In commutative algebra, a branch of mathematics, going up and going down are terms which refer to certain properties of chains of prime ideals in integral extensions. The phrase going up refers to the case when a chain can be extended by "upward inclusion", while going down refers to the case when a chain can be extended by "downward inclusion". The major results are the Cohen–Seidenberg theorems, which were proved by Irvin S. Cohen and Abraham Seidenberg. These are known as the going-up and going-down theorems.
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| - Sätze von Cohen-Seidenberg (de)
- Going up and going down (en)
- Théorème de Cohen-Seidenberg (fr)
- 上昇と下降 (ja)
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| - Die Sätze von Cohen-Seidenberg, benannt nach Irvin Cohen und Abraham Seidenberg, sind zwei Sätze aus dem mathematischen Gebiet der kommutativen Algebra. Sie sind auch als Going up und Going down bekannt und befassen sich mit Primideal-Ketten in Ringerweiterungen. (de)
- In commutative algebra, a branch of mathematics, going up and going down are terms which refer to certain properties of chains of prime ideals in integral extensions. The phrase going up refers to the case when a chain can be extended by "upward inclusion", while going down refers to the case when a chain can be extended by "downward inclusion". The major results are the Cohen–Seidenberg theorems, which were proved by Irvin S. Cohen and Abraham Seidenberg. These are known as the going-up and going-down theorems. (en)
- En mathématiques, en théorie des anneaux, le théorème de Cohen-Seidenberg est un outil important permettant de manipuler des idéaux ou des chaînes d'idéaux dans les extensions d'anneaux. Il s'agit en fait de deux résultats, appelés théorèmes de montée et de descente (souvent en anglais : going-up et going-down), dus aux mathématiciens américains Irvin Cohen et (en) qui les ont initialement établis en 1946 dans le cas commutatif, bien que leur application soit plus générale. En géométrie algébrique, ces résultats prennent une interprétation nouvelle et facilitent notamment l'étude de la topologie des schémas. C'est enfin un élément essentiel pour développer la théorie de la dimension algébrique. (fr)
- 数学の分野である可換環論において、上昇 (going up) および下降 (going down) は整拡大における素イデアルの鎖のある種の性質を意味する用語である。 フレーズ上昇は鎖を「上向きの包含」によって拡張できるケースをいい、下降は鎖を「下向きの包含」によって拡張できるケースをいう。 主要な結果は Cohen-Seidenberg の定理 (Cohen–Seidenberg theorems) であり、これは と によって証明された。これらは上昇定理 (going-up theorem) と下降定理 (going-down theorem) として知られている。 (ja)
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| - Die Sätze von Cohen-Seidenberg, benannt nach Irvin Cohen und Abraham Seidenberg, sind zwei Sätze aus dem mathematischen Gebiet der kommutativen Algebra. Sie sind auch als Going up und Going down bekannt und befassen sich mit Primideal-Ketten in Ringerweiterungen. (de)
- In commutative algebra, a branch of mathematics, going up and going down are terms which refer to certain properties of chains of prime ideals in integral extensions. The phrase going up refers to the case when a chain can be extended by "upward inclusion", while going down refers to the case when a chain can be extended by "downward inclusion". The major results are the Cohen–Seidenberg theorems, which were proved by Irvin S. Cohen and Abraham Seidenberg. These are known as the going-up and going-down theorems. (en)
- En mathématiques, en théorie des anneaux, le théorème de Cohen-Seidenberg est un outil important permettant de manipuler des idéaux ou des chaînes d'idéaux dans les extensions d'anneaux. Il s'agit en fait de deux résultats, appelés théorèmes de montée et de descente (souvent en anglais : going-up et going-down), dus aux mathématiciens américains Irvin Cohen et (en) qui les ont initialement établis en 1946 dans le cas commutatif, bien que leur application soit plus générale. En géométrie algébrique, ces résultats prennent une interprétation nouvelle et facilitent notamment l'étude de la topologie des schémas. C'est enfin un élément essentiel pour développer la théorie de la dimension algébrique. (fr)
- 数学の分野である可換環論において、上昇 (going up) および下降 (going down) は整拡大における素イデアルの鎖のある種の性質を意味する用語である。 フレーズ上昇は鎖を「上向きの包含」によって拡張できるケースをいい、下降は鎖を「下向きの包含」によって拡張できるケースをいう。 主要な結果は Cohen-Seidenberg の定理 (Cohen–Seidenberg theorems) であり、これは と によって証明された。これらは上昇定理 (going-up theorem) と下降定理 (going-down theorem) として知られている。 (ja)
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