This HTML5 document contains 255 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

The embedded RDF content will be recognized by any processor of HTML5 Microdata.

Namespace Prefixes

Prefix	IRI
dbt	http://dbpedia.org/resource/Template:
dbpedia-el	http://el.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sv	http://sv.dbpedia.org/resource/
wikipedia-en	http://en.wikipedia.org/wiki/
dbpedia-lmo	http://lmo.dbpedia.org/resource/
dbpedia-bg	http://bg.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fi	http://fi.dbpedia.org/resource/
dbr	http://dbpedia.org/resource/
n48	http://www.irregularwebcomic.net/
dbpedia-hr	http://hr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ar	http://ar.dbpedia.org/resource/
dbpedia-et	http://et.dbpedia.org/resource/
dbpedia-he	http://he.dbpedia.org/resource/
n38	http://demonstrations.wolfram.com/TheBanachTarskiParadox/
n17	http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/
dbpedia-fr	http://fr.dbpedia.org/resource/
dcterms	http://purl.org/dc/terms/
rdfs	http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#
dbpedia-cs	http://cs.dbpedia.org/resource/
rdf	http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#
n57	http://d-nb.info/gnd/
n35	http://dbpedia.org/resource/File:
dbp	http://dbpedia.org/property/
xsdh	http://www.w3.org/2001/XMLSchema#
dbpedia-id	http://id.dbpedia.org/resource/
dbpedia-uk	http://uk.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sr	http://sr.dbpedia.org/resource/
dbo	http://dbpedia.org/ontology/
n46	https://www.quantamagazine.org/how-a-mathematical-paradox-allows-infinite-cloning-20210826/
dbpedia-vi	http://vi.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pt	http://pt.dbpedia.org/resource/
dbpedia-hu	http://hu.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ja	http://ja.dbpedia.org/resource/
dbpedia-is	http://is.dbpedia.org/resource/
dbc	http://dbpedia.org/resource/Category:
dbpedia-de	http://de.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pl	http://pl.dbpedia.org/resource/
n58	https://www.youtube.com/
dbpedia-ru	http://ru.dbpedia.org/resource/
yago	http://dbpedia.org/class/yago/
wikidata	http://www.wikidata.org/entity/
n33	http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/
dbpedia-nl	http://nl.dbpedia.org/resource/
n41	https://math.hmc.edu/su/wp-content/uploads/sites/10/2019/06/
n39	https://global.dbpedia.org/id/
dbpedia-it	http://it.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ca	http://ca.dbpedia.org/resource/
prov	http://www.w3.org/ns/prov#
foaf	http://xmlns.com/foaf/0.1/
dbpedia-simple	http://simple.dbpedia.org/resource/
dbpedia-zh	http://zh.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ko	http://ko.dbpedia.org/resource/
n54	https://archive.org/details/
dbpedia-fa	http://fa.dbpedia.org/resource/
n21	http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/
dbpedia-es	http://es.dbpedia.org/resource/
freebase	http://rdf.freebase.com/ns/
dbpedia-ka	http://ka.dbpedia.org/resource/
owl	http://www.w3.org/2002/07/owl#

Statements

Subject Item

dbr:Banach–Tarski_paradox

rdf:type

yago:Falsehood106756407 owl:Thing yago:Contradiction107206887 yago:WikicatParadoxes yago:Communication100033020 yago:Abstraction100002137 yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInTheFoundationsOfMathematics yago:Message106598915 yago:WikicatMathematicsParadoxes yago:Proposition106750804 yago:Theorem106752293 yago:Paradox106724559 yago:Statement106722453

rdfs:label

Banach-Tarski-Paradoxon Paradoxa de Banach-Tarski Парадокс Банаха — Тарського Banachův–Tarského paradox Paradosso di Banach-Tarski Παράδοξο των Μπάναχ και Τάρσκι Paradoxe de Banach-Tarski 바나흐-타르스키 역설 Paradoja de Banach-Tarski Banach–Tarski paradox Paradoxo de Banach–Tarski مفارقة باناخ تارسكي 巴拿赫-塔斯基定理 バナッハ＝タルスキーのパラドックス Paradoks Banach–Tarski Banach-Tarskis paradox Paradoks Banacha-Tarskiego Парадокс Банаха — Тарского Banach-tarskiparadox

rdfs:comment

バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。 バナッハ＝タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。 この定理は次のように述べることも出来る。 * 球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。 ただし、分割合同とは以下のように定義される:A と B をユークリッド空間の部分集合とする。A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として つまり、 A = A1 ∪ ... ∪ An , B = B1 ∪ ... ∪ Bn と表すことができ、全ての i について、 と が合同であるとき、A と B を分割合同という。 さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。 * 3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内部が空でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。 とする事が出来る。 Парадокс Банаха — Тарського, або парадокс подвоєння кулі, стверджує, що тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям. Дві підмножини евклідового простору називаються рівноскладеними, якщо одну можна розбити на скінченне число «шматків» і скласти з них другу. При цьому для подвоєння кулі достатньо п'яти шматків, але чотирьох — ні. Точніше, дві множини і є рівноскладеними, якщо їх можна представити як скінченне об'єднання підмножин без перетинів , так, що для кожного підмножина конгруентна . Дійсний також сильніший варіант парадоксу: Banachův–Tarského paradox je tvrzení z oblasti geometrické teorie množin, které dokázali Stefan Banach a Alfred Tarski. V nejjednodušší verzi říká, že ve trojrozměrném prostoru lze libovolnou kouli rozdělit na konečný počet disjunktních podmnožin či částí (později bylo dokázáno, že stačí pět), které lze poté bez změny jejich tvaru složit tak, že vytvoří dvě identické kopie původní koule. Tvrzení lze zobecnit na libovolné rozumně vypadající objekty; například že kuličku velikosti hrášku lze rozdělit na části, ze kterých se dá složit koule velikosti Slunce; proto se někdy hovoří o paradoxu hrášku a Slunce. Το παράδοξο των Μπάναχ(αλλιώς Μπάνακ) και Τάρσκι είναι ένα «θεώρημα» στη συνόλων, το οποίο δηλώνει τα εξής: Δεδομένης μιας συμπαγούς σφαίρας στον τρισδιάστατο χώρο, είναι δυνατή μια αποσύνθεση της σφαίρας σε έναν πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών υποσυνόλων, τα οποία στη συνέχεια μπορούν να επανασυνδυαστούν με διαφορετικό τρόπο ώστε να δημιουργηθούν δύο πανομοιότυπα αντίγραφα της αρχικής σφαίρας. Πράγματι, η διαδικασία επανασυναρμολόγησης περιλαμβάνει μόνο τη μετακίνηση και την περιστροφή των τεμαχίων χωρίς να αλλάζει το σχήμα τους. Ωστόσο, τα ίδια τα κομμάτια δεν είναι "στερεά" με τη συνηθισμένη έννοια, αλλά άπειρα διάσπαρτα σημεία. Η ανακατασκευή μπορεί να λειτουργήσει με μόλις πέντε τεμάχια. The Banach–Tarski paradox is a theorem in set-theoretic geometry, which states the following: Given a solid ball in three-dimensional space, there exists a decomposition of the ball into a finite number of disjoint subsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball. Indeed, the reassembly process involves only moving the pieces around and rotating them without changing their shape. However, the pieces themselves are not "solids" in the usual sense, but infinite scatterings of points. The reconstruction can work with as few as five pieces. مفارقة باناخ-تارسكي تنص هذه المفارقة أنه إذا قمت بتقسيم كرة ذات حجم أو قطر يساوي «أ» بطريقة معينة ثم قمت بتجميع هذه الأجزاء بطريقة معينة، فإنه يمكنك أن تكون كرتين من الحجم أو القطر «أ». المفارقة تكمن في أن هناك حجماً مضافاً لا يعلم مصدره. باناخ برهنا صحة وإمكانية وجود هذه الظاهرة رياضياُ ونظرياً ولكن فقط وفقاً لمبدأ بديهية الاختيار ولقد اعتبراها نقداً لصحة هذا المبدأ الذي طالما كان مثيرا للجدل. حيث أن جميع القوانين المستخدمة في الإثبات تحفظ الحجم وبهذا يكون الخطأ راجع للمبدأ. فعند استخدام مبدأ -المرشح حديثاً كبديل- مثلا لا يمكن إثبات المفارقة. ولكن علماء الرياضيات البحتة لا زالوا يتمسكون بالمبدأ لاعتقادهم بوجود خطأ في مكان ما في مثل هذا الإثباتات غير المنطقية. 바나흐-타르스키 역설(영어: Banach–Tarski paradox)은 집합론 기하학의 정리 중 하나로, 3차원 상의 공을 유한 개의 조각으로 잘라서, 변형 없이 순수 공간이동만으로 재조합하면 원래 공과 같은 부피를 갖는 공 두 개를 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 최소 5개 조각으로 만드는 것이 가능하다. 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키에 의해 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명되었다. 이 때 공을 유한 개의 부분집합으로 분할할 때의 각 부분집합은 르베그 비가측 집합이다. 이 정리의 강력한 형태는 큰 공과 작은 공과 같은 적당한 두 단단한 물체 중 하나를 적당한 조각으로 잘라서 다른 물체로 재조립할 수 있다는 정리이다. 이를 영미권에서는 종종 "완두콩을 잘개 썰어 재조립하면 태양을 만들 수 있다"라고 인용하기 때문에 완두콩과 태양 역설(pea and the Sun paradox)이라고 부르기도 한다. 이 역설의 결과를 증명할 때에는 선택 공리가 반드시 필요하다. 선택공리가 없을 경우(체르멜로-프렝켈 집합론)나, 선택 공리 대신 의존적 선택 공리를 사용할 경우 정리가 성립하지 않는다. De Banach-Tarskiparadox is een stelling uit de meetkunde die zegt dat een massieve driedimensionale bol in een eindig aantal disjuncte (dat wil zeggen niet overlappende) delen gesplitst kan worden die weer samengevoegd kunnen worden tot twee identieke kopieën van de oorspronkelijke bol. Er is nader bewezen dat het met vijf delen kan. Argumenten als deze paradox uit de verzamelingenleer hebben voor felle kritiek op het keuzeaxioma gezorgd, nochtans wordt het keuzeaxioma nu door de meeste wiskundigen aanvaard. Banach–Tarskis paradox är ett teorem i mängdteorin inom geometrin som påstår följande: Ett givet klot i en tredimensionell rymd, kan sönderdelas i ett ändligt antal delmängder och sedan sättas ihop igen på ett nytt sätt, så att två identiska kopior av originalet erhålls. Det var i en artikel publicerad 1924 som Stefan Banach och Alfred Tarski påvisade följande resultat, av många betraktat som mycket förvånande: Satsen säger till exempel att en ärta kan delas i ändligt många bitar och sedan pusslas ihop till ett (solitt) jordklot. Teoremet har till och med uttrycks så här: och i översättning: En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème, démontré en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, qui affirme qu'il est possible de découper une boule de l'espace usuel en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près. Ce résultat paradoxal implique que ces morceaux soient non mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (le volume étant un exemple de mesure, cela veut plus simplement dire que ces morceaux n'ont pas de volume). Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku. Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Парадокс Ба́наха — Та́рского (также называется парадоксом удвоения шара и парадоксом Хаусдо́рфа — Банаха — Тарского) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут). Доказано, что для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно. Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden. Il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski è stato dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924. È il risultato noto come "raddoppiamento della sfera" ("doubling the ball"), con cui si stabilisce che, adoperando l'assioma della scelta, è possibile prendere una sfera nello spazio a tre dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale. La paradoxa de Banach-Tarski és en realitat un teorema (en ZFC) que afirma que és possible dividir una esfera (plena) de radi 1 en vuit parts disjuntes dos a dos, de manera que, aplicant moviments oportuns a cinc d'elles, obtinguem nous conjunts que constitueixin una partició d'una esfera (plena) de radi 1, i passi el mateix amb les tres parts restants. O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições. O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente: Paradoks Banach–Tarski adalah sebuah teorema geometri teori himpunan, yang dinyatakan sebagai berikut: Sebuah bola padat ditempatkan di ruang 3 dimensi, bola tersebut kemudian dipecah berkeping-keping dan disatukan kembali menjadi dua bola dengan ukuran yang sama dengan bola yang asli. Rekonstruksi dapat dilakukan dengan setidaknya lima kepingan. Paradoks tersebut sering kali dinyatakan sebagai "sebuah kacang yang dapat dipecah dan disatukan kembali menjadi Matahari" dan disebut "paradoks kacang dan Matahari". La paradoja de Banach–Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente: A continuación vemos una versión más contundente del teorema: Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma: Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol." En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre sí.​ 巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。 巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。有些叙述中这条定理被看成是悖论，但是定理本身没有逻辑上不一致的地方，实际上不符合悖论的定义。

foaf:depiction

n17:Paradoxical_decomposition_F_2.svg n17:Banach-Tarski_Paradox.svg

dcterms:subject

dbc:Mathematical_paradoxes dbc:1924_introductions dbc:Group_theory dbc:Geometric_dissection dbc:Paradoxes_of_infinity dbc:Theorems_in_the_foundations_of_mathematics dbc:Measure_theory

dbo:wikiPageID

19759220

dbo:wikiPageRevisionID

1102806640

dbo:wikiPageWikiLink

dbc:1924_introductions dbr:Lebesgue_measure dbr:Group_isomorphism dbr:Geometry dbc:Mathematical_paradoxes dbr:Dense_set dbr:Three-dimensional_space dbr:Mathematical_jargon dbr:Subset dbr:Free_group dbr:Euclidean_motion dbr:Stan_Wagon dbr:Paradoxical_decomposition dbr:Group_(mathematics) dbr:John_Frank_Adams dbr:Paradox dbr:Countably_many dbr:Paradoxical_set dbr:Orbit_(group_theory) dbc:Group_theory dbr:Isomorphism dbr:Simon_&_Schuster dbr:Fundamenta_Mathematicae dbr:Georg_Cantor dbr:Solvable_group dbc:Geometric_dissection dbr:Hausdorff_paradox dbr:Generating_set_of_a_group dbr:If_and_only_if dbr:Alfred_Tarski dbr:Nota_Bene dbr:Bounded_set dbr:Unit_sphere dbr:Polygon dbr:Rotation_group_SO(3) dbr:Identity_element dbr:Stefan_Banach dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:SL2(R) dbr:Concatenate dbr:Circle_group dbr:Volume dbr:Raphael_M._Robinson dbr:Disjoint_union dbr:Ball_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Natural_number dbr:Amenable_group dbr:Interior_(topology) dbc:Paradoxes_of_infinity dbc:Theorems_in_the_foundations_of_mathematics dbr:Special_affine_group dbr:Connected_space dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Equidecomposable dbr:Mathematical_proof dbr:Set_theory n35:Paradoxical_decomposition_F_2.svg dbr:Lie_group dbr:Countable dbr:Point_(geometry) dbr:Banach_measure dbr:Countable_set dbr:John_von_Neumann dbr:Unit_interval dbr:Countably_infinite dbr:SO(3) dbr:Theorem dbr:Existence_theorem dbr:Matthew_Foreman dbr:Translation_(geometry) dbr:Congruence_(geometry) dbr:Similarity_(geometry) dbr:Macalester_College dbr:Euclidean_space dbr:Transitive_action dbr:Kenzi_Satô dbr:Hahn–Banach_theorem dbr:Von_Neumann_conjecture dbr:Cardinality dbr:Equivalence_relation dbr:Properly_discontinuous dbr:Mathematics_and_the_Imagination n35:Banach-Tarski_Paradox.svg dbr:Bernstein–Schroeder_theorem dbr:SO(n) dbr:Wolfram_Demonstrations_Project dbr:Topological_interior dbr:Felix_Hausdorff dbr:Giuseppe_Vitali dbr:Paul_Cohen_(mathematician) dbr:Isometry dbr:Zermelo dbr:Miklós_Laczkovich dbr:Ultrafilter_lemma dbr:Non-measurable_set dbr:Bijective dbr:Jan_Mycielski dbr:Affine_transformation dbc:Measure_theory dbr:YouTube dbr:Uncountable_set dbr:Rotation dbr:Empty_set dbr:Axiom_of_choice dbr:Euclidean_plane dbr:Disjoint_sets dbr:Axiom_of_dependent_choice dbr:Vitali_set

dbo:wikiPageExternalLink

n21:fm6127.pdf n33:fm1316.pdf n38: n41:The-Banach-Tarski-Paradox.pdf n46: n48:2339.html n54:peasunmathematic0000wapn n58:watch%3Fv=s86-Z-CbaHA&list=PLZRRxQcaEjA5WaVaMtEB86yVXSH-XZ8eT&index=9

owl:sameAs

dbpedia-hr:Paradoks_Banacha_i_Tarskoga dbpedia-is:Banach–Tarski_þversögnin dbpedia-el:Παράδοξο_των_Μπάναχ_και_Τάρσκι dbpedia-bg:Парадокс_на_Банах-Тарски dbpedia-pl:Paradoks_Banacha-Tarskiego dbpedia-he:הפרדוקס_של_בנך-טרסקי dbpedia-pt:Paradoxo_de_Banach–Tarski dbpedia-fr:Paradoxe_de_Banach-Tarski dbpedia-fa:پارادوکس_باناخ–تارسکی dbpedia-ko:바나흐-타르스키_역설 dbpedia-es:Paradoja_de_Banach-Tarski dbpedia-nl:Banach-tarskiparadox dbpedia-simple:Banach–Tarski_paradox dbpedia-hu:Banach–Tarski-paradoxon dbpedia-de:Banach-Tarski-Paradoxon dbpedia-cs:Banachův–Tarského_paradox dbpedia-it:Paradosso_di_Banach-Tarski dbpedia-zh:巴拿赫-塔斯基定理 freebase:m.0cr_7 dbpedia-ja:バナッハ＝タルスキーのパラドックス n39:4v3T6 dbpedia-uk:Парадокс_Банаха_—_Тарського dbpedia-sr:Банах-Тарски_парадокс dbpedia-ca:Paradoxa_de_Banach-Tarski dbpedia-sv:Banach-Tarskis_paradox dbpedia-vi:Nghịch_lý_Banach–Tarski dbpedia-lmo:Paradoss_da_Banach-Tarski dbpedia-fi:Banachin–Tarskin_paradoksi dbpedia-ru:Парадокс_Банаха_—_Тарского dbpedia-et:Banachi-Tarski_paradoks wikidata:Q737851 dbpedia-id:Paradoks_Banach–Tarski dbpedia-ka:ბანახის-ტარსკის_პარადოქსი dbpedia-ar:مفارقة_باناخ_تارسكي n57:4143975-2

dbp:wikiPageUsesTemplate

dbt:Reflist dbt:= dbt:ProofWiki dbt:Short_description dbt:Not_a_typo dbt:Anchor dbt:Em dbt:Annotated_link dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_web dbt:Commons_category dbt:Main dbt:Authority_control dbt:Math

dbo:thumbnail

n17:Banach-Tarski_Paradox.svg?width=300

dbp:id

Banach-Tarski Paradox

dbp:title

Banach–Tarski paradox

dbo:abstract

Il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski è stato dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924. È il risultato noto come "raddoppiamento della sfera" ("doubling the ball"), con cui si stabilisce che, adoperando l'assioma della scelta, è possibile prendere una sfera nello spazio a tre dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio della sfera originale. Banachův–Tarského paradox je tvrzení z oblasti geometrické teorie množin, které dokázali Stefan Banach a Alfred Tarski. V nejjednodušší verzi říká, že ve trojrozměrném prostoru lze libovolnou kouli rozdělit na konečný počet disjunktních podmnožin či částí (později bylo dokázáno, že stačí pět), které lze poté bez změny jejich tvaru složit tak, že vytvoří dvě identické kopie původní koule. Tvrzení lze zobecnit na libovolné rozumně vypadající objekty; například že kuličku velikosti hrášku lze rozdělit na části, ze kterých se dá složit koule velikosti Slunce; proto se někdy hovoří o paradoxu hrášku a Slunce. Paradoxnost tvrzení spočívá v tom, že jde proti intuitivní představě o zachování objemu při přeskupování částí. Banachovo a Tarského tvrzení se ovšem opírá o axiomy teorie množin a disjunktní podmnožiny, které uvažuje, nejsou spojité části, ale tak složitá seskupení bodů, že jejich objem není definován. Lze je chápat jako demonstraci toho, že v rámci standardní teorie množin nelze rozšířit definici integrálu (tj. objemu) tak, aby smysluplně vycházel pro libovolnou omezenou množinu – určité typy množin musejí zůstat neintegrovatelné, neměřitelné. O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições. O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente: Sejam e dois subconjuntos de que são limitados e cujo interior não é vazio. Então é possível decompor e em partições finitas e tal que cada é congruente a cada . Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha. Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequências bizarras e contra-intuitivas. La paradoxa de Banach-Tarski és en realitat un teorema (en ZFC) que afirma que és possible dividir una esfera (plena) de radi 1 en vuit parts disjuntes dos a dos, de manera que, aplicant moviments oportuns a cinc d'elles, obtinguem nous conjunts que constitueixin una partició d'una esfera (plena) de radi 1, i passi el mateix amb les tres parts restants. En paraules més senzilles, se suposa que és possible fabricar un trencaclosques tridimensional d'un total de vuit peces, les quals, combinades d'una determinada manera, formarien una esfera completa i plena (sense forats) i, combinades d'una altra manera, formarien dues esferes farcides (sense forats) del mateix radi que la primera. El teorema de Banach-Tarski rep el nom de paradoxa perquè contradiu la nostra intuïció geomètrica bàsica. Les operacions bàsiques que es realitzen preserven el volum sempre que els fragments siguin mesurables, però precisament les vuit parts citades en el teorema són conjunts no mesurables. La construcció d'aquests conjunts fa ús de l'axioma d'elecció per a realitzar una quantitat no numerable d'eleccions arbitràries. Парадокс Ба́наха — Та́рского (также называется парадоксом удвоения шара и парадоксом Хаусдо́рфа — Банаха — Тарского) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут). Более точно, два множества и являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение попарно непересекающихся подмножеств , так, что для каждого подмножество конгруэнтно . Доказано, что для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно. Верен также более сильный вариант парадокса: Ввиду того, что вывод этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения.Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса. Удвоение шара, хотя и кажется весьма подозрительным с точки зрения повседневной интуиции (в самом деле, нельзя же из одного апельсина сделать два при помощи одного только ножа), тем не менее не является парадоксом в логическом смысле этого слова, поскольку не приводит к логическому противоречию наподобие того, как к логическому противоречию приводит так называемый парадокс брадобрея или парадокс Рассела. Banach–Tarskis paradox är ett teorem i mängdteorin inom geometrin som påstår följande: Ett givet klot i en tredimensionell rymd, kan sönderdelas i ett ändligt antal delmängder och sedan sättas ihop igen på ett nytt sätt, så att två identiska kopior av originalet erhålls. Det var i en artikel publicerad 1924 som Stefan Banach och Alfred Tarski påvisade följande resultat, av många betraktat som mycket förvånande: Satsen säger till exempel att en ärta kan delas i ändligt många bitar och sedan pusslas ihop till ett (solitt) jordklot. Teoremet har till och med uttrycks så här: och i översättning: Detta utgör paradoxen i Banach-Tarskis teorem. Lösningen ligger i att ”bitarna” är så komplicerade att det inte går att definiera deras volym på ett vettigt sätt. Bitarna har bland annat egenskapen att deras volym förändras när de roteras. Till skillnad från flertalet teorem inom geometrin beror resultatet på vilket mängdteoretiskt axiom som väljs. Teoremet kan bara bevisas när urvalsaxiomet används. Το παράδοξο των Μπάναχ(αλλιώς Μπάνακ) και Τάρσκι είναι ένα «θεώρημα» στη συνόλων, το οποίο δηλώνει τα εξής: Δεδομένης μιας συμπαγούς σφαίρας στον τρισδιάστατο χώρο, είναι δυνατή μια αποσύνθεση της σφαίρας σε έναν πεπερασμένο αριθμό διαφορετικών υποσυνόλων, τα οποία στη συνέχεια μπορούν να επανασυνδυαστούν με διαφορετικό τρόπο ώστε να δημιουργηθούν δύο πανομοιότυπα αντίγραφα της αρχικής σφαίρας. Πράγματι, η διαδικασία επανασυναρμολόγησης περιλαμβάνει μόνο τη μετακίνηση και την περιστροφή των τεμαχίων χωρίς να αλλάζει το σχήμα τους. Ωστόσο, τα ίδια τα κομμάτια δεν είναι "στερεά" με τη συνηθισμένη έννοια, αλλά άπειρα διάσπαρτα σημεία. Η ανακατασκευή μπορεί να λειτουργήσει με μόλις πέντε τεμάχια. En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème, démontré en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, qui affirme qu'il est possible de découper une boule de l'espace usuel en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près. Ce résultat paradoxal implique que ces morceaux soient non mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (le volume étant un exemple de mesure, cela veut plus simplement dire que ces morceaux n'ont pas de volume). Le paradoxe de Banach-Tarski se généralise à tous les , mais ne peut se réaliser dans le plan . La démonstration de ce résultat utilise l’axiome du choix, nécessaire pour construire des ensembles non mesurables. Парадокс Банаха — Тарського, або парадокс подвоєння кулі, стверджує, що тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям. Дві підмножини евклідового простору називаються рівноскладеними, якщо одну можна розбити на скінченне число «шматків» і скласти з них другу. При цьому для подвоєння кулі достатньо п'яти шматків, але чотирьох — ні. Точніше, дві множини і є рівноскладеними, якщо їх можна представити як скінченне об'єднання підмножин без перетинів , так, що для кожного підмножина конгруентна . Дійсний також сильніший варіант парадоксу: Зважаючи на його неправдоподібність, цей парадокс часто використовують як аргумент проти прийняття аксіоми вибору, яка істотно використовується для побудови такого розбиття.Прийняття відповідної альтернативної аксіоми дозволяє довести неможливість зазначеного розбиття, не залишаючи місця для цього парадоксу. Парадокс був відкритий 1926 року Стефаном Банахом і Альфредом Тарським. Дуже подібний на більш ранній парадокс Гаусдорфа, і його доведення засноване на тій самій ідеї. Тому правильніше називати Парадокс Банаха — Тарського парадоксом Гаусдорфа — Банаха — Тарського. バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。 バナッハ＝タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。 結果が直観に反することから、定理であるが「パラドックス」と呼ばれる。証明の1箇所で選択公理を使うため、選択公理の不合理性を論じる文脈で引用されることがある。ステファン・バナフ（バナッハ）とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、判断することは難しい（「この研究に対する選択公理の果たす役割は注目に値する。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述べていない）。なお、選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理からバナッハ＝タルスキーのパラドックスを導くことができる。また似たような話題としてシェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックスがあるがこちらは選択公理に依存しない。 この定理は次のように述べることも出来る。 * 球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。 ただし、分割合同とは以下のように定義される:A と B をユークリッド空間の部分集合とする。A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として つまり、 A = A1 ∪ ... ∪ An , B = B1 ∪ ... ∪ Bn と表すことができ、全ての i について、 と が合同であるとき、A と B を分割合同という。 さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。 * 3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内部が空でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。 言い換えると、ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る（当然のごとく材質は変えられない）、ということである。この定理の証明で、点集合は選択公理を使ってつくられる選択集合で構成されており、各断片はルベーグ可測ではない。すなわち、各断片は明確な境界や通常の意味での体積を持たない。物理的な分割では可測な集合しか作れないので、現実にはこのような分割は不可能である。しかしながら、それらの幾何学的な形状に対してはこのような変換が可能なのである。 この定理は 3次元以上の全ての次元においても成り立つ。2次元ユークリッド平面においては成り立たないものの、2次元においても分割に関するパラドックスは存在する:円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の正方形を作ることが出来るのである。これはタルスキーの円積問題(en:Tarski's circle-squaring problem)として知られている。 2次元ユークリッド平面においては、合同変換ではなく面積を保つ変換に条件をゆるめると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスと同様な定理が成立することを、1929年にジョン・フォン・ノイマンが証明した。この定理は次のように述べることが出来る。 A と B を2次元ユークリッド空間の内点を持つ有界な部分集合とする。 A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として と表すことが出来る。ここで、全ての i について、面積を保つ変換 が存在して とする事が出来る。 Paradoks Banach–Tarski adalah sebuah teorema geometri teori himpunan, yang dinyatakan sebagai berikut: Sebuah bola padat ditempatkan di ruang 3 dimensi, bola tersebut kemudian dipecah berkeping-keping dan disatukan kembali menjadi dua bola dengan ukuran yang sama dengan bola yang asli. Rekonstruksi dapat dilakukan dengan setidaknya lima kepingan. Paradoks tersebut sering kali dinyatakan sebagai "sebuah kacang yang dapat dipecah dan disatukan kembali menjadi Matahari" dan disebut "paradoks kacang dan Matahari". De Banach-Tarskiparadox is een stelling uit de meetkunde die zegt dat een massieve driedimensionale bol in een eindig aantal disjuncte (dat wil zeggen niet overlappende) delen gesplitst kan worden die weer samengevoegd kunnen worden tot twee identieke kopieën van de oorspronkelijke bol. Er is nader bewezen dat het met vijf delen kan. Het weer samenvoegen gebeurt enkel met behulp van rotaties en translaties, dus uit directe isometrieën van de ruimte, wat afbeeldingen zijn die de vorm en grootte niet veranderen. De delen bestaan uit verzamelingen van allemaal losse punten, een soort stofwolken, met een zo ingewikkelde structuur dat ze niet meetbaar zijn, zodat het volume van elk niet gedefinieerd is. Daardoor is de stelling niet in strijd met de maattheorie. Stefan Banach en Alfred Tarski gaven in 1924 in een krant de constructie van een dergelijke "paradoxale decompositie", gebaseerd op eerder werk door Giuseppe Vitali met betrekking tot het eenheidsinterval en op de hausdorff-paradox, een paradoxale decompositie van de bol door Felix Hausdorff. Ze bewezen ook de sterke vorm van de banach-tarskiparadox: Gegeven twee willekeurige eindige begrensde deelverzamelingen en van de euclidische ruimte van minstens drie dimensies die beide een niet-leeg inwendige hebben, dan bestaan er eindige partities van en met evenveel delen, dus disjuncte deelverzamelingen en met en zodat voor elke de verzamelingen en congruent zijn. Dit geldt niet in een of twee dimensies, maar Banach en Tarski hebben aangetoond dat een analoge stelling wel nog waar is, indien we aftelbaar veel deelverzamelingen toelaten. Het verschil tussen een en twee dimensies enerzijds en drie en meer dimensies anderzijds is het gevolg van de veel rijkere structuur van de groep van Euclidische transformaties in hogere dimensies. Terwijl onder aanname van het keuzeaxioma de vitali-verzamelingen laten zien dat er niet-meetbare verzamelingen zijn (in de zin van een maat met sigma-additiviteit) blijkt hier (ook weer onder aanname van het keuzeaxioma) dat er in drie dimensies zelfs geen volume-begrip met eindige additiviteit is. De reden waarom dit een paradox genoemd wordt, is omdat het tegen de meetkundige intuïtie ingaat, alleen al qua volume. "De bal verdubbelen" door hem in stukken te verdelen, de stukken in het rond te laten draaien en te verplaatsen, zonder deze uit te rekken of nieuwe punten toe te voegen lijkt onmogelijk, omdat al deze operaties het volume bewaren. Maar toch is het volume op het einde verdubbeld. Dankzij de sterke versie kunnen de punten van een erwt in stukken worden verdeeld om vervolgens opnieuw samengevoegd te worden om uiteindelijk zelfs de afmeting van de zon aan te nemen. Argumenten als deze paradox uit de verzamelingenleer hebben voor felle kritiek op het keuzeaxioma gezorgd, nochtans wordt het keuzeaxioma nu door de meeste wiskundigen aanvaard. La paradoja de Banach–Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente: A continuación vemos una versión más contundente del teorema: Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma: Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol." La razón por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuición geométrica básica. "Doblar la bola" dividiéndola en partes y removiéndolas por rotaciones, sin ningún estiramiento, curvatura, o adición de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen. Al contrario de la mayoría de teoremas de geometría, este resultado depende de forma crítica de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos.Únicamente puede demostrarse usando el axioma de elección,​ que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario y que para su construcción requerirían un número infinito de elecciones. En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre sí.​ 巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。 巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。有些叙述中这条定理被看成是悖论，但是定理本身没有逻辑上不一致的地方，实际上不符合悖论的定义。 Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku. Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył. Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a) tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów. Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych. Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego: Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu!Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru? 바나흐-타르스키 역설(영어: Banach–Tarski paradox)은 집합론 기하학의 정리 중 하나로, 3차원 상의 공을 유한 개의 조각으로 잘라서, 변형 없이 순수 공간이동만으로 재조합하면 원래 공과 같은 부피를 갖는 공 두 개를 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 최소 5개 조각으로 만드는 것이 가능하다. 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키에 의해 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명되었다. 이 때 공을 유한 개의 부분집합으로 분할할 때의 각 부분집합은 르베그 비가측 집합이다. 이 정리의 강력한 형태는 큰 공과 작은 공과 같은 적당한 두 단단한 물체 중 하나를 적당한 조각으로 잘라서 다른 물체로 재조립할 수 있다는 정리이다. 이를 영미권에서는 종종 "완두콩을 잘개 썰어 재조립하면 태양을 만들 수 있다"라고 인용하기 때문에 완두콩과 태양 역설(pea and the Sun paradox)이라고 부르기도 한다. 바나흐-타르스키 정리가 "역설"이라고 불리는 이유는 기본적으로 기하학적 직관과는 어긋나는 결과이기 때문이다. 공을 변형하거나, 늘어나게 하거나 새로운 점을 더하지 않은 채 오직 여러 조각으로 쪼갠 후 회전 및 평행 이동만을 통해 "공을 두배로 만드게 하는 것"은 부피를 그대로 유지한 채 시행하라고 들리기 때문에 일견 불가능하게 들린다. 회전과 이동이 부피를 보존한다는 직관은 수학적으로 어긋나지 않으며 고전적인 부피의 개념에도 합당하다. 하지만 바나흐-타르스키 정리의 경우에는 자를 때 하위 집합, 즉 각 조각의 부피를 정의할 수 없으므로 고전적인 부피의 정의를 적용할 수 없다. 이 경우 재조립 시 '부피'라고 말하는 값이 늘어나서 조립하기 전과 후의 '부피'가 달라지는 경우가 발생한다. 이 역설의 결과를 증명할 때에는 선택 공리가 반드시 필요하다. 선택공리가 없을 경우(체르멜로-프렝켈 집합론)나, 선택 공리 대신 의존적 선택 공리를 사용할 경우 정리가 성립하지 않는다. مفارقة باناخ-تارسكي تنص هذه المفارقة أنه إذا قمت بتقسيم كرة ذات حجم أو قطر يساوي «أ» بطريقة معينة ثم قمت بتجميع هذه الأجزاء بطريقة معينة، فإنه يمكنك أن تكون كرتين من الحجم أو القطر «أ». المفارقة تكمن في أن هناك حجماً مضافاً لا يعلم مصدره. باناخ برهنا صحة وإمكانية وجود هذه الظاهرة رياضياُ ونظرياً ولكن فقط وفقاً لمبدأ بديهية الاختيار ولقد اعتبراها نقداً لصحة هذا المبدأ الذي طالما كان مثيرا للجدل. حيث أن جميع القوانين المستخدمة في الإثبات تحفظ الحجم وبهذا يكون الخطأ راجع للمبدأ. فعند استخدام مبدأ -المرشح حديثاً كبديل- مثلا لا يمكن إثبات المفارقة. ولكن علماء الرياضيات البحتة لا زالوا يتمسكون بالمبدأ لاعتقادهم بوجود خطأ في مكان ما في مثل هذا الإثباتات غير المنطقية. Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden. The Banach–Tarski paradox is a theorem in set-theoretic geometry, which states the following: Given a solid ball in three-dimensional space, there exists a decomposition of the ball into a finite number of disjoint subsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball. Indeed, the reassembly process involves only moving the pieces around and rotating them without changing their shape. However, the pieces themselves are not "solids" in the usual sense, but infinite scatterings of points. The reconstruction can work with as few as five pieces. An alternate form of the theorem states that given any two "reasonable" solid objects (such as a small ball and a huge ball), the cut pieces of either one can be reassembled into the other. This is often stated informally as "a pea can be chopped up and reassembled into the Sun" and called the "pea and the Sun paradox". The theorem is called a paradox because it contradicts basic geometric intuition. "Doubling the ball" by dividing it into parts and moving them around by rotations and translations, without any stretching, bending, or adding new points, seems to be impossible, since all these operations ought, intuitively speaking, to preserve the volume. The intuition that such operations preserve volumes is not mathematically absurd and it is even included in the formal definition of volumes. However, this is not applicable here because in this case it is impossible to define the volumes of the considered subsets. Reassembling them reproduces a set that has a volume, which happens to be different from the volume at the start. Unlike most theorems in geometry, the mathematical proof of this result depends on the choice of axioms for set theory in a critical way. It can be proven using the axiom of choice, which allows for the construction of non-measurable sets, i.e., collections of points that do not have a volume in the ordinary sense, and whose construction requires an uncountable number of choices. It was shown in 2005 that the pieces in the decomposition can be chosen in such a way that they can be moved continuously into place without running into one another. As proved independently by Leroy and Simpson, the Banach–Tarski paradox does not violate volumes if one works with locales rather than topological spaces. In this abstract setting, it is possible to have subspaces without point but still nonempty. The parts of the paradoxical decomposition do intersect a lot in the sense of locales, so much that some of these intersections should be given a positive mass. Allowing for this hidden mass to be taken into account, the theory of locales permits all subsets (and even all sublocales) of the Euclidean space to be satisfactorily measured.

prov:wasDerivedFrom

wikipedia-en:Banach–Tarski_paradox?oldid=1102806640&ns=0

dbo:wikiPageLength

47707

foaf:isPrimaryTopicOf

wikipedia-en:Banach–Tarski_paradox