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阿贝尔-鲁菲尼定理 Теорема Абеля — Руффіні Théorème d'Abel (algèbre) Teorema de Abel–Ruffini Teorema Abel–Ruffini Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах Stelling van Abel-Ruffini Teorema d'Abel-Ruffini Abel–Ruffini theorem مبرهنة أبيل-روفيني Teorema di Abel-Ruffini Satz von Abel-Ruffini アーベル-ルフィニの定理 Teorema de Abel-Ruffini Twierdzenie Abela-Ruffiniego

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De stelling van Abel-Ruffini zegt dat er geen algemene methode is, om de nulpunten van een polynoom van de graad vijf of hoger, met coëfficiënten die gehele of rationale getallen zijn, al dan niet met behulp van wortelvormen te bepalen. De vergelijking is niet op te lossen door alleen maar de basisoperaties en wortelvormen te gebruiken. De nulpunten van de polynoom zijn niet uit te drukken in de coëfficiënten van . De stelling is naar Paolo Ruffini en Niels Henrik Abel genoemd. En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » les racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes. Ceci contraste avec les degrés 2, 3 et 4 pour lesquels de telles formules génériques existent, la plus connue étant celle pour le degré 2, qui exprime les solutions de ax2 + bx + c = 0 sous la forme (–b ± √b2 – 4ac)/2a. Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist. Dalam matematika, Teorema Abel – Ruffini (juga dikenal sebagai Teorema ketakmungkinan Abel) menyatakan bahwa tidak ada menjadi persamaan polinomial dari derajat lima atau lebih tinggi dengan sembarang koefisien. Di sini, umum berarti bahwa koefisien persamaan dipandang dan dimanipulasi sebagai . Teorema ini dinamai Paolo Ruffini, yang membuat bukti tidak lengkap pada tahun 1799, dan Niels Henrik Abel, yang memberikan bukti pada tahun 1824. Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах (для коренів многочлена не існує формули, що використовує чотири арифметичні дії та корені довільного ступеня). Наслідком із доведення слідує існування рівнянь п'ятого і вище ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах, найпростішими нерозв'язними в радикалах рівняннями є: Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати. En matemáticas el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como Teorema de la imposibilidad de Abel) enuncia que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco. Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general: de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación. In mathematics, the Abel–Ruffini theorem (also known as Abel's impossibility theorem) states that there is no solution in radicals to general polynomial equations of degree five or higher with arbitrary coefficients. Here, general means that the coefficients of the equation are viewed and manipulated as indeterminates. The theorem is named after Paolo Ruffini, who made an incomplete proof in 1799, (which was refined and completed in 1813 and accepted by Cauchy) and Niels Henrik Abel, who provided a proof in 1824. في الجبر، مبرهنة أبيل-روفيني (بالإنجليزية: Abel–Ruffini theorem)‏ هي مبرهنة رياضية تنص على أن ليس هناك حلولا جبرية للمعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة وما فوق. سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات باولو روفيني الذي أعطى برهانا غير كامل لها في عام 1799 وإلى عالم الرياضيات نيلس هنريك أبيل الذي برهن عليها بشكل كامل في عام 1823. إيفاريست غالوا أعطى برهانا على هذه المبرهنة في عمل مستقل له، نشر في عام 1846 سنوات عديدة بعد وفاته. Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki). Mówiąc krótko, nie istnieją ogólne wzory na rozwiązania takiego równania. Na przykład rozwiązania równania kwadratowego postaci dla wyrażają się wzorami: 阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表。 El teorema d'Abel-Ruffini afirma que en el cas de les equacions polinòmiques de grau superior o igual al cinquè, és a dir les equacions de la forma: On , és impossible de trobar una fórmula general que permeti calcular les arrels de l'equació a partir dels seus coeficients amb un nombre finit de sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels. El teorema no afirma pas que aquestes equacions no tinguin solució. De fet, tal com estableix el teorema fonamental de l'àlgebra tota equació polinòmica de grau n té pel cap baix una solució al conjunt dels nombres complexos. Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non esiste una relazione risolutiva generale esprimibile tramite radicali per le equazioni polinomiali di grado 5 o superiore. Il teorema fu provato per la prima volta da Paolo Ruffini nel 1799, ma la sua dimostrazione fu generalmente ignorata. Sebbene contenesse una piccola lacuna, fu piuttosto innovativa nell'uso dei gruppi di permutazione. Il teorema è anche attribuito a Niels Henrik Abel, che pubblicò una dimostrazione nel 1824. アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、英: Abel–Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах. O Teorema de Abel-Ruffini é um teorema criado pelos matemáticos Paolo Ruffini (demonstração em 1799, contendo um pequeno erro) e Niels Henrik Abel (demonstração final em 1824). O teorema afirma que não há uma solução geral através de radicais para as equações polinomiais de grau cinco ou superior. Note-se que o teorema não afirma que as equações polinomiais de ordem cinco ou superior não têm solução. Na verdade, se o polinômio tiver coeficientes reais ou complexos e se permitirem-se soluções complexas, então todos as equações polinomiais têm solução. Essa é aliás a proposição do teorema fundamental da álgebra. Ainda que essas soluções não possam ser calculadas com rigor, podem ser obtidas com um grau de precisão requerido usando métodos numéricos tais como o métodos de Newton-Raphson ou o

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In mathematics, the Abel–Ruffini theorem (also known as Abel's impossibility theorem) states that there is no solution in radicals to general polynomial equations of degree five or higher with arbitrary coefficients. Here, general means that the coefficients of the equation are viewed and manipulated as indeterminates. The theorem is named after Paolo Ruffini, who made an incomplete proof in 1799, (which was refined and completed in 1813 and accepted by Cauchy) and Niels Henrik Abel, who provided a proof in 1824. Abel–Ruffini theorem refers also to the slightly stronger result that there are equations of degree five and higher that cannot be solved by radicals. This does not follow from Abel's statement of the theorem, but is a corollary of his proof, as his proof is based on the fact that some polynomials in the coefficients of the equation are not the zero polynomial. This improved statement follows directly from Galois theory § A non-solvable quintic example. Galois theory implies also that is the simplest equation that cannot be solved in radicals, and that almost all polynomials of degree five or higher cannot be solved in radicals. The impossibility of solving in degree five or higher contrasts with the case of lower degree: one has the quadratic formula, the cubic formula, and the quartic formula for degrees two, three, and four, respectively. Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist. Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki). Mówiąc krótko, nie istnieją ogólne wzory na rozwiązania takiego równania. Twierdzenie Abela-Ruffiniego nie stwierdza, że równanie stopnia wyższego niż 4 nie ma rozwiązań, a jedynie, że nie ma ogólnej metody na dokładne wyrażenie rozwiązań (każde równanie algebraiczne o współczynnikach zespolonych ma co najmniej jedno rozwiązanie zespolone – zob. Zasadnicze twierdzenie algebry). Na przykład rozwiązania równania kwadratowego postaci dla wyrażają się wzorami: Analogiczne, choć bardziej złożone, wzory można podać dla równania stopnia 3 i stopnia 4. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że dla równań stopnia wyższego niż 4 wzory takie nie istnieją. Jest jasne, że w szczególnych przypadkach rozwiązania dają się znaleźć w postaci dokładnej (przykładem jest równanie ), natomiast w sytuacji ogólnej można obliczać je z dowolną dokładnością za pomocą metod przybliżonych, na przykład metody Newtona-Raphsona. Przykładem równania stopnia 5, które nie może być rozwiązane w opisany w twierdzeniu sposób (tj. jego pierwiastki nie wyrażają się za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych i pierwiastkowania), jest równanie Dokładne kryterium, które pozwala stwierdzić, kiedy pierwiastki równania wyrażają się w skończonej postaci przez pierwiastniki podaje teoria Galois: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Galois tego równania jest rozwiązalna. Ponieważ grupy równań stopnia 2, 3 i 4 zawsze są rozwiązalne, teoria Galois mówi, że odpowiednie typy równań zawsze mają rozwiązania przez pierwiastniki. アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、英: Abel–Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах. El teorema d'Abel-Ruffini afirma que en el cas de les equacions polinòmiques de grau superior o igual al cinquè, és a dir les equacions de la forma: On , és impossible de trobar una fórmula general que permeti calcular les arrels de l'equació a partir dels seus coeficients amb un nombre finit de sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels. El teorema no afirma pas que aquestes equacions no tinguin solució. De fet, tal com estableix el teorema fonamental de l'àlgebra tota equació polinòmica de grau n té pel cap baix una solució al conjunt dels nombres complexos. El teorema tampoc afirma que les solucions no es puguin trobar. Hi ha mètodes que permeten trobar-les amb infinites operacions com per exemple el mètode de Newton. També hi ha mètodes que permeten trobar les solucions afegint altres operacions. Per exemple amb els radicals de Bring es poden resoldre les equacions de cinquè grau. Tampoc diu que aquesta impossibilitat es doni en tots els casos. Hi ha casos particulars d'equacions de grau igual i superior a 5 que es poden resoldre amb un nombre finit sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels. Per exemple l'equació: Admet com a solucions les arrels: La teoria de Galois ofereix els mitjans per determinar en quins casos una equació de grau cinquè o superior admet una solució d'aquesta mena. Dalam matematika, Teorema Abel – Ruffini (juga dikenal sebagai Teorema ketakmungkinan Abel) menyatakan bahwa tidak ada menjadi persamaan polinomial dari derajat lima atau lebih tinggi dengan sembarang koefisien. Di sini, umum berarti bahwa koefisien persamaan dipandang dan dimanipulasi sebagai . Teorema ini dinamai Paolo Ruffini, yang membuat bukti tidak lengkap pada tahun 1799, dan Niels Henrik Abel, yang memberikan bukti pada tahun 1824. Teorema Abel – Ruffini juga merujuk pada hasil yang sedikit lebih kuat bahwa ada persamaan derajat lima dan lebih tinggi yang tidak dapat diselesaikan dengan radikal. Ini tidak sesuai dengan pernyataan Abel, tetapi merupakan akibat wajar dari pembuktiannya, karena pembuktiannya didasarkan pada fakta bahwa beberapa polinomial dalam koefisien persamaan bukanlah polinomial nol. Pernyataan yang ditingkatkan ini mengikuti langsung dari teori Galois. Teori Galois juga menyiratkan hal itu adalah persamaan paling sederhana yang tidak dapat diselesaikan secara radikal (lihat Teori Galois § Contoh kuintik yang tidak dapat dipecahkan) dan bahwa polinomial dengan derajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diselesaikan dalam radikal. Ketidakmungkinan menyelesaikan dalam derajat lima atau lebih tinggi kontras dengan kasus derajat yang lebih rendah: seseorang memiliki rumus kuadrat, , dan untuk derajat dua, tiga, dan empat. O Teorema de Abel-Ruffini é um teorema criado pelos matemáticos Paolo Ruffini (demonstração em 1799, contendo um pequeno erro) e Niels Henrik Abel (demonstração final em 1824). O teorema afirma que não há uma solução geral através de radicais para as equações polinomiais de grau cinco ou superior. Note-se que o teorema não afirma que as equações polinomiais de ordem cinco ou superior não têm solução. Na verdade, se o polinômio tiver coeficientes reais ou complexos e se permitirem-se soluções complexas, então todos as equações polinomiais têm solução. Essa é aliás a proposição do teorema fundamental da álgebra. Ainda que essas soluções não possam ser calculadas com rigor, podem ser obtidas com um grau de precisão requerido usando métodos numéricos tais como o métodos de Newton-Raphson ou o de Laguerre. O teorema refere-se simplesmente à forma que a solução pode ter. Assim, a solução de uma equação de grau cinco ou superior não pode ser sempre expressa a partir dos coeficentes e usando simplesmente as operações de adição, subtração/subtracção, multiplicação, divisão e potenciação (incluindo-se nesta última a extração/extracção de raízes). Tomemos como exemplo, a solução das equações polinomiais de segundo grau, usando a habitual equação quadrática: As raízes de são : Fórmulas deste tipo existem também para as equações de terceira e quarta ordem. O teorema afirma portanto que nenhuma solução de certas equações de quinta ordem pode ser expressas por fórmulas daquele tipo. A equação é disso um exemplo. Algumas equações de quinto grau podem ser resolvidas por radicais. Um exemplo: . Os critérios de distinção entre um caso e o outro foram descobertos por Évariste Galois. En matemáticas el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como Teorema de la imposibilidad de Abel) enuncia que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco. Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general: de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación. El teorema fue nombrado por Paolo Ruffini, que hizo una prueba incompleta en 1799, y el noruego Niels Henrik Abel que proporcionó una prueba en 1823. Évariste Galois demostró de forma independiente el teorema en una obra que fue publicada póstumamente en 1846.​ في الجبر، مبرهنة أبيل-روفيني (بالإنجليزية: Abel–Ruffini theorem)‏ هي مبرهنة رياضية تنص على أن ليس هناك حلولا جبرية للمعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة وما فوق. سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات باولو روفيني الذي أعطى برهانا غير كامل لها في عام 1799 وإلى عالم الرياضيات نيلس هنريك أبيل الذي برهن عليها بشكل كامل في عام 1823. إيفاريست غالوا أعطى برهانا على هذه المبرهنة في عمل مستقل له، نشر في عام 1846 سنوات عديدة بعد وفاته. Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах (для коренів многочлена не існує формули, що використовує чотири арифметичні дії та корені довільного ступеня). Наслідком із доведення слідує існування рівнянь п'ятого і вище ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах, найпростішими нерозв'язними в радикалах рівняннями є: Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати. Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа. En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » les racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes. Ceci contraste avec les degrés 2, 3 et 4 pour lesquels de telles formules génériques existent, la plus connue étant celle pour le degré 2, qui exprime les solutions de ax2 + bx + c = 0 sous la forme (–b ± √b2 – 4ac)/2a. Ce résultat est exprimé pour la première fois par Paolo Ruffini, puis démontré rigoureusement par Niels Henrik Abel. Un théorème ultérieur d'Évariste Galois donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Cette version plus précise permet d'exhiber des équations de degré 5, à coefficients entiers, dont les racines complexes — qui existent d'après le théorème de d'Alembert-Gauss — ne s'expriment pas par radicaux. Tous les corps considérés dans cet article sont supposés commutatifs et de caractéristique nulle. De stelling van Abel-Ruffini zegt dat er geen algemene methode is, om de nulpunten van een polynoom van de graad vijf of hoger, met coëfficiënten die gehele of rationale getallen zijn, al dan niet met behulp van wortelvormen te bepalen. De vergelijking is niet op te lossen door alleen maar de basisoperaties en wortelvormen te gebruiken. De nulpunten van de polynoom zijn niet uit te drukken in de coëfficiënten van . De stelling is naar Paolo Ruffini en Niels Henrik Abel genoemd. Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non esiste una relazione risolutiva generale esprimibile tramite radicali per le equazioni polinomiali di grado 5 o superiore. Il teorema fu provato per la prima volta da Paolo Ruffini nel 1799, ma la sua dimostrazione fu generalmente ignorata. Sebbene contenesse una piccola lacuna, fu piuttosto innovativa nell'uso dei gruppi di permutazione. Il teorema è anche attribuito a Niels Henrik Abel, che pubblicò una dimostrazione nel 1824. 阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表。

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