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Statements

Subject Item

dbr:Change_of_basis

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Matice přechodu 基底変換 Mudança de base Matrice di cambiamento di base Зміна базису Basiswechsel (Vektorraum) Change of basis Ŝanĝo de bazo Canvi de base تغيير القاعدة (جبر خطي) Basistransformatie 基变更 Changement de base (algèbre linéaire) Basbyte Cambio de base

rdfs:comment

基底的變換或稱基的變換（change of basis）在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。 尽管下面采用了术语向量空间，符号 R 意味着实数域，这里讨论的结果成立只要 R 是交换环，而这里的向量空间可替代为自由 R-模。 線型代数学において、ある次元 n のベクトル空間に対する基底は、n 個のベクトル α1, ..., αn の列で、その空間内のすべてのベクトルがそれら基底ベクトルの線型結合として一意的に表現されるという性質が成り立つ。作用素の行列表示も、同様にその選ばれた基底によって一意的に決定される。しばしば一つのベクトル空間に対して、複数の基底について考えることが望ましいことがあり、したがって線型代数学における本質的に重要な概念として、ある一つの基底に対するベクトルと作用素の座標に関する表現を、他の基底に対する同値な表現へと簡単に変換する、というものが存在する。そのような変換のことを基底変換（きていへんかん、英: change of basis）と呼ぶ。 以下ではベクトル空間の語を用い、記号 R は実数の体を意味するために用いられるが、そこで議論される結果は R が可換環であり「ベクトル空間」が「自由R-加群に置き換えられた場合にも成立する。 في الجبر الخطي، قاعدة فضاء متجهي (قد تسمى أيضا أساسه) بُعده يساوي n، هي متتالية من المتجهات حيث يُعبر عن كل متجهة من الفضاء المتجهي بتعبير وحيد على شكل تركيبة خطية لهؤلاء المتجهات. In mathematics, an ordered basis of a vector space of finite dimension n allows representing uniquely any element of the vector space by a coordinate vector, which is a sequence of n scalars called coordinates. If two different bases are considered, the coordinate vector that represents a vector v on one basis is, in general, different from the coordinate vector that represents v on the other basis. A change of basis consists of converting every assertion expressed in terms of coordinates relative to one basis into an assertion expressed in terms of coordinates relative to the other basis. Em álgebra linear, uma base para um espaço vetorial de dimensão n é uma sequência de n vetores (α1, …, αn) com a propriedade de que todo vetor do espaço pode ser representado de forma única como uma combinação linear dos vetores da base. As representações matriciais dos operadores também são determinadas pela base escolhida. Como geralmente é desejável trabalhar com mais de uma base para um espaço vetorial, é de importância fundamental em álgebra linear poder transformar facilmente representações por meio de coordenadas relativas a uma base em suas representações equivalentes com relação a outra base. Tal transformação é chamada de mudança de base. En lineara algebro, oni povas konsideri iun finidimensian vektoran spacon, kiu povas havi asociitan kun ĝi iun bazon kun kiu oni povas labori. La norma bazo povas esti sufiĉa, sed oni ankaŭ povas ŝanĝi bazon por konverti certajn problemojn en la pli simplajn. Un cambio de base se define como una aplicación lineal que permite relacionar entre sí las coordenadas de un espacio vectorial expresadas respecto a dos bases distintas. Esta definición depende a su vez del concepto de base en álgebra lineal, que se caracteriza como un conjunto de elementos linealmente independientes entre sí que constituyen un sistema generador del espacio vectorial al que pertenecen.​​​ Este artículo trata principalmente sobre espacios vectoriales de dimensión finita, pero muchos de los teoremas también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.​ Una base de un espacio vectorial de dimensión n es un conjunto de n vectores (α1, …, αn), llamados base de vectores, con la propiedad de que cada vector en el espacio puede expresarse como una combinación linea Basbyte är inom linjär algebra en transformation från en bas till en annan. Det kan till exempel handla om att man byter från ett koordinatsystem som använder kilometer till ett som använder mil eller från ett som utgår från jordaxeln till ett som utgår från ett fordons längdaxel. Låt vara den gamla basen för Rn och vara den nya basen för Rn och där transformationsmatrisen P är en icke-singulär matris vars kolonner utgörs av koordinaterna för de nya basvektorerna uttryckta i gamla basen. För koordinatmatriserna för vektor x i baserna xe och xf gäller då att En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires. In de lineaire algebra is een basistransformatie een overgang van de ene basis op een andere. Een basistransformatie wordt beschreven door de matrix van basisverandering, een matrix die de coördinaten ten opzichte van de ene basis omrekent in de coördinaten ten opzichte van de andere basis. Bij een actieve coördinatentransformatie blijven de coördinaten hetzelfde, en verandert het object (van plaats, grootte en/of vorm, enz.), bij een passieve veranderen de coördinaten en blijft het object hetzelfde. Een basistransformatie is dus een passieve coördinatentransformatie, en wel een lineaire. Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper . Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation. In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base o di coordinate è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale. Matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru je nástroj pro snadný převod souřadnic vektorů nebo bodů z jedné souřadné soustavy do druhé. Ve spojení s inverzní maticí se používá k vyjádření lineárního zobrazení v jiné soustavě souřadnic. Toto usnadňuje například modelování fyzikálních polí v ortotropních materiálech. У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою. Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів. Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів (α1, …, αn), які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів. Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних пр En àlgebra lineal, una base d'un espai vectorial de dimensió n és un conjunt de n vectors α1, ..., αn amb la propietat que tot vector de l'espai es pot expressar de forma única com a combinació lineal dels vectors de la base. Les representacions matricials de les transformacions lineals també estan determinades per la base escollida. Com que sovint és convenient treballar amb més d'una base per un espai vectorial, té una importància fonamental disposar d'una eina per transformar de forma simple les representacions en coordenades de vectors i aplicacions respecte a una base a les seves representacions equivalents respecte a l'altra base. Una tal transformació d'una base a l'altra s'anomena canvi de base.

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A linear combination of one basis of vectors obtains new vectors . If they are linearly independent, these form a new basis. The linear combinations relating the first basis to the other extend to a linear transformation, called the change of basis. A vector represented by two different bases .

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vertical

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Em álgebra linear, uma base para um espaço vetorial de dimensão n é uma sequência de n vetores (α1, …, αn) com a propriedade de que todo vetor do espaço pode ser representado de forma única como uma combinação linear dos vetores da base. As representações matriciais dos operadores também são determinadas pela base escolhida. Como geralmente é desejável trabalhar com mais de uma base para um espaço vetorial, é de importância fundamental em álgebra linear poder transformar facilmente representações por meio de coordenadas relativas a uma base em suas representações equivalentes com relação a outra base. Tal transformação é chamada de mudança de base. Embora a terminologia dos espaços vetoriais seja utilizada a seguir e o símbolo R possa ser considerado como o corpo dos números reais, os resultados discutidos valem sempre que R for um anel comutativo e a expressão espaço vetorial for substituída em todos os lugares por R-módulo livre. У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою. Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів. Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів (α1, …, αn), які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів. Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису. Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль. Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Körper . Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen. Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation. Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden, die Basiswechselmatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix genannt wird. Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezüglich der neuen Basis ausrechnen. Stellt man die Basisvektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis dar, so bilden die Koeffizienten dieser Linearkombinationen die Einträge der Basiswechselmatrix. In mathematics, an ordered basis of a vector space of finite dimension n allows representing uniquely any element of the vector space by a coordinate vector, which is a sequence of n scalars called coordinates. If two different bases are considered, the coordinate vector that represents a vector v on one basis is, in general, different from the coordinate vector that represents v on the other basis. A change of basis consists of converting every assertion expressed in terms of coordinates relative to one basis into an assertion expressed in terms of coordinates relative to the other basis. Such a conversion results from the change-of-basis formula which expresses the coordinates relative to one basis in terms of coordinates relative to the other basis. Using matrices, this formula can be written where "old" and "new" refer respectively to the firstly defined basis and the other basis, and are the column vectors of the coordinates of the same vector on the two bases, and is the change-of-basis matrix (also called transition matrix), which is the matrix whose columns are the coordinate vectors of the new basis vectors on the old basis. This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces. In de lineaire algebra is een basistransformatie een overgang van de ene basis op een andere. Een basistransformatie wordt beschreven door de matrix van basisverandering, een matrix die de coördinaten ten opzichte van de ene basis omrekent in de coördinaten ten opzichte van de andere basis. Bij een actieve coördinatentransformatie blijven de coördinaten hetzelfde, en verandert het object (van plaats, grootte en/of vorm, enz.), bij een passieve veranderen de coördinaten en blijft het object hetzelfde. Een basistransformatie is dus een passieve coördinatentransformatie, en wel een lineaire. في الجبر الخطي، قاعدة فضاء متجهي (قد تسمى أيضا أساسه) بُعده يساوي n، هي متتالية من المتجهات حيث يُعبر عن كل متجهة من الفضاء المتجهي بتعبير وحيد على شكل تركيبة خطية لهؤلاء المتجهات. 基底的變換或稱基的變換（change of basis）在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。 尽管下面采用了术语向量空间，符号 R 意味着实数域，这里讨论的结果成立只要 R 是交换环，而这里的向量空间可替代为自由 R-模。 En àlgebra lineal, una base d'un espai vectorial de dimensió n és un conjunt de n vectors α1, ..., αn amb la propietat que tot vector de l'espai es pot expressar de forma única com a combinació lineal dels vectors de la base. Les representacions matricials de les transformacions lineals també estan determinades per la base escollida. Com que sovint és convenient treballar amb més d'una base per un espai vectorial, té una importància fonamental disposar d'una eina per transformar de forma simple les representacions en coordenades de vectors i aplicacions respecte a una base a les seves representacions equivalents respecte a l'altra base. Una tal transformació d'una base a l'altra s'anomena canvi de base. Tot i que emprarem la terminologia d'espais vectorials, i el símbol R pot representar el cos dels nombres reals, els resultats que veurem també són certs si R és un anell commutatiu i substituïm espai vectorial per R-mòdul lliure. Matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru je nástroj pro snadný převod souřadnic vektorů nebo bodů z jedné souřadné soustavy do druhé. Ve spojení s inverzní maticí se používá k vyjádření lineárního zobrazení v jiné soustavě souřadnic. Toto usnadňuje například modelování fyzikálních polí v ortotropních materiálech. In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base o di coordinate è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale. 線型代数学において、ある次元 n のベクトル空間に対する基底は、n 個のベクトル α1, ..., αn の列で、その空間内のすべてのベクトルがそれら基底ベクトルの線型結合として一意的に表現されるという性質が成り立つ。作用素の行列表示も、同様にその選ばれた基底によって一意的に決定される。しばしば一つのベクトル空間に対して、複数の基底について考えることが望ましいことがあり、したがって線型代数学における本質的に重要な概念として、ある一つの基底に対するベクトルと作用素の座標に関する表現を、他の基底に対する同値な表現へと簡単に変換する、というものが存在する。そのような変換のことを基底変換（きていへんかん、英: change of basis）と呼ぶ。 以下ではベクトル空間の語を用い、記号 R は実数の体を意味するために用いられるが、そこで議論される結果は R が可換環であり「ベクトル空間」が「自由R-加群に置き換えられた場合にも成立する。 Basbyte är inom linjär algebra en transformation från en bas till en annan. Det kan till exempel handla om att man byter från ett koordinatsystem som använder kilometer till ett som använder mil eller från ett som utgår från jordaxeln till ett som utgår från ett fordons längdaxel. Låt vara den gamla basen för Rn och vara den nya basen för Rn och där transformationsmatrisen P är en icke-singulär matris vars kolonner utgörs av koordinaterna för de nya basvektorerna uttryckta i gamla basen. För koordinatmatriserna för vektor x i baserna xe och xf gäller då att Om baserna är ortogonala baser är P en ortogonal matris vilket ger att Vid linjär avbildning av matrisen A från Rm till Rn, där alla vektorer är i standardbaser, gäller sambandet där Q och P är de matriser vars kolonner utgörs av de nya baserna för Rm och Rn. Un cambio de base se define como una aplicación lineal que permite relacionar entre sí las coordenadas de un espacio vectorial expresadas respecto a dos bases distintas. Esta definición depende a su vez del concepto de base en álgebra lineal, que se caracteriza como un conjunto de elementos linealmente independientes entre sí que constituyen un sistema generador del espacio vectorial al que pertenecen.​​​ Este artículo trata principalmente sobre espacios vectoriales de dimensión finita, pero muchos de los teoremas también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.​ Una base de un espacio vectorial de dimensión n es un conjunto de n vectores (α1, …, αn), llamados base de vectores, con la propiedad de que cada vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal única de los vectores de la base.​​​ Las representaciones matriciales de las aplicaciones que operan sobre los vectores también están determinadas por la base elegida. Dado que a menudo es deseable trabajar con más de una base, es de fundamental importancia poder transformar fácilmente las representaciones de los vectores coordenados y de las aplicaciones que operan sobre ellos definidos con respecto a una base, a sus representaciones equivalentes con respecto a otra base. Esta transformación se denomina cambio de base.​​​ Por ejemplo, si es una matriz cuyas columnas comprenden una base de , un vector (en la base estándar) también se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de por el vector . Entonces, por definición, . Si las columnas de forman una base ortonormal, entonces la inversa de es su transposición y se obtiene el cambio de base como , es decir, el vector de las proyecciones escalares de en las columnas de . Aunque el símbolo R que se utiliza a continuación puede interpretarse como el campo de los números reales, los resultados son válidos si R se reemplaza por cualquier otro campo F. Aunque a continuación se usa la terminología de espacios vectoriales, los resultados discutidos son válidos siempre que R sea un anillo conmutativo, de forma que el término espacio vectorial podría ser reemplazado por el término R-módulo libre, manteniéndose la validez de las expresiones utilizadas. En lineara algebro, oni povas konsideri iun finidimensian vektoran spacon, kiu povas havi asociitan kun ĝi iun bazon kun kiu oni povas labori. La norma bazo povas esti sufiĉa, sed oni ankaŭ povas ŝanĝi bazon por konverti certajn problemojn en la pli simplajn. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires.

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