In commutative algebra, an integrally closed domain A is an integral domain whose integral closure in its field of fractions is A itself. Spelled out, this means that if x is an element of the field of fractions of A which is a root of a monic polynomial with coefficients in A, then x is itself an element of A. Many well-studied domains are integrally closed: fields, the ring of integers Z, unique factorization domains and regular local rings are all integrally closed. Note that integrally closed domains appear in the following chain of class inclusions:
| Attributes | Values |
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| rdf:type
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| rdfs:label
| - Celistvě uzavřený obor (cs)
- Normalität (kommutative Algebra) (de)
- Anneau intégralement clos (fr)
- Integrally closed domain (en)
- 整閉整域 (ja)
- Domínio integralmente fechado (pt)
- Цілозамкнута область (uk)
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| rdfs:comment
| - Celistvě uzavřený obor je pojem z oboru . Jedná se o takový obor integrity , jenž je rovný svému celistvému uzávěru ve svém podílovém tělese , tedy do kterého patří každý prvek z , jenž je kořenem nějakého monického polynomu s koeficienty z . Celistvě uzavřená jsou například všechna tělesa, Gaussovy obory a Dedekindovy obory. (cs)
- Im mathematischen Teilgebiet der Algebra heißt ein Integritätsbereich normal, wenn er ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist. Das heißt: Ist und ganz über , so ist bereits . Allgemein heißt ein beliebiger kommutativer Ring normal, wenn alle seine lokalen Ringe normale Integritätsbereiche sind. Für Integritätsbereiche stimmen die beiden Definitionen überein. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de)
- 可換環論において、整閉整域（せいへいせいいき、英: Integrally closed domain）とは、商体の中で整閉な整域のことである。すなわち、整域 A の商体 K の元 x がモニックな多項式関係 を満たせば x∈A が導かれるとき、A を整閉整域という。
* 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体 (ja)
- В комутативній алгебрі, цілозамкнутою областю A називається область цілісності яка є рівною цілому замиканню її поля часток. (uk)
- In commutative algebra, an integrally closed domain A is an integral domain whose integral closure in its field of fractions is A itself. Spelled out, this means that if x is an element of the field of fractions of A which is a root of a monic polynomial with coefficients in A, then x is itself an element of A. Many well-studied domains are integrally closed: fields, the ring of integers Z, unique factorization domains and regular local rings are all integrally closed. Note that integrally closed domains appear in the following chain of class inclusions: (en)
- En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si p/q est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors p/q appartient à A.
* Tout anneau intègre à PGCD est intégralement clos, ce qui est le cas de tout anneau factoriel et de tout anneau de Bézout, en particulier (à double titre) de tout anneau principal, donc de tout anneau euclidien comme l'anneau Z.Démonstration Soit A un anneau intègre à PGCD. puis en multipliant par (fr)
- Em álgebra comutativa, um domínio integralmente fechado A é um domínio de integridade cujo no seu corpo de frações é ele mesmo. Muitos domínio bem estudados são integralmente fechados: corpos, o anel dos inteiros Z, domínios de fatoração única e anéis locais regulares são todos integralmente fechados. Considere (k um corpo). A e B tem o mesmo corpo de frações, e B é o fecho integral de A (pois B é domínio de fatoração única). Em outras palavras, A não é integralmente fechado. Isto é relacionado com o fato da curva ter uma singularidade na origem. (pt)
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| - Celistvě uzavřený obor je pojem z oboru . Jedná se o takový obor integrity , jenž je rovný svému celistvému uzávěru ve svém podílovém tělese , tedy do kterého patří každý prvek z , jenž je kořenem nějakého monického polynomu s koeficienty z . Celistvě uzavřená jsou například všechna tělesa, Gaussovy obory a Dedekindovy obory. (cs)
- Im mathematischen Teilgebiet der Algebra heißt ein Integritätsbereich normal, wenn er ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist. Das heißt: Ist und ganz über , so ist bereits . Allgemein heißt ein beliebiger kommutativer Ring normal, wenn alle seine lokalen Ringe normale Integritätsbereiche sind. Für Integritätsbereiche stimmen die beiden Definitionen überein. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de)
- In commutative algebra, an integrally closed domain A is an integral domain whose integral closure in its field of fractions is A itself. Spelled out, this means that if x is an element of the field of fractions of A which is a root of a monic polynomial with coefficients in A, then x is itself an element of A. Many well-studied domains are integrally closed: fields, the ring of integers Z, unique factorization domains and regular local rings are all integrally closed. Note that integrally closed domains appear in the following chain of class inclusions: rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields (en)
- En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si p/q est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors p/q appartient à A.
* Tout anneau intègre à PGCD est intégralement clos, ce qui est le cas de tout anneau factoriel et de tout anneau de Bézout, en particulier (à double titre) de tout anneau principal, donc de tout anneau euclidien comme l'anneau Z.Démonstration Soit A un anneau intègre à PGCD. Soit un polynôme unitaire (c'est-à-dire que ) à coefficients dans A et x un élément du corps des fractions de A. Cet élément x peut s'écrire p/q, où p et q sont des éléments de A premiers entre eux. Si x est une racine de P alors puis en multipliant par Puisque, pour tout i < n, q divise , on en déduit que q divise aussi . Or q et p sont premiers entre eux ; d'après le lemme de Gauss, q doit alors diviser 1, autrement dit q est inversible dans A, donc l'élément x = p/q appartient à A.
* Plus généralement, un anneau intègre A, de corps des fractions K, est intégralement clos si et seulement si tout polynôme unitaire irréductible de A[X] reste irréductible dans K[X].
* Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition).
* En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions. (fr)
- 可換環論において、整閉整域（せいへいせいいき、英: Integrally closed domain）とは、商体の中で整閉な整域のことである。すなわち、整域 A の商体 K の元 x がモニックな多項式関係 を満たせば x∈A が導かれるとき、A を整閉整域という。
* 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体 (ja)
- Em álgebra comutativa, um domínio integralmente fechado A é um domínio de integridade cujo no seu corpo de frações é ele mesmo. Muitos domínio bem estudados são integralmente fechados: corpos, o anel dos inteiros Z, domínios de fatoração única e anéis locais regulares são todos integralmente fechados. Considere (k um corpo). A e B tem o mesmo corpo de frações, e B é o fecho integral de A (pois B é domínio de fatoração única). Em outras palavras, A não é integralmente fechado. Isto é relacionado com o fato da curva ter uma singularidade na origem. Seja A um domínio integralmente fechado com corpo de frações K e uma extensão finita L de K. Então x em L é integral sobre A se, e somente se, seu polinômio minimal sobre K tem coeficiente em A.Isto implica que em particular um elemento integral sobre um domínio integralmente fechado tem polinomio minimal sobre A: isto é mais forte que um elemento integral satisfazendo algum polinomio mônico. De fato, o mesmo resultado é falso sem "integralmente fechado" (considere ). Domínios integralmente fechados também tem um papel importante na hipótese do . O teorema estabelece que se A⊆B é uma de domínios e A é um domínio integralmente fechado, então a propriedade do going-down vale para a extensão A⊆B. (pt)
- В комутативній алгебрі, цілозамкнутою областю A називається область цілісності яка є рівною цілому замиканню її поля часток. (uk)
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