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特性関数 (確率論) 特征函数 (概率论) Fonction caractéristique (probabilités) Характеристична функція випадкової величини Funzione caratteristica (teoria della probabilità) Función característica Charakteristische Funktion (Stochastik) 특성함수 (확률론) Função característica (probabilidade) Karakteristieke functie (kansrekening) Характеристическая функция случайной величины Characteristic function (probability theory) Charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti) Funció característica (teoria de la probabilitat) Karakteristisk funktion Karakteriza funkcio (probabloteorio) Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa) دالة مميزة (نظرية احتمالات)
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Als charakteristische Funktion bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle komplexwertige Funktion, die einem endlichen Maß oder spezieller einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen beziehungsweise der Verteilung einer Zufallsvariable zugeordnet wird. Dabei wird das endliche Maß eindeutig durch seine charakteristische Funktion bestimmt und umgekehrt, die Zuordnung ist also bijektiv. La función característica de una variable aleatoria o de su distribución de probabilidad es una función de variable real que toma valores complejos, que permite la aplicación de métodos analíticos (es decir, de análisis funcional) en el estudio de la probabilidad. Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини : , де — дійсний параметр. Якщо — функція розподілу , то У випадку дискретного розподілу (ряд Фур'є з коефіцієнтами ). У випадку неперервного розподілу (перетворення Фур'є) 在概率论中，任何随机变量的特征函数（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量： ， 其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。 用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼－斯蒂尔杰斯积分给出： 。 在概率密度函数fX存在的情况下，该公式就变为： 。 如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或Rn上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足fX(x) = fX(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。 確率論と統計学において、任意の確率変数に対する特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）とは、その確率分布を完全に定義する関数である。したがって、確率密度関数や累積分布関数の代わりに特性関数を解析の基盤とすることもできる。確率変数の重み付き総和で分布を定義する単純な特性関数も存在する。 1 変量の分布以外にも、ベクトルまたは行列型の確率変数についての特性関数もあり、さらに一般化することもできる。 実数引数をとる関数と考えたとき、特性関数は積率母関数とは異なり、常に存在する。特性関数の振る舞いとその分布の属性には、モーメントの存在や密度関数の存在などの関係がある。 De karakteristieke functie van een stochastische variabele is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële gegeven wordt door: Er is een eeneenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van , dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere. De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal: waarin de verdelingsfunctie van is. Als de kansdichtheid heeft, gaat deze integraal over in: De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op of gedefinieerd is. Charakteristická funkce je v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice jedna z funkcí náhodné veličiny. Využívá se (mimo jiné) pro charakterizaci a určování vlastností náhodných veličin a při zkoumání limitního chování a limitních vět náhodných veličin. Charakteristická funkce zcela určuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Pokud existuje hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny, pak je charakteristická funkce Fourierovou transformací této hustoty. Em probabilidade, a função característica de uma variável aleatória X é a função quando esta esperança existe, em que t é o argumento (real ou imaginário) da função característica e i é uma raiz quadrada de menos um. Toda variável aleatória contínua ou discreta possui função característica, que é calculada, respectivamente, por: Através da Fórmula de Euler, podemos escrever: E, assim, o cálculo da esperança, para os casos contínuo e discreto, fica: A função característica existe para todo A função característica é também chamada de Transformada de Fourier de f . In probability theory and statistics, the characteristic function of any real-valued random variable completely defines its probability distribution. If a random variable admits a probability density function, then the characteristic function is the Fourier transform of the probability density function. Thus it provides an alternative route to analytical results compared with working directly with probability density functions or cumulative distribution functions. There are particularly simple results for the characteristic functions of distributions defined by the weighted sums of random variables. Inom matematiken kan namnet karakteristisk funktion referera till olika saker. Framförallt förekommer två olika betydelser, av vilka den första förekommer i ett antal olika discipliner av matematik, medan den andra förekommer inom sannolikhetsteori och matematisk statistik. Ibland kan namnet även referera till det inom linjär algebra. En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistique, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est une quantité qui détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité, alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse de la densité. Les valeurs en zéro des dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les moments de la variable aléatoire. في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال حيث: في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي ) لدالة الكثافة.(في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة ) بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال ، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال بـ : أين هو الجداء القياسي لـ u مع X. في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ : باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا : حيث أن الدالة G هي امتداد لـ Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo: Se è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento come vettore e come prodotto scalare. 확률변수의 특성함수(特性函數, 영어: characteristic function)는 각각의 확률 분포와 일대일 대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다. 실수 에 대해, 확률변수 의 특성함수 는 다음과 같이 정의된다. . 여기서 는 의 확률밀도함수이다. En teoria de la probabilitat, la funció característica d'una variable aleatòria real és una eina matemàtica que proporciona informació completa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i sovint en facilita l'estudi. A més, amb les funcions característiques es disposa, gràcies al teorema de continuïtat de Lévy, d'un mètode senzill i potent per estudiar la convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries. En teorio de probabloj, la karakteriza funkcio de (ĉiu, iu) hazarda variablo plene difinas ĝian probablodistribuon. Sur la reala linio ĝi estas donita per jena formulo, kie X estas la hazarda variablo: kie t estas reela nombro kaj E estas la atendata valoro. Se FX estas la tuteca distribua funkcio do la karakteriza funkcio estas donita per la En okazo de ekzisto de probablodensa funkcio, fX, ĉi tio estas Se X estas vektoro-valora hazarda variablo, oni prenas la argumenton t kiel vektoro kaj tx al kiel skalara produto. Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako gdzie to wartość oczekiwana. Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa: stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady. Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, К.Р. 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Characteristic function
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De karakteristieke functie van een stochastische variabele is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële gegeven wordt door: Er is een eeneenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van , dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere. De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal: waarin de verdelingsfunctie van is. Als de kansdichtheid heeft, gaat deze integraal over in: De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op of gedefinieerd is. 確率論と統計学において、任意の確率変数に対する特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）とは、その確率分布を完全に定義する関数である。したがって、確率密度関数や累積分布関数の代わりに特性関数を解析の基盤とすることもできる。確率変数の重み付き総和で分布を定義する単純な特性関数も存在する。 1 変量の分布以外にも、ベクトルまたは行列型の確率変数についての特性関数もあり、さらに一般化することもできる。 実数引数をとる関数と考えたとき、特性関数は積率母関数とは異なり、常に存在する。特性関数の振る舞いとその分布の属性には、モーメントの存在や密度関数の存在などの関係がある。 Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako gdzie to wartość oczekiwana. Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa: stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady. Dla rozkładów dyskretnych o masie prawdopodobieństwa skupionej w punktach Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини : , де — дійсний параметр. Якщо — функція розподілу , то У випадку дискретного розподілу (ряд Фур'є з коефіцієнтами ). У випадку неперервного розподілу (перетворення Фур'є) Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, К.Р. Рао, Б. Рамачандран. En teorio de probabloj, la karakteriza funkcio de (ĉiu, iu) hazarda variablo plene difinas ĝian probablodistribuon. Sur la reala linio ĝi estas donita per jena formulo, kie X estas la hazarda variablo: kie t estas reela nombro kaj E estas la atendata valoro. Se FX estas la tuteca distribua funkcio do la karakteriza funkcio estas donita per la En okazo de ekzisto de probablodensa funkcio, fX, ĉi tio estas Se X estas vektoro-valora hazarda variablo, oni prenas la argumenton t kiel vektoro kaj tx al kiel skalara produto. Ĉiu probablodistribuo sur R aŭ sur Rn havas karakterizan funkcion, ĉar ĝi estas integrala barita funkcio super spaco kies mezuro estas finia. In probability theory and statistics, the characteristic function of any real-valued random variable completely defines its probability distribution. If a random variable admits a probability density function, then the characteristic function is the Fourier transform of the probability density function. Thus it provides an alternative route to analytical results compared with working directly with probability density functions or cumulative distribution functions. There are particularly simple results for the characteristic functions of distributions defined by the weighted sums of random variables. In addition to univariate distributions, characteristic functions can be defined for vector- or matrix-valued random variables, and can also be extended to more generic cases. The characteristic function always exists when treated as a function of a real-valued argument, unlike the moment-generating function. There are relations between the behavior of the characteristic function of a distribution and properties of the distribution, such as the existence of moments and the existence of a density function. Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo: dove è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione, è un numero reale, indica il valore atteso e è la funzione di distribuzione cumulativa. La prima definizione è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida indipendentemente dall'esistenza della funzione di densità di probabilità , mentre la seconda è valida nel caso in cui la densità esista. Se è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento come vettore e come prodotto scalare. Em probabilidade, a função característica de uma variável aleatória X é a função quando esta esperança existe, em que t é o argumento (real ou imaginário) da função característica e i é uma raiz quadrada de menos um. Toda variável aleatória contínua ou discreta possui função característica, que é calculada, respectivamente, por: Através da Fórmula de Euler, podemos escrever: E, assim, o cálculo da esperança, para os casos contínuo e discreto, fica: A função característica existe para todo A função característica é também chamada de Transformada de Fourier de f . Charakteristická funkce je v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice jedna z funkcí náhodné veličiny. Využívá se (mimo jiné) pro charakterizaci a určování vlastností náhodných veličin a při zkoumání limitního chování a limitních vět náhodných veličin. Charakteristická funkce zcela určuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Pokud existuje hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny, pak je charakteristická funkce Fourierovou transformací této hustoty. Každá náhodná veličina má svou charakteristickou funkci, tedy jinak řečeno – charakteristická funkce náhodné veličiny existuje vždy. V tom se liší například od momentové vytvořující funkce, která není definována pro všechny náhodné veličiny. En teoria de la probabilitat, la funció característica d'una variable aleatòria real és una eina matemàtica que proporciona informació completa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i sovint en facilita l'estudi. A més, amb les funcions característiques es disposa, gràcies al teorema de continuïtat de Lévy, d'un mètode senzill i potent per estudiar la convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries. Donada una variable aleatòria real definida sobre un espai de probabilitat , la seva funció característica és la funció (és a dir de valors complexos)definida, per a tot real t, per la relació següent (on , i denota l'operador esperança): Als charakteristische Funktion bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle komplexwertige Funktion, die einem endlichen Maß oder spezieller einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen beziehungsweise der Verteilung einer Zufallsvariable zugeordnet wird. Dabei wird das endliche Maß eindeutig durch seine charakteristische Funktion bestimmt und umgekehrt, die Zuordnung ist also bijektiv. Wesentlicher Nutzen von charakteristischen Funktionen liegt darin, dass viele schwerer greifbare Eigenschaften des endlichen Maßes sich als Eigenschaft der charakteristischen Funktion wiederfinden und dort als Eigenschaft einer Funktion leichter zugänglich sind. So reduziert sich beispielsweise die Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf die Multiplikation der entsprechenden charakteristischen Funktionen. 확률변수의 특성함수(特性函數, 영어: characteristic function)는 각각의 확률 분포와 일대일 대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다. 실수 에 대해, 확률변수 의 특성함수 는 다음과 같이 정의된다. . 여기서 는 의 확률밀도함수이다. Inom matematiken kan namnet karakteristisk funktion referera till olika saker. Framförallt förekommer två olika betydelser, av vilka den första förekommer i ett antal olika discipliner av matematik, medan den andra förekommer inom sannolikhetsteori och matematisk statistik. Ibland kan namnet även referera till det inom linjär algebra. En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistique, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est une quantité qui détermine de façon unique sa loi de probabilité. Si cette variable aléatoire a une densité, alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse de la densité. Les valeurs en zéro des dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les moments de la variable aléatoire. La fonction caractéristique est parfois appelée première fonction caractéristique alors que la seconde fonction caractéristique (ou encore deuxième fonction caractéristique) en est la transformée logarithmique. Le théorème de Bochner et le théorème de Khintchine donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction soit la fonction caractéristique d’une variable aléatoire. 在概率论中，任何随机变量的特征函数（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量： ， 其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。 用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼－斯蒂尔杰斯积分给出： 。 在概率密度函数fX存在的情况下，该公式就变为： 。 如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或Rn上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足fX(x) = fX(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。 La función característica de una variable aleatoria o de su distribución de probabilidad es una función de variable real que toma valores complejos, que permite la aplicación de métodos analíticos (es decir, de análisis funcional) en el estudio de la probabilidad. في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال حيث: في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي ) لدالة الكثافة.(في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة ) بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال ، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال بـ : أين هو الجداء القياسي لـ u مع X. في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ : باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا : حيث أن الدالة G هي امتداد لـ
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