About: Cartan–Hadamard theorem

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In mathematics, the Cartan–Hadamard theorem is a statement in Riemannian geometry concerning the structure of complete Riemannian manifolds of non-positive sectional curvature. The theorem states that the universal cover of such a manifold is diffeomorphic to a Euclidean space via the exponential map at any point. It was first proved by Hans Carl Friedrich von Mangoldt for surfaces in 1881, and independently by Jacques Hadamard in 1898. Élie Cartan generalized the theorem to Riemannian manifolds in 1928 . The theorem was further generalized to a wide class of metric spaces by Mikhail Gromov in 1987; detailed proofs were published by for metric spaces of non-positive curvature and by for general locally convex metric spaces.

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rdfs:comment	In mathematics, the Cartan–Hadamard theorem is a statement in Riemannian geometry concerning the structure of complete Riemannian manifolds of non-positive sectional curvature. The theorem states that the universal cover of such a manifold is diffeomorphic to a Euclidean space via the exponential map at any point. It was first proved by Hans Carl Friedrich von Mangoldt for surfaces in 1881, and independently by Jacques Hadamard in 1898. Élie Cartan generalized the theorem to Riemannian manifolds in 1928 . The theorem was further generalized to a wide class of metric spaces by Mikhail Gromov in 1987; detailed proofs were published by for metric spaces of non-positive curvature and by for general locally convex metric spaces. (en) In der Mathematik ist der Satz von Cartan-Hadamard ein Satz der riemannschen Geometrie, der die Topologie von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung beschreibt. Benannt ist die Aussage nach den Mathematikern Élie Cartan und Jacques Hadamard. Hadamard hatte ihn 1898 für Flächen bewiesen, Cartan dann 1928 allgemein für Riemannsche Mannigfaltigkeiten. (de) En géométrie riemannienne, le théorème de Cartan-Hadamard décrit la structure différentielle sous-jacente à une variété complète à courbure négative. Sur ce résultat s'appuie une riche étude du domaine de la courbure négative ou strictement négative. Il est d'usage de donner le nom de « Cartan-Hadamard » ou de « Hadamard-Cartan » à ce résultat, cependant il a été prouvé pour la première fois en 1881 par Hans von Mangoldt dans le cadre des surfaces, puis d'autres démonstrations dans un cadre plus développé ont été apportées par Jacques Hadamard, et enfin Élie Cartan en a donné l'énoncé général dans le cadre riemannien. (fr) Теорема Адамара — Картана — утверждение о том, что универсальное накрытие риманова многообразия с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству. (ru) O Teorema de Cartan-Hadamard é uma afirmação em concernente a estrutura de variedades riemannianas completas de não-positivas. O teorema afirma que a de tal variedade é difeomórfica a um espaço euclideano via o naquele ponto. Isto foi primeiramente provado por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superfícies em 1881 e independentemente por Jacques Hadamard em 1898. Élie Cartan generalizou o teorema para variedades riemannianas em 1928 (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). O teorema foi posteriormente generalizado para uma grande classe de espaços métricos por Mikhail Gromov em 1987; provas detalhadas foram publicadas por Ballmann (1990). (pt) Теорема Адамара — Картана — твердження про те, що універсальне накриття ріманова многовиду з недодатною кривиною діффеоморфно евклідовому простору. Для поверхонь в евклідовому просторі теорему довів Ганс фон Мангольдт у 1881 році і, незалежно від нього, Жак Соломон Адамар в 1898 році. Загальний випадок довів Елі Жозеф Картан в 1928 році. (uk) In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Cartan-Hadamard een bewering over de structuur van complete Riemann-variëteiten met een niet-positieve sectiekromming. De stelling beweert dat de van een dergelijke variëteit diffeomorf is met een Euclidische ruimte via de exponentiële afbeelding op elk punt. (nl)
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