| dbo:abstract
|
- في الرياضيات، المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) هي مجموعة مستطيلة من الأعداد أو من الرموز أو من التعبيرات منتظمة بشكل أعمدة وصفوف. يُدعى كل عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أو مدخلٍ للمصفوفة. فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة: مثالا على المدخلات في المصفوفة أعلاه 1, 9, 13, 20, 55 ,4. يدل عادة على أي مدخل في مصفوفة ما باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وأسفله رقمين صغيرين بحيث يمثل العدد الأول رقم الصف والثاني رقم العمود مثل الشكل المرفق.ويعرف عدد الأسطر في عدد الأعمدة برتبة المصفوفة أو قياس المصفوفة. مثال ذلك المصفوفة المحتوية على 4 أسطر و 3 أعمدة قياسها هو 4*3 ويمكن إجراء عمليتي الجمع والطرح على المصفوفات المتساوية القياس. كما يمكن ضرب المصفوفات بأنسجام معين في القياس. ولهذه العمليات العديد من خصائص الحساب العادي، باستثناء أن ضرب المصفوفات ليس بعملية تبديلية، وبشكل عام يمكن أن نقول أن A.B لا يساوي B.A. تعرف المصفوف المؤلفة من صف واحد أو عمود واحد بمتجه. أما المصفوفة ذات القياس الأكبر تعرف بموتر. تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح الجبر الخطي. فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل . يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي الدالة المركبة. كما يمكن للمصفوفات تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. ويمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:حيث يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية. (ar)
- En matemàtiques, una matriu és una taula rectangular de nombres o, més generalment, d'elements d'una estructura algebraica de forma d'anell. En aquest article, els valors per les matrius són reals o complexos a menys que es digui el contrari. Un exemple de matriu de 2 files i 3 columnes: Les matrius de la mateixa mida es poden sumar o restar element a element. No obstant, perquè es pugui efectuar la multiplicació de matrius el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona. Una major utilitat de les matrius és la de representar aplicacions lineals, o sigui, generalitzacions de funcions lineals com ara f(x) = 4x. Per exemple, la rotació de vectors en un espai de tres dimensions és una aplicació lineal que es pot representar a través d'una matriu de rotació, R. Si v és un vector columna (una matriu d'una sola columna) que descriu la posició d'un punt a l'espai, llavors el producte Rv és un vector columna que descriu la posició d'aquest punt després de la rotació. El producte de dues matrius representa la composició funcional de dues aplicacions lineals. Una altra utilitat de les matrius és la resolució d'un sistema d'equacions lineals. Si la matriu és , es poden comprovar algunes de les seves propietats computant el determinant que li correspon. Per exemple, una matriu quadrada té una inversa si i només si el seu determinant és diferent de zero. Els vectors propis i valors propis donen una idea de la geometria de les aplicacions lineals. Les matrius s'utilitzen en la majoria de camps de la ciència. A totes les branques de la física, incloent la mecànica clàssica, l'òptica, l'electromagnetisme, la mecànica quàntica i l'electrodinàmica quàntica, s'empren per estudiar els fenòmens físics, com ara el moviment de sòlids rígids. A la infografia s'utilitzen per projectar una imatge tridimensional en una pantalla bidimensional. A la teoria de la probabilitat i l'estadística, serveixen per descriure conjunts de probabilitats; de fet, es fan servir a dins de l'algorisme PageRank que ordena les pàgines a una cerca de Google. El generalitza nocions analítiques com ara les derivades i les exponencials a dimensions més grans. (ca)
- Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu . Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet. Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k řešení soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu anizotropních materiálů. (cs)
- In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen). Rechteckig bedeutet dass die Anordnung der Elemente stattfindet in Zeilen und Spalten. Das Element einer Matrix in der i-te Zeile und jte Spalte wird mit angedeutet. Mit den Objekten einer Matrix lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert. Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt. Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von Elementen erfolgt in Zeilen und Spalten.Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Indizes wird auch Hypermatrix genannt. (de)
- Στα μαθηματικά, ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών, συμβόλων, ή , διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες. Τα μεμονωμένα στοιχεία σε ένα πίνακα ονομάζονται στοιχεία ή εγγραφές του. Ένα παράδειγμα πίνακα 2 γραμμών και 3 στηλών είναι: Οι πίνακες ίδιων διαστάσεων μπορούν να ή αφαιρεθούν στοιχείο προς στοιχείο. Αλλά ο κανόνας για τον είναι ότι οι δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δευτέρου. Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων είναι να παριστάνουν , δηλαδή, γενικεύσεις των όπως f(x) = 4x. Για παράδειγμα, η περιστροφή σε έναν τριών χώρο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα περιστροφής R. Αν v είναι ένα διάνυσμα στήλης (ένας πίνακας με μόνο μία στήλη) που περιγράφει τη θέση ενός σημείου στο χώρο, το γινόμενο Rv είναι μία στήλη διάνυσμα που περιγράφει τη θέση εκείνου του σημείου μετά από μία περιστροφή. Το γινόμενο δύο πινάκων είναι ένας πίνακας που αναπαριστά τη σύνθεση δύο γραμμικών μετασχηματισμών. Μια άλλη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Αν ο πίνακας είναι , είναι δυνατόν να συμπεράνουμε μερικές από τις ιδιότητές του υπολογίζοντας την του. Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Οι ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα παρέχουν μια διορατικότητα στη γεωμετρία των γραμμικών μετασχηματισμών. Εφαρμογές των πινάκων βρίσκονται σε πολλά επιστημονικά πεδία. Σε κάθε κλάδο της φυσικής, συμπεριλαμβανομένων της κλασικής μηχανικής, οπτικής, ηλεκτρομαγνητικής, κβαντομηχανικής, και κβαντικής ηλεκτροδυναμικής, που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των φυσικών φαινομένων, όπως την κίνηση των στερεών σωμάτων. Σε γραφικά υπολογιστών, χρησιμοποιούνται για το σχέδιο εικόνας τριών διαστάσεων σε δύο διαστάσεων οθόνη. Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, οι στοχαστικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σύνολα πιθανοτήτων; για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται μέσα στον αλγόριθμο PageRank ο οποίος ταξινομεί τις σελίδες στην αναζήτηση του Google. Ο γενικεύεται στις κλασικές έννοιες όπως είναι οι παράγωγοι και τα σε υψηλότερες διαστάσεις. Ένας σημαντικός κλάδος της πληροφορικής και της αριθμητικής ανάλυσης έχει ασχοληθεί με την ανάπτυξη και υλοποίηση αποδοτικών αλγορίθμων για υπολογισμούς σε πίνακες, δεδομένου των πολυπληθών εφαρμογών τους. Αυτές μπορεί να περιλαμβάνουν την χρήση για απλούστευση των πράξεων, την ανάπτυξη αλγορίθμων για συγκεκριμένα είδη πινάκων (όπως οι ή οι σχεδόν διαγώνιοι πίνακες), την ελάττωση των συνολικών υποπράξεων (όπως ο ) ή την ανάπτυξη ειδικού υλικού υπολογιστών (όπως οι κάρτες γραφικών). Στην θεωρία πολυπλοκότητας ένα άλυτο πρόβλημα είναι ο προσδιορισμός της βέλτιστης χρονικής πολυπλοκότητας για τον πολλαπλασιασμό πινάκων (το 2022, μεταξύ και πράξεων), που συνεπάγεται αποτελέσματα για πολλά άλλα προβλήματα όπως η εύρεση συντομότερων μονοπατιών, συντακτική ανάλυση. Οι άπειροι πίνακες απαντώνται στην πλανητική θεωρία και την ατομική θεωρία. Ένα απλό παράδειγμα ενός άπειρου πίνακα είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον παράγωγο φορέα, ο οποίος δρα στη Σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης. (el)
- Matrico estas ortangula tabelo kun datenoj nomataj elementoj aŭ koeficientoj. Difinita sur aro da matricoj, algebra strukturo ebligas fari algebrajn operaciojn per matricoj. Plej ofte, koeficientoj de matrico estas elementoj de ia korpo aŭ ringo, sed ĝenerale sufiĉas aŭ eĉ pli ĝenerala tipo de algebra strukturo, kies elementojn eblas adicii kaj multipliki. Matricoj estas uzataj por priskribi sistemojn de linearaj ekvacioj kaj linearajn transformojn. (eo)
- Matematikan, matrizea zenbakiz osaturiko errenkada (edo zutabe) multzo laukizuzen bat da, beste matrize batekin batera batu eta biderkatu egin daitekeena. Adibidez, honakoa 2 errenkada eta 3 zutabe dituen matrizea da: Askotan, matrizeak ekuazio linealetako sistemak planteatu eta ebazteko erabiltzen dira. Halaber, aljebra linealaren funtsezko tresna dira eta horrela, aplikazio zabalak dituzte zientziaren arlo anitzetan, ekonomiatik (non errenkadaz errenkada herrialde ezberdinetan izandako gai andana baten ekoizpenak adieraz ditzaketen, esaterako) fisikara (hiru dimentsiotako kokapenak islatzen denean, adibidez). (eu)
- En matemática, una matriz es un conjunto bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece. Los elementos individuales de una matriz x , se denotan a menudo por , donde el máximo valor de es , y el máximo valor de es . Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal. (es)
- In mathematics, a matrix (plural matrices) is a rectangular array or table of numbers, symbols, or expressions, arranged in rows and columns, which is used to represent a mathematical object or a property of such an object. For example, is a matrix with two rows and three columns. This is often referred to as a "two by three matrix", a "2×3-matrix", or a matrix of dimension 2×3. Without further specifications, matrices represent linear maps, and allow explicit computations in linear algebra. Therefore, the study of matrices is a large part of linear algebra, and most properties and operations of abstract linear algebra can be expressed in terms of matrices. For example, matrix multiplication represents composition of linear maps. Not all matrices are related to linear algebra. This is, in particular, the case in graph theory, of incidence matrices, and adjacency matrices. This article focuses on matrices related to linear algebra, and, unless otherwise specified, all matrices represent linear maps or may be viewed as such. Square matrices, matrices with the same number of rows and columns, play a major role in matrix theory. Square matrices of a given dimension form a noncommutative ring, which is one of the most common examples of a noncommutative ring. The determinant of a square matrix is a number associated to the matrix, which is fundamental for the study of a square matrix; for example, a square matrix is invertible if and only if it has a nonzero determinant, and the eigenvalues of a square matrix are the roots of a polynomial determinant. In geometry, matrices are widely used for specifying and representing geometric transformations (for example rotations) and coordinate changes. In numerical analysis, many computational problems are solved by reducing them to a matrix computation, and this often involves computing with matrices of huge dimension. Matrices are used in most areas of mathematics and most scientific fields, either directly, or through their use in geometry and numerical analysis. (en)
- Sa mhatamaitic, is éard atá i maitrís ná eagar ordaithe uimhreacha faoi rialacha cumtha ar leith. Is féidir na rialacha seo a léiriú leis an dá mhaitrís A is B thíos: Sainmhínítear suimiú mar seo: agus iolrú mar seo: Is féidir go mbeidh líon ar bith línte is colún i maitrís. Nuar a bhíonn n líne is m colún ann, tugtar maitrís m × n uirthi. Shaothraigh an matamaiticeoir Francach Marie-Ennemond Camille Jordan (1838-1922), an matamaiticeoir Gearmánach Leopold Kronecker (1823-1891), agus daoine eile ailgéabar maitríseach, bunaithe ar luathshaothar an mhatamaiticeora Shasanaigh Arthur Cayley (1821-1895). Bhí siad ag iarraidh ailgéabar neamhchómhalartach a fhorbairt mar A · B ≠ B · A go ginearálta. Fuarthas an-chuid feidhmeanna do mhaitrísí ó shin, i dteoiric na dóchúlachta (slabhraí Markov), ciorcaid leictreacha/ leictreonacha, agus teoiric cluichí. (ga)
- Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, , atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"): karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom. Setiap objek dalam matriks berdimensi sering dilambangkan dengan , dimana nilai maksimum dan nilai maksimum . Objek dalam matriks disebut elemen, entri, atau anggota matriks. Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua (artinya, perkalian matriks dengan matriks menghasilkan matriks ). Perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suatu generalisasi fungsi linear seperti . Sebagai contoh, efek pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi . Jika adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil dari menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi sistem persamaan linear. Jika matriks merupakan matriks persegi, beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai determinan. Misalnya, matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika nilai determinannya tidak sama dengan nol. Sisi geometri dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari eigenvalue dan eigenvector matriks. Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang fisika, contohnya mekanika klasik, mekanika kuantum, dan optika, matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang computer graphics, matriks digunakan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks stokastik digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma PageRank dalam menentukan urutan halaman pada pencarian Google. Kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari turunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi. (in)
- En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss. (fr)
- In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è una tabella ordinata di elementi. Ad esempio: Le matrici sono ampiamente usate in matematica e in tutte le scienze per la loro capacità di rappresentare in maniera utile e concisa diversi oggetti matematici, come valori che dipendono da due parametri o anche sistemi lineari, cosa, quest'ultima, che le rende uno strumento centrale dell'analisi matematica. (it)
- 数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。 (ja)
- ( 다른 뜻에 대해서는 행진 문서를 참고하십시오.)( 행렬론은 여기로 연결됩니다. 이론물리학 용어에 대해서는 행렬 이론 문서를 참고하십시오.)
수학에서 행렬(行列, 영어: matrix)은 수 또는 다항식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 예를 들어, 실수 1, 9, −13, 20, 5, −16을 2×3 직사각형 위에 배열한 행렬은 다음과 같다. 행렬에는 덧셈과 스칼라배, 곱셈 연산이 존재한다. 크기가 같은 두 행렬은 같은 위치의 성분별로 더할 수 있으며, 첫째 행렬의 열과 둘째 행렬의 행의 수가 같은 두 행렬은 첫째 행렬의 각 행벡터와 둘째 행렬의 각 열벡터의 스칼라곱을 통해 곱할 수 있다. 곱셈의 교환 법칙이나 등 복소수의 일부 성질들은 행렬 연산에서 더 이상 성립하지 않는다. 가환환 위의 유한 차원 자유 가군(특히, 체 위의 유한 차원 벡터 공간)의 선형 변환을 행렬로 유일하게 표현할 수 있으며, 이는 행렬의 중요한 응용이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간의 회전은 을 각 열벡터 에 곱하여 새 열벡터 를 얻는 함수이다. 행렬의 덧셈과 스칼라배는 선형 변환의 점별 덧셈과 점별 스칼라배, 행렬의 곱셈은 선형 변환의 합성에 대응한다. 행렬은 가우스 소거법 등 연립 일차 방정식의 풀이에도 응용된다.:97 정사각 행렬과 그 선형 변환의 일부 성질들은 그 행렬식 또는 고윳값과 고유 벡터에서 반영된다. 예를 들어, 가환환의 원소를 성분으로 하는 행렬이 역행렬을 가질 필요 충분 조건은 행렬식이 가역원인 것이며, 특히 체의 경우 필요 충분 조건은 행렬식이 0이 아닌 것이다. 행렬은 과학과 수학의 수많은 분야에서 다양한 응용이 있다. 물리학의 전기 회로 이론, 고전역학, 광학, 전자기학, 양자역학, 양자 전기역학 등 분야에서 응용되며, 컴퓨터 그래픽스에서 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해 사용한다. 확률론과 통계학의 마르코프 행렬과 다변수 미적분학의 헤세 행렬 등 역시 행렬의 응용이다. 행렬 계산은 수치해석학의 중요한 문제 중 하나이다. 행렬 분해는 행렬 계산을 이론과 실제 응용에서 모두 단순화할 수 있다. 희소행렬, 띠행렬 등 널리 사용되는 특수한 구조의 행렬들의 경우 특화된 고속 알고리즘들이 존재한다. 천체물리학과 양자물리학 등 분야에서는 무한 행렬도 등장한다. (ko)
- In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een matrix (meervoud: matrices) een rechthoekig getallenschema. De gebruikelijke voorstelling van zo'n rechthoekig schema is met een zijde in de schrijfrichting en de andere loodrecht daarop, zodat de getallen geordend zijn in rijen en kolommen. De matrix is een middel om samenhangende gegevens en hun bewerkingen op een systematische en overzichtelijke wijze weer te geven. De term matrix werd in 1848 ingevoerd door de Britse wiskundige J.J. Sylvester. Indien er rijen en kolommen zijn, spreekt men van een -matrix. Het gebruik is dus dat het eerste cijfer de hoogte aangeeft en het tweede de breedte (zie ook discrete coördinaten). Als is het een vierkante matrix. De getallen heten de elementen van de matrix. Een -matrix heeft dus elementen. Het element op het kruispunt van de -de rij en de -de kolom wordt aangeduid als het -de element en genoteerd als . Voor de matrix zelf noteert men wel: . Ook andere notaties worden gebruikt, onder andere, waarin het -de element van een matrix geschreven wordt als . Het volgende voorbeeld toont een 2×3-matrix met gehele getallen als elementen: We zien bijvoorbeeld dat en . Matrices zijn belangrijke instrumenten in de lineaire algebra. Men gebruikt ze onder andere voor de weergave van lineaire afbeeldingen. Matrixvermenigvuldiging komt overeen met samenstelling van lineaire afbeeldingen. Matrices kunnen ook worden gebruikt om een overzicht te bieden van de coëfficiënten in een stelsel van lineaire vergelijkingen. Voor een vierkante matrix reguleren de determinant en inverse matrix (als deze bestaat) het gedrag van oplossingen voor het corresponderende stelsel van lineaire vergelijkingen, en eigenwaarden en eigenvectoren geven inzicht in de meetkunde van de geassocieerde lineaire transformatie Matrices kennen vele toepassingen. In de natuurkunde maakt men op verscheidene gebieden gebruik van matrices, zoals bij de meetkundige optica en de matrixmechanica. De laatste toepassing heeft geleid tot een meer gedetailleerde studie van matrices met een oneindig aantal rijen en kolommen. De grafentheorie maakt gebruik van matrices om afstanden tussen paren knopen (vertices) in een graaf bij te houden. Computergraphics gebruikt matrices om de driedimensionale ruimte op een tweedimensionaal vlak te projecteren. De matrixrekening generaliseert klassieke analytische begrippen zoals afgeleiden van functies en exponentiële functies naar matrices, wat toepassing vindt bij het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen. Het serialisme en de dodecafonie zijn 20e-eeuwse muzikale stromingen die gebruikmaken van een vierkante matrix om het patroon van de intervallen te bepalen. Een belangrijke tak van de numerieke analyse is gewijd aan de ontwikkeling van efficiënte algoritmen voor matrixberekeningen, een onderwerp dat, hoewel al eeuwen oud, nog steeds een actief gebied van wiskundig onderzoek is. Matrix-decompositiemethoden vereenvoudigen zowel theoretische als praktische berekeningen. Voor ijle matrices, dat wil zeggen matrices die naar verhouding veel nullen bevatten, kunnen specifiek ontworpen algoritmen tot versnelde berekeningen leiden; dergelijke matrices spelen bijvoorbeeld een rol in de eindige-elementenmethode. (nl)
- W matematyce macierz to układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. W algebrze liniowej macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi. Macierze pozwalają również na reprezentowanie przekształceń liniowych, czy form dwuliniowych w sposób umożliwiający przeprowadzanie obliczeń. Ponieważ wiele przekształceń geometrycznych (jak na przykład obroty przestrzeni wokół początku układu współrzędnych) są przekształceniami liniowymi, macierze znajdują zastosowanie w geometrii analitycznej i grafice komputerowej. Przykładami macierzy reprezentujących przekształcenia liniowe są pojawiające się w macierze Jacobiego. Przykładami macierzy reprezentujących formy dwuliniowe są macierze Hessego w oraz macierze kowariancji w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Przykładem macierzy której wprowadzenie nie jest motywowane reprezentowaniem żadnego naturalnego przekształcenia liniowego, czy formy kwadratowej jest macierz incydencji w teorii grafów. Oprócz wymienionych powyżej dziedzin macierze są wykorzystywane także w , kryptografii, czy elektronice – część z tych użyć omówiono w . Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań w ramach algebry liniowej i . Elementy z których złożona jest macierz nazywamy współczynnikami macierzy. Aby zdefiniować operacje na macierzach takie jak suma dwóch macierzy lub iloczyn dwóch macierzy należy założyć, że współczynniki rozważanych macierzy należą do pewnego pierścienia. Popularnym mocniejszym założeniem jest wymaganie, by współczynniki macierzy należały do pewnego ciała. Jeszcze mocniejszym założeniem, (niewymagającym znajomości abstrakcyjnego pojęcia ciała) jest przyjęcie, że zbiór dozwolonych współczynników jest (w zależności od potrzeb):
* liczbami wymiernymi ,
* liczbami rzeczywistymi , lub
* liczbami zespolonymi .W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego ciała o ile nie zaznaczono inaczej. (pl)
- Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema av tal eller andra storheter. På en matris kan tre av de fyra grundläggande räknesätten utföras: addition, subtraktion och multiplikation, dock inte division. Därutöver finns vissa räkneoperationer som är specifika för matriser, till exempel transponering.Matriser kan användas för att hålla data som beror på två kategorier och för att hålla ordning på koefficienterna i linjära ekvationssystem och vid linjära transformationer. (sv)
- Na álgebra linear, uma matriz é um quadro rectangular composto por números. Uma matriz costuma ser representada por uma letra maiúscula, tal como A, e tem um determinado número de linhas (m) e de colunas (n). Neste caso, representa-se por . Os termos individuais da Matriz geralmente denotados por onde e são as entradas da matriz. Quando as matrizes têm o mesmo tamanho, ou seja, têm o mesmo número de linhas e colunas que a outra, então essas duas matrizes podem ter seus elementos somados e subtraídos 1 a 1. Para multiplicar, no entanto, deve-se prestar atenção se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Dessa forma, percebe-se que as matrizes não comutam, logo. Toda matriz pode ser multiplicada por um escalar, novamente elemento por elemento. A mais importante aplicação de matrizes é para representar transformações lineares. (pt)
- Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность и , на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
* сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
* умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);
* в том числе умножение матрицы на вектор-столбец и умножение вектор-строки на матрицу (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);
* умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр). Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения. Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в -мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка ; и обратно — каждой квадратной матрице порядка может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам. То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм. В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы. Особое значение в теории матриц занимают всевозможные , то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью. (ru)
- 數學上，一個的矩陣是一个由行（row）列（column）元素排列成的矩形阵列。矩陣裡的元素可以是数字、符号或数学式。 大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如之类的線性函數的推广。设定基底后，某个向量可以表示为的矩阵，而线性变换可以表示为列数为的矩阵，使得经过变换后得到的向量可以表示成的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。 矩陣是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵在力学、电路学、光学和量子物理等領域中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，請參考矩陣理論。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 (zh)
- Ма́триця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай, матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. У цій статті вони розглядатися не будуть.Вивченням матриць займається теорія матриць. Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu . Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet. Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k řešení soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu anizotropních materiálů. (cs)
- Matrico estas ortangula tabelo kun datenoj nomataj elementoj aŭ koeficientoj. Difinita sur aro da matricoj, algebra strukturo ebligas fari algebrajn operaciojn per matricoj. Plej ofte, koeficientoj de matrico estas elementoj de ia korpo aŭ ringo, sed ĝenerale sufiĉas aŭ eĉ pli ĝenerala tipo de algebra strukturo, kies elementojn eblas adicii kaj multipliki. Matricoj estas uzataj por priskribi sistemojn de linearaj ekvacioj kaj linearajn transformojn. (eo)
- En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss. (fr)
- In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è una tabella ordinata di elementi. Ad esempio: Le matrici sono ampiamente usate in matematica e in tutte le scienze per la loro capacità di rappresentare in maniera utile e concisa diversi oggetti matematici, come valori che dipendono da due parametri o anche sistemi lineari, cosa, quest'ultima, che le rende uno strumento centrale dell'analisi matematica. (it)
- 数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。 (ja)
- Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema av tal eller andra storheter. På en matris kan tre av de fyra grundläggande räknesätten utföras: addition, subtraktion och multiplikation, dock inte division. Därutöver finns vissa räkneoperationer som är specifika för matriser, till exempel transponering.Matriser kan användas för att hålla data som beror på två kategorier och för att hålla ordning på koefficienterna i linjära ekvationssystem och vid linjära transformationer. (sv)
- 數學上，一個的矩陣是一个由行（row）列（column）元素排列成的矩形阵列。矩陣裡的元素可以是数字、符号或数学式。 大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如之类的線性函數的推广。设定基底后，某个向量可以表示为的矩阵，而线性变换可以表示为列数为的矩阵，使得经过变换后得到的向量可以表示成的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。 矩陣是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵在力学、电路学、光学和量子物理等領域中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，請參考矩陣理論。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 (zh)
- Ма́триця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай, матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. У цій статті вони розглядатися не будуть.Вивченням матриць займається теорія матриць. Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень. (uk)
- في الرياضيات، المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) هي مجموعة مستطيلة من الأعداد أو من الرموز أو من التعبيرات منتظمة بشكل أعمدة وصفوف. يُدعى كل عنصر من هذا المجموعة بعنصرٍ أو مدخلٍ للمصفوفة. فيما يلي، على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على صفين وعلى ثلاثة أعمدة: تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح الجبر الخطي. فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل . يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي الدالة المركبة. كما يمكن للمصفوفات تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية (ar)
- En matemàtiques, una matriu és una taula rectangular de nombres o, més generalment, d'elements d'una estructura algebraica de forma d'anell. En aquest article, els valors per les matrius són reals o complexos a menys que es digui el contrari. Un exemple de matriu de 2 files i 3 columnes: (ca)
- Στα μαθηματικά, ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών, συμβόλων, ή , διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες. Τα μεμονωμένα στοιχεία σε ένα πίνακα ονομάζονται στοιχεία ή εγγραφές του. Ένα παράδειγμα πίνακα 2 γραμμών και 3 στηλών είναι: Οι άπειροι πίνακες απαντώνται στην πλανητική θεωρία και την ατομική θεωρία. Ένα απλό παράδειγμα ενός άπειρου πίνακα είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον παράγωγο φορέα, ο οποίος δρα στη Σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης. (el)
- In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen). Rechteckig bedeutet dass die Anordnung der Elemente stattfindet in Zeilen und Spalten. Das Element einer Matrix in der i-te Zeile und jte Spalte wird mit angedeutet. Mit den Objekten einer Matrix lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert. (de)
- En matemática, una matriz es un conjunto bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal. (es)
- Matematikan, matrizea zenbakiz osaturiko errenkada (edo zutabe) multzo laukizuzen bat da, beste matrize batekin batera batu eta biderkatu egin daitekeena. Adibidez, honakoa 2 errenkada eta 3 zutabe dituen matrizea da: (eu)
- In mathematics, a matrix (plural matrices) is a rectangular array or table of numbers, symbols, or expressions, arranged in rows and columns, which is used to represent a mathematical object or a property of such an object. For example, is a matrix with two rows and three columns. This is often referred to as a "two by three matrix", a "2×3-matrix", or a matrix of dimension 2×3. (en)
- Sa mhatamaitic, is éard atá i maitrís ná eagar ordaithe uimhreacha faoi rialacha cumtha ar leith. Is féidir na rialacha seo a léiriú leis an dá mhaitrís A is B thíos: Sainmhínítear suimiú mar seo: agus iolrú mar seo: (ga)
- Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, , atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"): karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom. Setiap objek dalam matriks berdimensi sering dilambangkan dengan , dimana nilai maksimum dan nilai maksimum . Objek dalam matriks disebut elemen, entri, atau anggota matriks. (in)
- ( 다른 뜻에 대해서는 행진 문서를 참고하십시오.)( 행렬론은 여기로 연결됩니다. 이론물리학 용어에 대해서는 행렬 이론 문서를 참고하십시오.)
수학에서 행렬(行列, 영어: matrix)은 수 또는 다항식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 예를 들어, 실수 1, 9, −13, 20, 5, −16을 2×3 직사각형 위에 배열한 행렬은 다음과 같다. 행렬에는 덧셈과 스칼라배, 곱셈 연산이 존재한다. 크기가 같은 두 행렬은 같은 위치의 성분별로 더할 수 있으며, 첫째 행렬의 열과 둘째 행렬의 행의 수가 같은 두 행렬은 첫째 행렬의 각 행벡터와 둘째 행렬의 각 열벡터의 스칼라곱을 통해 곱할 수 있다. 곱셈의 교환 법칙이나 등 복소수의 일부 성질들은 행렬 연산에서 더 이상 성립하지 않는다. 가환환 위의 유한 차원 자유 가군(특히, 체 위의 유한 차원 벡터 공간)의 선형 변환을 행렬로 유일하게 표현할 수 있으며, 이는 행렬의 중요한 응용이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간의 회전은 을 각 열벡터 에 곱하여 새 열벡터 를 얻는 함수이다. 행렬의 덧셈과 스칼라배는 선형 변환의 점별 덧셈과 점별 스칼라배, 행렬의 곱셈은 선형 변환의 합성에 대응한다. 행렬은 가우스 소거법 등 연립 일차 방정식의 풀이에도 응용된다.:97 정사각 행렬과 그 선형 변환의 일부 성질들은 그 행렬식 또는 고윳값과 고유 벡터에서 반영된다. 예를 들어, 가환환의 원소를 성분으로 하는 행렬이 역행렬을 가질 필요 충분 조건은 행렬식이 가역원인 것이며, 특히 체의 경우 필요 충분 조건은 행렬식이 0이 아닌 것이다. (ko)
- In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een matrix (meervoud: matrices) een rechthoekig getallenschema. De gebruikelijke voorstelling van zo'n rechthoekig schema is met een zijde in de schrijfrichting en de andere loodrecht daarop, zodat de getallen geordend zijn in rijen en kolommen. De matrix is een middel om samenhangende gegevens en hun bewerkingen op een systematische en overzichtelijke wijze weer te geven. De term matrix werd in 1848 ingevoerd door de Britse wiskundige J.J. Sylvester. We zien bijvoorbeeld dat en . (nl)
- W matematyce macierz to układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. W algebrze liniowej macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi. Macierze pozwalają również na reprezentowanie przekształceń liniowych, czy form dwuliniowych w sposób umożliwiający przeprowadzanie obliczeń. Ponieważ wiele przekształceń geometrycznych (jak na przykład obroty przestrzeni wokół początku układu współrzędnych) są przekształceniami liniowymi, macierze znajdują zastosowanie w geometrii analitycznej i grafice komputerowej. (pl)
- Na álgebra linear, uma matriz é um quadro rectangular composto por números. Uma matriz costuma ser representada por uma letra maiúscula, tal como A, e tem um determinado número de linhas (m) e de colunas (n). Neste caso, representa-se por . (pt)
- Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность и , на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. (ru)
|
