The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island) is a fractal curve and one of the earliest fractals to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled "On a Continuous Curve Without Tangents, Constructible from Elementary Geometry" by the Swedish mathematician Helge von Koch.

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  • منحني ندفة ثلج كوخ أو كما يسمى أيضاً نجمة كوخ نسبة إلى عالم الرياضيات السويدي هيلغ فون كوخ هو منحن رياضي ويعد واحداً من أوائل المنحنيات المعروفة في الهندسة الكسيرية. (ar)
  • Kochova křivka (někdy mylně nazývaná křivka Kochové) je matematická křivka, jedna z prvních popsaných fraktálních křivek. Známější je jako součást Kochovy vločky, vytvořené ze tří spojených Kochových křivek. Křivka je pojmenována po švédském matematikovi Helge von Kochovi, který ji popsal ve své práci Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire z roku 1904. (cs)
  • El floc de neu de Koch (també anomenat estel de Koch o illa de Koch) és un conjunt geomètric i una de les primeres corbes fractals que es varen descriure. Va aparèixer per primera vegada el 1904 en l'article titulat Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, del matemàtic suec Helge von Koch. La construcció d'aquesta corba és un procés iteratiu que comença amb un triangle equilàter, i en el qual a cadascun dels costats es construeix una corba de Koch. La corba de Koch és un cas especial de la corba de Rham. És una corba continua però, no diferenciable en cap punt. (ca)
  • The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island) is a fractal curve and one of the earliest fractals to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled "On a Continuous Curve Without Tangents, Constructible from Elementary Geometry" by the Swedish mathematician Helge von Koch. The Koch snowflake can be built up iteratively, in a sequence of stages. The first stage is an equilateral triangle, and each successive stage is formed from adding outward bends to each side of the previous stage, making smaller equilateral triangles. The areas enclosed by the successive stages in the construction of the snowflake converge to 8/5 times the area of the original triangle, while the perimeters of the successive stages increase without bound. Consequently, the snowflake encloses a finite area, but has an infinite perimeter. (en)
  • Neĝero de Koch estas matematika kurbo kaj unu el la unuaj fraktaloj priskribitaj. Ĝi aperis en 1904 dokumento titolita "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" fare de la sveda matematikisto Helge von Koch. (eo)
  • Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. (de)
  • El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch o isla de Koch​, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado «Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental».​​ En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces. La curva de Koch es un caso particular de . (es)
  • Koch elur-maluta, edo Koch izarra, 1904an Helge von Koch matematikariak deskribaturiko irudi itxia da, puntu orotan jarraia baina diferentziagarria ez dena. Gaur egun fraktal gisa definitzen den kurba mota bat da, prozesu iteratibo baten bidez eraikia dena. (eu)
  • Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »). Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch. (fr)
  • La curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione.Apparve per la prima volta su un documento del 1904 intitolato Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire del matematico svedese Helge von Koch. (it)
  • 코크 곡선(Koch曲線, 영어: Koch curve)는 수학의 곡선으로 가장 처음에 나온 프랙탈 중의 하나이다. 1904년 스웨덴의 수학자 의 논문 Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire에 처음 등장하여 그런 이름이 붙었다. 시작하는 도형이 정삼각형인 경우 코크 눈송이(영어: Koch snowflake)라 하고 다음과 같이 만든다. 1. * 정삼각형을 그린다. 2. * 각 변을 3등분해서, 한 변의 길이가 이 3등분의 길이와 같은 정삼각형을 붙인다. 3. * 2.의 과정을 무한히 반복한다. (ko)
  • De koch-kromme is in de wiskunde een kromme die in 1904 bedacht is door de Zweedse wiskundige Helge von Koch als voorbeeld van een kromme die overal continu is, maar nergens differentieerbaar. De kromme is wat we nu, 100 jaar later, een fractal noemen en wordt voorgesteld door de grenslijn van het groene gebied in de onderstaande figuur. (nl)
  • Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok). (pl)
  • A curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes", de autoria do matemático sueco Helge von Koch. O mais conhecido Floco de neve de Koch (ou estrela de Koch) corresponde à mesma curva, tirando que se inicia a sua construção a partir de um triângulo equilátero (em vez de um segmento de recta). desenvolveu o mesmo conceito, a três dimensões, o que resultou num fractal com volume de um floco de neve. Podemos imaginar a sua construção a partir de um segmento de recta que será submetido a alterações recorrentes (iterações), como a seguir se descreve: 1. * Divide-se o segmento de recta em três segmentos de igual comprimento. 2. * Desenha-se um triângulo equilátero (fazendo um ângulo de π/3 radianos (60 graus)), em que o segmento central, referido no primeiro passo, servirá de base. 3. * Apaga-se o segmento que serviu de base ao triângulo do segundo passo. Depois de isto feito, o resultado será semelhante à secção longitudinal de um chapéu de bruxa. Procedendo da mesma forma para cada um dos quatro segmentos que ficam, formam-se dezesseis novos segmentos mais pequenos. A curva de Koch é o limite para o qual tende esta construção, repetindo as operações referidas, sucessivamente, para cada segmento. A seguinte figura representa as seis primeiras etapas de construção. A última curva é uma boa aproximação da curva final. Se considerarmos cada passo, notamos que para passar de uma linha para a seguinte, substituímos três segmentos por quatro de igual comprimento, ou seja, o comprimento total é multiplicado por 4/3. O limite da sucessão geométrica de razão 4/3 é o infinito, o que significa que a figura final (ou para que tende esta sucessão) terá um comprimento infinito (designado por Mandelbrot como "infinito interno"). Esta característica, típica dos fractais, acrescentada ao facto de a curva parecer ter uma certa espessura devido às constantes mudanças de direcção, sugere que esta figura não é unidimensional (não é apenas uma linha, dotada apenas de comprimento). A sua dimensão estará entre 1 (da recta) e 2 (do plano). Observando a figura: se ampliássemos (através de uma homotetia ou homotesia) três vezes a secção A'B' obteríamos exactamente a secção AB. Na curva final é fácil verificar que a secção A'C é quatro vezes superior à AB. Sabe-se que uma homotetia de razão três multiplica os comprimentos por 3, as superfícies por 3² = 9, e os volumes por 33 = 27 (o que, generalizando, permite calcular o "volume" de um objecto de dimensão d por 3d). Ora, como temos 3d = 4 para a curva de Koch (como se viu no parágrafo anterior), dá: d = log. 4 /log. 3 = 1,26186... (pt)
  • Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. (ru)
  • von Kochs kurva, även känd som Koch-kurvan eller snöflingekurvan, beskrevs av den svenske matematikern Helge von Koch i en uppsats med titeln "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire", publicerad år 1904 i Arkiv för matematik, astronomi och fysik. Syftet med uppsatsen var att ge ett geometriskt mer tilltalande exempel på en kontinuerlig kurva som saknar tangent i alla punkter, än det som Karl Weierstrass upptäckte 1861. Numera är Koch-kurvan även känd för att vara en av de först beskrivna fraktalerna, ett begrepp som myntades först 70 år senare. Koch-kurvans definition: 1. * Tag en linje. 2. * Dela linjen i tre lika stora delar. 3. * Gör en kopia av den mellersta delen. 4. * Sätt upp de två kopiorna i vinkel mot varandra så att de får plats inom samma sträcka som en ensam linje annars gör. 5. * Upprepa (iterera) från steg 2 för alla de nya linjer som uppkommit av operationen. Antalet nya linjer att operera på blir hela tiden 4 gånger tidigare antal linjer, så antalet linjer efter n iterationer blir följaktligen 4n. Linjen ökar sin längd med en tredjedel i varje ny iteration och kommer sålunda till slut att bli en oändligt lång kurva men inom en begränsad yta. Därför är kurvans dimensionstal inte ett heltal. Det här är anledningen till att Koch-kurvan är en fraktal, (av lat; fractus, bråkdel). Koch-kurvans Hausdorffdimension är . (sv)
  • 科赫曲線是一種分形。其形態似雪花,又稱科赫雪花、雪花曲線。其豪斯多夫維是。 它最早出現在海里格·冯·科赫的論文《關於一條連續而無切線,可由初等幾何構作的曲線》(1904年,法語原題:Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire)。 科赫曲線是的特例。 給定線段AB,科赫曲線可以由以下步驟生成: 1. * 將線段分成三等份(AC,CD,DB) 2. * 以CD為底,向外(內外隨意)畫一個等邊三角形DMC 3. * 將線段CD移去 4. * 分別對AC,CM,MD,DB重複1~3。 科赫雪花是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的。科赫雪花的面積是 ,其中是原來三角形的邊長。每條科赫曲線的長度是無限大,它是連續而的曲線。 (zh)
  • Крива́ Ко́ха — фрактальна крива, описана в 1904 році шведським математиком Хельге фон Кохом. Крива Коха цікава тим, що ніде не має дотичних, тобто ніде не , хоча всюди неперервна. Три копії кривої Коха, побудовані (вістрями назовні) на сторонах правильного трикутника, утворюють замкнену криву, так звану сніжинку Коха.Крива Коха задається такою системою ітераційних функцій: (uk)
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  • Koch Snowflake (en)
  • "von Koch Curve", efg's Computer Lab (en)
  • Square Koch Fractal Curves (en)
  • Square Koch Fractal Surface (en)
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  • Koch Snowflake Fractal :– Khan Academy (en)
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  • منحني ندفة ثلج كوخ أو كما يسمى أيضاً نجمة كوخ نسبة إلى عالم الرياضيات السويدي هيلغ فون كوخ هو منحن رياضي ويعد واحداً من أوائل المنحنيات المعروفة في الهندسة الكسيرية. (ar)
  • Kochova křivka (někdy mylně nazývaná křivka Kochové) je matematická křivka, jedna z prvních popsaných fraktálních křivek. Známější je jako součást Kochovy vločky, vytvořené ze tří spojených Kochových křivek. Křivka je pojmenována po švédském matematikovi Helge von Kochovi, který ji popsal ve své práci Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire z roku 1904. (cs)
  • Neĝero de Koch estas matematika kurbo kaj unu el la unuaj fraktaloj priskribitaj. Ĝi aperis en 1904 dokumento titolita "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" fare de la sveda matematikisto Helge von Koch. (eo)
  • Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. (de)
  • Koch elur-maluta, edo Koch izarra, 1904an Helge von Koch matematikariak deskribaturiko irudi itxia da, puntu orotan jarraia baina diferentziagarria ez dena. Gaur egun fraktal gisa definitzen den kurba mota bat da, prozesu iteratibo baten bidez eraikia dena. (eu)
  • Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »). Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch. (fr)
  • La curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione.Apparve per la prima volta su un documento del 1904 intitolato Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire del matematico svedese Helge von Koch. (it)
  • 코크 곡선(Koch曲線, 영어: Koch curve)는 수학의 곡선으로 가장 처음에 나온 프랙탈 중의 하나이다. 1904년 스웨덴의 수학자 의 논문 Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire에 처음 등장하여 그런 이름이 붙었다. 시작하는 도형이 정삼각형인 경우 코크 눈송이(영어: Koch snowflake)라 하고 다음과 같이 만든다. 1. * 정삼각형을 그린다. 2. * 각 변을 3등분해서, 한 변의 길이가 이 3등분의 길이와 같은 정삼각형을 붙인다. 3. * 2.의 과정을 무한히 반복한다. (ko)
  • De koch-kromme is in de wiskunde een kromme die in 1904 bedacht is door de Zweedse wiskundige Helge von Koch als voorbeeld van een kromme die overal continu is, maar nergens differentieerbaar. De kromme is wat we nu, 100 jaar later, een fractal noemen en wordt voorgesteld door de grenslijn van het groene gebied in de onderstaande figuur. (nl)
  • Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok). (pl)
  • Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. (ru)
  • 科赫曲線是一種分形。其形態似雪花,又稱科赫雪花、雪花曲線。其豪斯多夫維是。 它最早出現在海里格·冯·科赫的論文《關於一條連續而無切線,可由初等幾何構作的曲線》(1904年,法語原題:Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire)。 科赫曲線是的特例。 給定線段AB,科赫曲線可以由以下步驟生成: 1. * 將線段分成三等份(AC,CD,DB) 2. * 以CD為底,向外(內外隨意)畫一個等邊三角形DMC 3. * 將線段CD移去 4. * 分別對AC,CM,MD,DB重複1~3。 科赫雪花是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的。科赫雪花的面積是 ,其中是原來三角形的邊長。每條科赫曲線的長度是無限大,它是連續而的曲線。 (zh)
  • Крива́ Ко́ха — фрактальна крива, описана в 1904 році шведським математиком Хельге фон Кохом. Крива Коха цікава тим, що ніде не має дотичних, тобто ніде не , хоча всюди неперервна. Три копії кривої Коха, побудовані (вістрями назовні) на сторонах правильного трикутника, утворюють замкнену криву, так звану сніжинку Коха.Крива Коха задається такою системою ітераційних функцій: (uk)
  • El floc de neu de Koch (també anomenat estel de Koch o illa de Koch) és un conjunt geomètric i una de les primeres corbes fractals que es varen descriure. Va aparèixer per primera vegada el 1904 en l'article titulat Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, del matemàtic suec Helge von Koch. La construcció d'aquesta corba és un procés iteratiu que comença amb un triangle equilàter, i en el qual a cadascun dels costats es construeix una corba de Koch. (ca)
  • The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island) is a fractal curve and one of the earliest fractals to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled "On a Continuous Curve Without Tangents, Constructible from Elementary Geometry" by the Swedish mathematician Helge von Koch. (en)
  • El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch o isla de Koch​, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado «Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental».​​ (es)
  • A curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes", de autoria do matemático sueco Helge von Koch. O mais conhecido Floco de neve de Koch (ou estrela de Koch) corresponde à mesma curva, tirando que se inicia a sua construção a partir de um triângulo equilátero (em vez de um segmento de recta). desenvolveu o mesmo conceito, a três dimensões, o que resultou num fractal com volume de um floco de neve. (pt)
  • von Kochs kurva, även känd som Koch-kurvan eller snöflingekurvan, beskrevs av den svenske matematikern Helge von Koch i en uppsats med titeln "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire", publicerad år 1904 i Arkiv för matematik, astronomi och fysik. Syftet med uppsatsen var att ge ett geometriskt mer tilltalande exempel på en kontinuerlig kurva som saknar tangent i alla punkter, än det som Karl Weierstrass upptäckte 1861. Numera är Koch-kurvan även känd för att vara en av de först beskrivna fraktalerna, ett begrepp som myntades först 70 år senare. (sv)
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  • ندفة الثلج لكوخ (ar)
  • Floc de neu de Koch (ca)
  • Kochova křivka (cs)
  • Koch-Kurve (de)
  • Koch snowflake (en)
  • Neĝero de Koch (eo)
  • Copo de nieve de Koch (es)
  • Koch elur-maluta (eu)
  • Flocon de Koch (fr)
  • Curva di Koch (it)
  • 코크 곡선 (ko)
  • Koch-kromme (nl)
  • Krzywa Kocha (pl)
  • Curva de Koch (pt)
  • Кривая Коха (ru)
  • Von Kochs kurva (sv)
  • Крива Коха (uk)
  • 科赫曲線 (zh)
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