| dbo:abstract
|
- Enumerative combinatorics is an area of combinatorics that deals with the number of ways that certain patterns can be formed. Two examples of this type of problem are counting combinations and counting permutations. More generally, given an infinite collection of finite sets Si indexed by the natural numbers, enumerative combinatorics seeks to describe a counting function which counts the number of objects in Sn for each n. Although counting the number of elements in a set is a rather broad mathematical problem, many of the problems that arise in applications have a relatively simple combinatorial description. The twelvefold way provides a unified framework for counting permutations, combinations and partitions. The simplest such functions are closed formulas, which can be expressed as a composition of elementary functions such as factorials, powers, and so on. For instance, as shown below, the number of different possible orderings of a deck of n cards is f(n) = n!. The problem of finding a closed formula is known as algebraic enumeration, and frequently involves deriving a recurrence relation or generating function and using this to arrive at the desired closed form. Often, a complicated closed formula yields little insight into the behavior of the counting function as the number of counted objects grows. In these cases, a simple asymptotic approximation may be preferable. A function is an asymptotic approximation to if as . In this case, we write (en)
- Die abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen
* unterscheidbarer oder nicht unterscheidbarer Objekte (d. h. „ohne“ bzw. „mit“ Wiederholung derselben Objekte) sowie
* mit oder ohne Beachtung ihrer Reihenfolge (d. h. „geordnet“ bzw. „ungeordnet“). In der modernen Kombinatorik werden diese Auswahlen oder Anordnungen auch als Abbildungen betrachtet, so dass sich die Aufgabe der Kombinatorik in diesem Zusammenhang im Wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen zu zählen. (de)
- La combinatoria enumerativa es un área de la combinatoria que trata de la cantidad de maneras en que se pueden formar ciertos patrones. Dos ejemplos de este tipo de problema son contar combinaciones y contar permutaciones. De manera más general, dada una colección infinita de conjuntos finitos Si indexados por los números naturales, la combinatoria enumerativa busca describir una función de conteo que cuenta el número de objetos en Sn para cada n. Aunque contar el número de elementos en un conjunto es un problema matemático bastante amplio, muchos de los problemas que surgen en las aplicaciones tienen una descripción combinatoria relativamente simple. Las funciones más simples son las fórmulas cerradas, que se pueden expresar como una composición de funciones elementales como factoriales, potencia, etc. Por ejemplo, como se muestra a continuación, el número de diferentes ordenamientos posibles de un mazo de n cartas es f(n) = n!. El problema de encontrar una fórmula cerrada se conoce como enumeración algebraica, y con frecuencia implica derivar una relación de recurrencia o función generadora y usar esto para llegar a la forma cerrada deseada.A menudo, una fórmula cerrada complicada proporciona poca información sobre el comportamiento de la función de conteo a medida que crece el número de objetos contados. En estos casos, una aproximación asintótica simple puede ser preferible. Una función g(n) es una aproximación asintótica a si . En este caso escribimos . (es)
- 数学における初等組合せ論 (elementary combinatorics), 有限組合せ論 (finite combinatorics), 数え上げ組合せ論 (enumerative combinatorics) あるいは数え上げの数学（かぞえあげのすうがく、英: mathematics of counting）とは、一定のパターンに従って形作られる方法の総数を扱う組合せ論の一分野を言う。この種の問題の代表例が組合せと順列の総数を算えることである。より一般には、自然数で添字付けられた有限集合 Si の無限族が与えられたとき、各 n に対する Sn に属する元の総数を数える「計数函数」(counting function) を記述することを模索するのが数え上げ数学の主題である。特定の集合に属する元の数を算えるというのはより広汎な数学的問題であるにも拘らず、そのような問題の多くは単純な組合せ論的記述に関連した応用から生じてくるのである。写像12相は順列、組合せおよび分割の数え上げに対する統一的な枠組みを与える。 最も単純な種類のパターンではそのような計数函数が、四則演算や冪あるいは階乗などの初等的な函数の合成となるような、として与えられる。例えば、n 枚のカードからなる山札に対して、可能なすべての相異なる並べ方の総数は f(n) = n! で与えられる。このような閉じた式を求める問題はとも呼ばれ、しばしば漸化式や母函数を導いてそれらを適切に解くことにより所望の閉じた形へ到達する。 閉じた形の式が複雑になると、算える対象の数の増加に伴って計数函数がどのように振る舞うかが洞察しづらくなることがよく起きる。そのような場合においては、単純な近似が有効となりうる。ここで函数 g(n) が f(n) の漸近近似である: f(n) ∼ g(n) とは、f(n)/g(n) → 1 (n → ∞) が成り立つことを言う。 (ja)
- Combinatória enumerativa é uma área de combinatória que lida com o número de maneiras que certos padrões podem ser formados. Dois exemplos desse tipo de problema estão contando combinações e contando permutações. De modo mais geral, dado um conjunto infinito de conjuntos finitos {Si} indexado pelos números naturais, combinatória enumerativa procura descrever a função de contagem que conta o número de objetos em Sn para cada n. Apesar de contar o número de elementos em um conjunto é um problema matemático bastante amplo, muitos dos problemas que surgem em aplicações têm uma descrição relativamente simples combinatória. A maneira 'twelvefold' fornece uma estrutura unificada para a contagem de permutações, combinações e partições. As mais simples são tais funções fórmulas fechadas, que podem ser expressas como uma composição de funções elementares, tais como factoriais, poderes, e assim por diante. Por exemplo, como mostrado abaixo, o número de diferentes ordenamentos possíveis de um baralho de cartas n é f (n) = n!. Muitas vezes, não há forma fechada está inicialmente disponível. Nestes casos, muitas vezes primeiro derivar uma relação de recorrência, em seguida resolver a recorrência para chegar à forma fechada desejado. Finalmente, f(n) pode ser expressa por uma série de potências formal, chamada de função geradora, que é mais comumente ou a função geradora ordinária ou a função geradora exponencial Muitas vezes, uma fórmula fechada complicado rende pouco de conhecimento sobre o comportamento da função de contagem como o número de objetos contados cresce. Nestes casos, uma simples aproximação assintótica pode ser preferível. Uma função g(n) é uma aproximação assintótica para if Neste caso, escrevemos Uma vez determinada, a função geradora produz a informação dada pelas abordagens anteriores. Além disso, as várias operações sobre as funções naturais, tais como a adição, a multiplicação, diferenciação, etc gerando, tem um significado combinatória, o que permite uma a estender os resultados a partir de um problema combinatório de modo a resolver os outros. (pt)
- 组合计数是组合数学中最基本也是最古老的内容之一。研究的最基本问题是：满足特定条件下的计数对象的数目。所运用的方法，较古典的有生成函数、、分析等，近代则有、的方法。 (zh)
- Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) — раздел комбинаторики, который рассматривает задачи о перечислении, то есть подсчёте количества, или непосредственного построения и перебора, различных конфигураций (например, перестановок), образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п. Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения. Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример — известная Задача о письмах. (ru)
- Нумераційна комбінаторика - це область комбінаторики, яка взаємодіє з кількістю способів формування деяких множин. Наприклад, це може бути підрахунок комбінацій або перестановок. Загальна задача така. Задано нескінченну множину скінченних множин Si занумерованих натуральними числами, нумераційна комбінаторика прагне описати функцію підрахунку, яка підраховує кількість об'єктів в Sn для кожного n. Хоча підрахунок кількості елементів у множині є досить загальна математична задача, багато проблем, які виникають у додатках, мають відносно простий комбінаторний опис. забезпечує єдину основу для підрахунку перестановок, сполучень та розбиття множини. Прикладом найпростішої такої функції є замкнена формула, яка може бути виражена композицією елементарних функцій, таких як факторіали, повноваження і так далі. Наприклад, як показано нижче, число різних можливих впорядкування колода з n карт f(n) = n!. Проблема пошуку замкненої формули називається алгебраїчним перерахуванням і часто включає в себе отримання рекурентного співвідношення або функції генерації та їх використання для отримання бажаного у закритому вигляді. Часто, складні закриті формули дають мало інформації про поведінку функції обліку, бо кількість підрахованих об'єктів зростає. У таких випадках краще використовувати асимптотичний аналіз. Функція р(N) являє собою асимптотичне наближення до , якщо коли. У цьому випадку пишемо Нехай - нумерація. Множина - властивість множин (відносно нумерації ), якщо з та слідує Нехай тепер та - дві непересічних властивості множин, і нехай знайдуться точки та для яких Тоді не існує рекурсивно нумераційної множини, об'ємлючої властивість та яка не перетинається із (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Die abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen
* unterscheidbarer oder nicht unterscheidbarer Objekte (d. h. „ohne“ bzw. „mit“ Wiederholung derselben Objekte) sowie
* mit oder ohne Beachtung ihrer Reihenfolge (d. h. „geordnet“ bzw. „ungeordnet“). In der modernen Kombinatorik werden diese Auswahlen oder Anordnungen auch als Abbildungen betrachtet, so dass sich die Aufgabe der Kombinatorik in diesem Zusammenhang im Wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen zu zählen. (de)
- 组合计数是组合数学中最基本也是最古老的内容之一。研究的最基本问题是：满足特定条件下的计数对象的数目。所运用的方法，较古典的有生成函数、、分析等，近代则有、的方法。 (zh)
- Enumerative combinatorics is an area of combinatorics that deals with the number of ways that certain patterns can be formed. Two examples of this type of problem are counting combinations and counting permutations. More generally, given an infinite collection of finite sets Si indexed by the natural numbers, enumerative combinatorics seeks to describe a counting function which counts the number of objects in Sn for each n. Although counting the number of elements in a set is a rather broad mathematical problem, many of the problems that arise in applications have a relatively simple combinatorial description. The twelvefold way provides a unified framework for counting permutations, combinations and partitions. (en)
- La combinatoria enumerativa es un área de la combinatoria que trata de la cantidad de maneras en que se pueden formar ciertos patrones. Dos ejemplos de este tipo de problema son contar combinaciones y contar permutaciones. De manera más general, dada una colección infinita de conjuntos finitos Si indexados por los números naturales, la combinatoria enumerativa busca describir una función de conteo que cuenta el número de objetos en Sn para cada n. Aunque contar el número de elementos en un conjunto es un problema matemático bastante amplio, muchos de los problemas que surgen en las aplicaciones tienen una descripción combinatoria relativamente simple. Las funciones más simples son las fórmulas cerradas, que se pueden expresar como una composición de funciones elementales como factoriales, (es)
- 数学における初等組合せ論 (elementary combinatorics), 有限組合せ論 (finite combinatorics), 数え上げ組合せ論 (enumerative combinatorics) あるいは数え上げの数学（かぞえあげのすうがく、英: mathematics of counting）とは、一定のパターンに従って形作られる方法の総数を扱う組合せ論の一分野を言う。この種の問題の代表例が組合せと順列の総数を算えることである。より一般には、自然数で添字付けられた有限集合 Si の無限族が与えられたとき、各 n に対する Sn に属する元の総数を数える「計数函数」(counting function) を記述することを模索するのが数え上げ数学の主題である。特定の集合に属する元の数を算えるというのはより広汎な数学的問題であるにも拘らず、そのような問題の多くは単純な組合せ論的記述に関連した応用から生じてくるのである。写像12相は順列、組合せおよび分割の数え上げに対する統一的な枠組みを与える。 (ja)
- Combinatória enumerativa é uma área de combinatória que lida com o número de maneiras que certos padrões podem ser formados. Dois exemplos desse tipo de problema estão contando combinações e contando permutações. De modo mais geral, dado um conjunto infinito de conjuntos finitos {Si} indexado pelos números naturais, combinatória enumerativa procura descrever a função de contagem que conta o número de objetos em Sn para cada n. Apesar de contar o número de elementos em um conjunto é um problema matemático bastante amplo, muitos dos problemas que surgem em aplicações têm uma descrição relativamente simples combinatória. A maneira 'twelvefold' fornece uma estrutura unificada para a contagem de permutações, combinações e partições. (pt)
- Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) — раздел комбинаторики, который рассматривает задачи о перечислении, то есть подсчёте количества, или непосредственного построения и перебора, различных конфигураций (например, перестановок), образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п. Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения. (ru)
- Нумераційна комбінаторика - це область комбінаторики, яка взаємодіє з кількістю способів формування деяких множин. Наприклад, це може бути підрахунок комбінацій або перестановок. Загальна задача така. Задано нескінченну множину скінченних множин Si занумерованих натуральними числами, нумераційна комбінаторика прагне описати функцію підрахунку, яка підраховує кількість об'єктів в Sn для кожного n. Хоча підрахунок кількості елементів у множині є досить загальна математична задача, багато проблем, які виникають у додатках, мають відносно простий комбінаторний опис. забезпечує єдину основу для підрахунку перестановок, сполучень та розбиття множини. (uk)
|
