чисел, в частности, в функциональных уравнениях L-функций Дирихле. Альтернативная форма записи суммы Гаусса: (ru)
|
