| dbo:abstract
|
- In functional analysis (a branch of mathematics), a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) is a Hilbert space of functions in which point evaluation is a continuous linear functional. Roughly speaking, this means that if two functions and in the RKHS are close in norm, i.e., is small, then and are also pointwise close, i.e., is small for all . The converse does not need to be true. It is not entirely straightforward to construct a Hilbert space of functions which is not an RKHS. Some examples, however, have been found. Note that L2 spaces are not Hilbert spaces of functions (and hence not RKHSs), but rather Hilbert spaces of equivalence classes of functions (for example, the functions and defined by and are equivalent in L2). However, there are RKHSs in which the norm is an L2-norm, such as the space of band-limited functions (see the example below). An RKHS is associated with a kernel that reproduces every function in the space in the sense that for every in the set on which the functions are defined, "evaluation at " can be performed by taking an inner product with a function determined by the kernel. Such a reproducing kernel exists if and only if every evaluation functional is continuous. The reproducing kernel was first introduced in the 1907 work of Stanisław Zaremba concerning boundary value problems for harmonic and biharmonic functions. James Mercer simultaneously examined functions which satisfy the reproducing property in the theory of integral equations. The idea of the reproducing kernel remained untouched for nearly twenty years until it appeared in the dissertations of Gábor Szegő, Stefan Bergman, and Salomon Bochner. The subject was eventually systematically developed in the early 1950s by Nachman Aronszajn and Stefan Bergman. These spaces have wide applications, including complex analysis, harmonic analysis, and quantum mechanics. Reproducing kernel Hilbert spaces are particularly important in the field of statistical learning theory because of the celebrated representer theorem which states that every function in an RKHS that minimises an empirical risk functional can be written as a linear combination of the kernel function evaluated at the training points. This is a practically useful result as it effectively simplifies the empirical risk minimization problem from an infinite dimensional to a finite dimensional optimization problem. For ease of understanding, we provide the framework for real-valued Hilbert spaces. The theory can be easily extended to spaces of complex-valued functions and hence include the many important examples of reproducing kernel Hilbert spaces that are spaces of analytic functions. (en)
- En analyse fonctionnelle, un espace de Hilbert à noyau reproduisant est un espace de Hilbert de fonctions pour lequel toutes les applications sont des formes linéaires continues. De manière équivalente, il existe des espaces qu'on peut définir par des noyaux reproduisants. Le sujet a été originellement et simultanément développé par Nachman Aronszajn et Stefan Bergman en 1950. Les espaces de Hilbert à noyau reproduisant sont parfois désignés sous l’acronyme issu du titre anglais RKHS, pour Reproducing Kernel Hilbert Space. Dans cet article, on suppose que les espaces de Hilbert sont complexes. La principale raison est qu'il existe de nombreux exemples d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant qui sont des espaces de fonctions analytiques complexes, même s'il existe des espaces de Hilbert réels qui ont des noyaux reproduisants. Un important sous-ensemble d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant est constitué par les espaces de Hilbert à noyau reproduisant associés à un noyau continu. Ces espaces ont d'importantes applications, dans les domaines de l'analyse complexe, la mécanique quantique, les statistiques, l'analyse harmonique et l’apprentissage automatique. (fr)
- 함수해석학에서, 재생핵 힐베르트 공간(再生核Hilbert空間, 영어: reproducing kernel Hilbert space)은 값매김 연산자가 유계 작용소인, 함수로 구성된 힐베르트 공간이다. 함수의 동치류로 구성된 르베그 공간 따위와 달리, 재생핵 힐베르트 공간은 함수로 구성되어야 한다. (르베그 공간의 경우, 주어진 점에서 함수 동치류의 원소들이 임의의 값을 가질 수 있어 값매김 연산자를 정의할 수 없다.) (ko)
- W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały są ciągłe, tzn. dla każdego istnieje taka stała , że , gdzie stała nie zależy of wyboru funkcji . Z grubsza oznacza to, że jeśli dwie funkcje oraz w przestrzeni Hilberta "leżą blisko siebie" w normie, tzn. jest małe, to oraz są również "punktowo bliskie", tj. jest małe. Odwrotność nie musi być prawdziwa. Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego istnieje takie , że dla każdej funkcji . Funkcję określoną w następujący sposób: nazywamy jądrem reprodukującym przestrzeni . Funkcja ta posiada własność reprodukowania, tzn. zachodzi dla każdych . Jeśli przestrzeń Hilberta funkcji posiada jądro reprodukujące, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Ponadto każda skończeniewymiarowa przestrzeń Hilberta funkcji jest przestrzenią Hilberta z jądrem reprodukującym. Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji. Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu w punkcie nie ma sensu. (pl)
|
| rdfs:comment
|
- 함수해석학에서, 재생핵 힐베르트 공간(再生核Hilbert空間, 영어: reproducing kernel Hilbert space)은 값매김 연산자가 유계 작용소인, 함수로 구성된 힐베르트 공간이다. 함수의 동치류로 구성된 르베그 공간 따위와 달리, 재생핵 힐베르트 공간은 함수로 구성되어야 한다. (르베그 공간의 경우, 주어진 점에서 함수 동치류의 원소들이 임의의 값을 가질 수 있어 값매김 연산자를 정의할 수 없다.) (ko)
- In functional analysis (a branch of mathematics), a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) is a Hilbert space of functions in which point evaluation is a continuous linear functional. Roughly speaking, this means that if two functions and in the RKHS are close in norm, i.e., is small, then and are also pointwise close, i.e., is small for all . The converse does not need to be true. It is not entirely straightforward to construct a Hilbert space of functions which is not an RKHS. Some examples, however, have been found. (en)
- En analyse fonctionnelle, un espace de Hilbert à noyau reproduisant est un espace de Hilbert de fonctions pour lequel toutes les applications sont des formes linéaires continues. De manière équivalente, il existe des espaces qu'on peut définir par des noyaux reproduisants. Le sujet a été originellement et simultanément développé par Nachman Aronszajn et Stefan Bergman en 1950. Les espaces de Hilbert à noyau reproduisant sont parfois désignés sous l’acronyme issu du titre anglais RKHS, pour Reproducing Kernel Hilbert Space. (fr)
- W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały są ciągłe, tzn. dla każdego istnieje taka stała , że , gdzie stała nie zależy of wyboru funkcji . Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego istnieje takie , że dla każdej funkcji . Funkcję określoną w następujący sposób: (pl)
|
