In mathematics, if G is a group and ρ is a linear representation of it on the vector space V, then the dual representation ρ* is defined over the dual vector space V* as follows: ρ*(g) is the transpose of ρ(g−1), that is, ρ*(g) = ρ(g−1)T for all g ∈ G. The dual representation is also known as the contragredient representation. If g is a Lie algebra and π is a representation of it on the vector space V, then the dual representation π* is defined over the dual vector space V* as follows: π*(X) = −π(X)T for all X ∈ g. In both cases, the dual representation is a representation in the usual sense.

Property Value
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  • In mathematics, if G is a group and ρ is a linear representation of it on the vector space V, then the dual representation ρ* is defined over the dual vector space V* as follows: ρ*(g) is the transpose of ρ(g−1), that is, ρ*(g) = ρ(g−1)T for all g ∈ G. The dual representation is also known as the contragredient representation. If g is a Lie algebra and π is a representation of it on the vector space V, then the dual representation π* is defined over the dual vector space V* as follows: π*(X) = −π(X)T for all X ∈ g. In both cases, the dual representation is a representation in the usual sense. (en)
  • En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V. * Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de ρ(g-1). * Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie , alors ρ* est la représentation de définie par :pour tout élément u de , ρ*(u) est la transposée de - ρ(u). Pour une représentation unitaire (en), la représentation duale est équivalente à la représentation conjuguée. (fr)
  • 数学において、G が群で ρ がベクトル空間 V 上の G の線型表現であるとき、反傾表現(はんけいひょうげん、英: contragredient representation)あるいは双対表現(そうついひょうげん、英: dual representation)ρ* は以下のようにして双対ベクトル空間 V* 上定義される: ρ*(g) は ρ(g−1) の転置である、つまり、すべての g ∈ G に対して ρ*(g) = ρ(g−1)T である。 g がリー環で π がベクトル空間 V 上のその表現であれば、反傾表現 π* は以下のようにして双対ベクトル空間 V* 上定義される: すべての X ∈ g に対して π*(X) = −π(X)T. いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。 ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現と等しい。 (ja)
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  • In mathematics, if G is a group and ρ is a linear representation of it on the vector space V, then the dual representation ρ* is defined over the dual vector space V* as follows: ρ*(g) is the transpose of ρ(g−1), that is, ρ*(g) = ρ(g−1)T for all g ∈ G. The dual representation is also known as the contragredient representation. If g is a Lie algebra and π is a representation of it on the vector space V, then the dual representation π* is defined over the dual vector space V* as follows: π*(X) = −π(X)T for all X ∈ g. In both cases, the dual representation is a representation in the usual sense. (en)
  • 数学において、G が群で ρ がベクトル空間 V 上の G の線型表現であるとき、反傾表現(はんけいひょうげん、英: contragredient representation)あるいは双対表現(そうついひょうげん、英: dual representation)ρ* は以下のようにして双対ベクトル空間 V* 上定義される: ρ*(g) は ρ(g−1) の転置である、つまり、すべての g ∈ G に対して ρ*(g) = ρ(g−1)T である。 g がリー環で π がベクトル空間 V 上のその表現であれば、反傾表現 π* は以下のようにして双対ベクトル空間 V* 上定義される: すべての X ∈ g に対して π*(X) = −π(X)T. いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。 ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現と等しい。 (ja)
  • En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V. * Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de ρ(g-1). * Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie , alors ρ* est la représentation de définie par :pour tout élément u de , ρ*(u) est la transposée de - ρ(u). (fr)
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  • Dual representation (en)
  • Représentation duale (fr)
  • 反傾表現 (ja)
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