In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem.
| Attributes | Values |
|---|
| rdfs:label
| - Harmonische Teilung (de)
- Cuaterna armónica (es)
- Division harmonique (fr)
- Harmonische ligging (nl)
- Projective harmonic conjugate (en)
- Conjugado harmônico projetivo (pt)
- Гармоническая четвёрка (ru)
- Гармонійна четвірка (uk)
|
| rdfs:comment
| - Em geometria projetiva, o ponto conjugado harmônico de um trio ordenado de pontos sobre a é definido pela seguinte construção: Dados três pontos colineares A, B, C, fazendo-se L ser um ponto não repousando sobre suas junções e fazendo-se qualquer reta através C encontrar LA, LB em M, N respectivamente. Se AN e BM encontram-se em K, e LK encontra AB em D, então D é chamado o conjugado harmônico de C em relação A, B. (pt)
- Van vier verschillende punten en die op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk . De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar genoemd. Ook wel: de punten scheiden de punten harmonisch. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan . (nl)
- Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут . Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут . (ru)
- Гармонійна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку кажуть також, що точки і гармонійно поєднані відносно і пишуть . Гармонійна четвірка прямих — четвірка прямих у проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходяться на одній прямій, є гармонійною. В цьому випадку пишуть . (uk)
- En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando En esta definición, es importante remarcar que se debe tener en consideración la orientación de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=−BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda). Prescindiendo de la orientación de los segmentos, esta relación también se puede expresar como: Propiedad fundamental: (es)
- Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung
* erfüllt ist. Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.Liegt rechts von , so liegt rechts von .Liegt links von , so liegt links von . Da die obige Gleichung sich auch so (de)
- En géométrie affine, quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures géométriques, par exemple le quadrilatère complet. C'est plus fondamentalement une notion de géométrie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut –1. (fr)
- In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem. (en)
|
| foaf:depiction
| |
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| thumbnail
| |
| has abstract
| - En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando En esta definición, es importante remarcar que se debe tener en consideración la orientación de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=−BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda). Prescindiendo de la orientación de los segmentos, esta relación también se puede expresar como: Como se explica más adelante, las cuaternas armónicas están íntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas cónicas y sus tangentes, así como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadrángulo completo. Propiedad fundamental: Las cuaternas armónicas de una figura poseen la propiedad de seguir siéndolo en las figuras obtenidas como proyección de la figura original. (es)
- Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung
* erfüllt ist. Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.Liegt rechts von , so liegt rechts von .Liegt links von , so liegt links von . Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass die Strecke innen und außen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverhältnisse und den gleichen Betrag haben und das Doppelverhältnis gleich −1 ist. Da die obige Gleichung sich auch so schreiben lässt, teilen auch die Punkte die Strecke harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade. (de)
- En géométrie affine, quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures géométriques, par exemple le quadrilatère complet. C'est plus fondamentalement une notion de géométrie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut –1. Elle permet de définir la conjugaison harmonique, que l'on retrouve dans la conjugaison par rapport à deux droites, par rapport à un cercle, et plus généralement par rapport à une conique, c'est-à-dire (en projectif) à l'orthogonalité par rapport à la forme quadratique qui la définit. (fr)
- In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem. In real projective geometry, harmonic conjugacy can also be defined in terms of the cross-ratio as (A, B; C, D) = −1. (en)
- Em geometria projetiva, o ponto conjugado harmônico de um trio ordenado de pontos sobre a é definido pela seguinte construção: Dados três pontos colineares A, B, C, fazendo-se L ser um ponto não repousando sobre suas junções e fazendo-se qualquer reta através C encontrar LA, LB em M, N respectivamente. Se AN e BM encontram-se em K, e LK encontra AB em D, então D é chamado o conjugado harmônico de C em relação A, B. (pt)
- Van vier verschillende punten en die op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk . De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar genoemd. Ook wel: de punten scheiden de punten harmonisch. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan . (nl)
- Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут . Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут . (ru)
- Гармонійна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку кажуть також, що точки і гармонійно поєднані відносно і пишуть . Гармонійна четвірка прямих — четвірка прямих у проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходяться на одній прямій, є гармонійною. В цьому випадку пишуть . (uk)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
