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منحنيات متوازية Паралельна крива Parallel curve Parallelkurve Courbe parallèle Параллельная кривая Parallelkromme

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Een parallelkromme op afstand van een gegeven vlakke kromme in het euclidische vlak is een omhullende van alle congruente cirkels met straal waarvan het middelpunt op de gegeven kromme ligt. Een tweede mogelijke definitie is dat een parallelkromme op afstand van de gegeven kromme bestaat uit de punten die alle op afstand (langs de normaal) liggen van de gegeven kromme. Men zegt wel dat de parallelkromme evenwijdig is aan de gegeven kromme. Omgekeerd hoeft de gegeven kromme echter niet evenwijdig te zijn aan de parallelkromme. En géométrie, la parallèle d'une courbe est l'enveloppe d'une famille de cercles congruents centrés sur la courbe. Elle généralise le concept de lignes parallèles (droites). Elle peut également être définie comme une courbe dont les points sont à une constante d'une courbe donnée. Ces deux définitions ne sont pas entièrement équivalentes car la dernière suppose la régularité, tandis que la première ne le fait pas. Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых. Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии от данной определяется уравнениями ,. Или в векторной форме: , где матрица соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке. Eine Parallelkurve ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Konzepts einer Parallelen zu einer gegebenen Gerade in der euklidischen Ebene. Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten der Definition: * 1. Möglichkeit: Die Parallelkurve einer Kurve im Abstand d ist die Einhüllende der Kreise mit Radius d und Mittelpunkte auf der Kurve . * 2. Möglichkeit: Die Parallelkurve einer Kurve besteht aus den Punkten der Ebene, die auf der Normale eines Punktes von im Abstand d liegen. Beim Wankelmotor ist die Hüllkurve der Trochoide (Radkurve) des Rotors im Abstand d eine Äquidistante. Паралельна крива плоскої кривої — обгортка сімейства кіл однакового радіуса, центри яких лежать на заданій кривій. Поняття паралельної кривої — узагальнення поняття паралельної прямої на випадок плоских кривих. Для параметрично заданої кривої, паралельна крива, що проходить на відстані від даної визначається рівняннями: ,. Або у векторній формі: , де матриця відповідає повороту вектора на 90° за годинниковою стрілкою. A parallel of a curve is the envelope of a family of congruent circles centered on the curve. It generalises the concept of parallel (straight) lines. It can also be defined as a curve whose points are at a constant normal distance from a given curve. These two definitions are not entirely equivalent as the latter assumes smoothness, whereas the former does not. منحنيات متوازية، مصطلح يشير إلى المنحنيات التي لها نفس البعد فيما بينها. مثلا معلوم أي منحنى C ، ومطلوب رسم منحنى Γ موازي ل C. نرسم قطع مستقيمة عمودية على C وبطول ثابت. بتوصيل اطراف القطع نحصل على المنحنى المطلوب Γ. وحيث تكون الخطوط المتماسة للمنحنيين موازية لبعضها البعض. أطلق لايبنيز على C وΓ منحنيات متوازية إذا كانت C منحنى جبرية ، فكل ما يوازيها يكون كذلك. على سبيل المثال، المنحنى الموازي لقطع منحنى حلقي (بالايطالية Toroide)، لأنه يشبه الكفاف الظاهر لسطح حلقي مسقط على مستوى من مركز لانهائي.

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Een parallelkromme op afstand van een gegeven vlakke kromme in het euclidische vlak is een omhullende van alle congruente cirkels met straal waarvan het middelpunt op de gegeven kromme ligt. Een tweede mogelijke definitie is dat een parallelkromme op afstand van de gegeven kromme bestaat uit de punten die alle op afstand (langs de normaal) liggen van de gegeven kromme. Men zegt wel dat de parallelkromme evenwijdig is aan de gegeven kromme. Omgekeerd hoeft de gegeven kromme echter niet evenwijdig te zijn aan de parallelkromme. Afgezien van cirkels en rechte lijnen hebben parallelkrommen een gecompliceerdere vorm dan de gegeven kromme waarop ze gebaseerd zijn en zijn ze niet gelijkvormig met de originele kromme. Ook kunnen parallelkrommen zichzelf snijden. Паралельна крива плоскої кривої — обгортка сімейства кіл однакового радіуса, центри яких лежать на заданій кривій. Поняття паралельної кривої — узагальнення поняття паралельної прямої на випадок плоских кривих. Для параметрично заданої кривої, паралельна крива, що проходить на відстані від даної визначається рівняннями: ,. Або у векторній формі: , де матриця відповідає повороту вектора на 90° за годинниковою стрілкою. منحنيات متوازية، مصطلح يشير إلى المنحنيات التي لها نفس البعد فيما بينها. مثلا معلوم أي منحنى C ، ومطلوب رسم منحنى Γ موازي ل C. نرسم قطع مستقيمة عمودية على C وبطول ثابت. بتوصيل اطراف القطع نحصل على المنحنى المطلوب Γ. وحيث تكون الخطوط المتماسة للمنحنيين موازية لبعضها البعض. أطلق لايبنيز على C وΓ منحنيات متوازية إذا كانت C منحنى جبرية ، فكل ما يوازيها يكون كذلك. على سبيل المثال، المنحنى الموازي لقطع منحنى حلقي (بالايطالية Toroide)، لأنه يشبه الكفاف الظاهر لسطح حلقي مسقط على مستوى من مركز لانهائي. A parallel of a curve is the envelope of a family of congruent circles centered on the curve. It generalises the concept of parallel (straight) lines. It can also be defined as a curve whose points are at a constant normal distance from a given curve. These two definitions are not entirely equivalent as the latter assumes smoothness, whereas the former does not. In computer-aided design the preferred term for a parallel curve is offset curve. (In other geometric contexts, the term offset can also refer to translation.) Offset curves are important for example in numerically controlled machining, where they describe for example the shape of the cut made by a round cutting tool of a two-axis machine. The shape of the cut is offset from the trajectory of the cutter by a constant distance in the direction normal to the cutter trajectory at every point. In the area of 2D computer graphics known as vector graphics, the (approximate) computation of parallel curves is involved in one of the fundamental drawing operations, called stroking, which is typically applied to polylines or polybeziers (themselves called paths) in that field. Except in the case of a line or circle, the parallel curves have a more complicated mathematical structure than the progenitor curve. For example, even if the progenitor curve is smooth, its offsets may not be so; this property is illustrated in the top figure, using a sine curve as progenitor curve. In general, even if a curve is rational, its offsets may not be so. For example, the offsets of a parabola are rational curves, but the offsets of an ellipse or of a hyperbola are not rational, even though these progenitor curves themselves are rational. The notion also generalizes to 3D surfaces, where it is called an offset surface or parallel surface. Increasing a solid volume by a (constant) distance offset is sometimes called dilation. The opposite operation is sometimes called shelling. Offset surfaces are important in numerically controlled machining, where they describe the shape of the cut made by a ball nose end mill of a three-axis machine. Other shapes of cutting bits can be modelled mathematically by general offset surfaces. Eine Parallelkurve ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Konzepts einer Parallelen zu einer gegebenen Gerade in der euklidischen Ebene. Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten der Definition: * 1. Möglichkeit: Die Parallelkurve einer Kurve im Abstand d ist die Einhüllende der Kreise mit Radius d und Mittelpunkte auf der Kurve . * 2. Möglichkeit: Die Parallelkurve einer Kurve besteht aus den Punkten der Ebene, die auf der Normale eines Punktes von im Abstand d liegen. Die beiden Definitionen sind für glatte Kurven in einer (eventuell kleinen) Umgebung äquivalent. Die 1. Möglichkeit bietet den Vorteil, Parallelkurven mithilfe eines Zirkels und einem Kurvenlineal von Hand näherungsweise zu zeichnen. Die 2. Möglichkeit hat den Vorteil, die Kurve mit einem einfachen Computerprogramm zu zeichnen und geometrische Details (Tangente und Krümmung) zu berechnen. Eine Parallelkurve einer Kurve ist nur in den einfachen Fällen einer Gerade bzw. eines Kreises wieder eine Kurve vom gleichen Typ (Gerade bzw. Kreis). Im Allgemeinen hat eine Parallelkurve eine deutlich kompliziertere analytische Beschreibung als die gegebene Kurve (s. unten). Falls d zu groß gewählt wird, kann eine Parallelkurve selbst bei einer einfachen glatten Kurve Singularitäten (Spitzen) enthalten (s. Bild). Dies geschieht dann, wenn d gleich dem Krümmungskreisradius eines Kurvenpunktes ist, d. h. wenn die Parallelkurve die Evolute der gegebenen Kurve berührt (siehe 4. Bild). Man beachte, dass eine Parallelkurve nur im Fall einer Gerade durch eine Verschiebung der gegebenen Kurve entsteht. Bei einem Kreis entsteht eine Parallelkurve durch eine Streckung am Mittelpunkt. Im Allgemeinen gibt es keine derartig einfache Beziehung zwischen Kurve und Parallelkurve. Eine große Bedeutung haben Parallelkurven im CAD-Bereich, insbesondere im CAM (Computer-aided manufacturing). Parallelkurven werden benutzt, um Werkstücke mit vorgegebenen Konturen zu fräsen. Die Achse eines zylinderförmigen Fräskopfes bewegt sich dort auf einer Parallelkurve der Kontur des Werkstückes. Parallelkurven werden im CAD-Bereich meistens Offsetkurven genannt. Die Äquidistanten-Funktion wird von den meisten CAD-Systemen angeboten. Beispielsweise heißt bei AUTOCAD der deutsche Befehl „versetzen“. Damit kann man beispielsweise sehr schnell eine Dränage mit vorgegebenen Abstand rund um ein Haus festlegen. Die 1. Definition einer Parallelkurve (Einhüllende von Kreisen) spielt in der Darstellenden Geometrie zur Bestimmung des Umrisses einer Rohrfläche und bei der Abböschung einer horizontalen Kurve eine praktische Rolle. Beim Wankelmotor ist die Hüllkurve der Trochoide (Radkurve) des Rotors im Abstand d eine Äquidistante. Das Konzept der Parallelkurven lässt sich auch auf Flächen im euklidischen Raum übertragen. Diese Flächen heißen dann Parallelflächen oder Offsetflächen und sind die Einhüllenden einer 2-parametrigen Kugelschar. Als ein Objekt dazwischen lässt sich eine Rohrfläche auffassen. Sie ist die Einhüllende einer 1-parametrigen Kugelschar, d. h. die Kugelmittelpunkte liegen auf einer Kurve (im Raum). Allgemeiner werden höherdimensionale Parallelflächen als Äquidistante Hyperflächen bezeichnet. En géométrie, la parallèle d'une courbe est l'enveloppe d'une famille de cercles congruents centrés sur la courbe. Elle généralise le concept de lignes parallèles (droites). Elle peut également être définie comme une courbe dont les points sont à une constante d'une courbe donnée. Ces deux définitions ne sont pas entièrement équivalentes car la dernière suppose la régularité, tandis que la première ne le fait pas. Dans la conception assistée par ordinateur, le terme préféré pour une courbe parallèle est courbe décalée. (Dans d'autres contextes géométriques, le terme de décalage peut également faire référence à la translation). Les courbes de décalage sont importantes par exemple dans l'usinage à commande numérique, où elles décrivent par exemple la forme de la coupe effectuée par un outil de coupe rond d'une machine à deux axes. La forme de la coupe est décalée de la trajectoire de la fraise d'une distance constante dans la direction normale à la trajectoire de la fraise en chaque point. Dans le domaine de l'infographie 2D connue sous le nom de graphiques vectoriels, le calcul (approximatif) de courbes parallèles est impliqué dans l'une des opérations de dessin fondamentales, appelée trait, qui est généralement appliquée aux polylignes ou polybeziers (eux-mêmes appelés chemins) dans ce domaine. Sauf dans le cas d'une droite ou d'un cercle, les courbes parallèles ont une structure mathématique plus compliquée que la courbe génératrice. Par exemple, même si la courbe de référence est lisse, ses décalages peuvent ne pas l'être ; cette propriété est illustrée dans la figure du haut, en utilisant une courbe sinusoïdale comme courbe génératrice. En général, même si une courbe est algébrique, ses décalages peuvent ne pas l'être. Par exemple, les décalages d'une parabole sont des courbes algébriques, mais les décalages d'une ellipse ou d'une hyperbole ne sont pas algébrique, même si ces courbes génératrices elles-mêmes sont algébriques. La notion se généralise également aux surfaces 3D, où on parle alors de surface décalée ou surface parallèle. L'augmentation d'un volume solide par un décalage de distance (constant) est parfois appelée dilatation. L'opération inverse est parfois appelée bombardement. Les surfaces décalées sont importantes dans l'usinage à commande numérique, où elles décrivent la forme de la coupe effectuée par une fraise hémisphérique d'une machine à trois axes. D'autres formes de coupe peuvent être modélisées mathématiquement par des surfaces décalées générales. Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых. Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии от данной определяется уравнениями ,. Или в векторной форме: , где матрица соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

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