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- In functional analysis, a branch of mathematics, the strong operator topology, often abbreviated SOT, is the locally convex topology on the set of bounded operators on a Hilbert space H induced by the seminorms of the form , as x varies in H. Equivalently, it is the coarsest topology such that, for each fixed x in H, the evaluation map (taking values in H) is continuous in T. The equivalence of these two definitions can be seen by observing that a subbase for both topologies is given by the sets (where T0 is any bounded operator on H, x is any vector and ε is any positive real number). In concrete terms, this means that in the strong operator topology if and only if for each x in H. The SOT is stronger than the weak operator topology and weaker than the norm topology. The SOT lacks some of the nicer properties that the weak operator topology has, but being stronger, things are sometimes easier to prove in this topology. It can be viewed as more natural, too, since it is simply the topology of pointwise convergence. The SOT topology also provides the framework for the measurable functional calculus, just as the norm topology does for the continuous functional calculus. The linear functionals on the set of bounded operators on a Hilbert space that are continuous in the SOT are precisely those continuous in the weak operator topology (WOT). Because of this, the closure of a convex set of operators in the WOT is the same as the closure of that set in the SOT. This language translates into convergence properties of Hilbert space operators. For a complex Hilbert space, it is easy to verify by the polarization identity, that Strong Operator convergence implies Weak Operator convergence. (en)
- 数学の一分野である関数解析学における強作用素位相（きょうさようそいそう、英: strong operator topology; SOT）とは、ヒルベルト空間上の（あるいは、より一般にバナッハ空間上の）有界作用素全体の成す集合上の局所凸位相で、作用素 T を実数 へと写す評価写像がそのヒルベルト空間内の各ベクトル x について連続であるようなもののうち最弱のものを言う。 SOT は、弱作用素位相よりも、ノルム位相よりも弱い。 SOT は、弱作用素位相の備える良い性質をいくつか欠いているが、より強い位相であるため、この位相において様々な物事を証明することはしばしばより簡単なこととなる。さらにそれは自然なことで、なぜならば SOT は単純に作用素の点別収束の位相だからである。 ノルム位相がの枠組みを与えるように、SOT はの枠組みを与える。 ヒルベルト空間上の有界作用素からなる集合上の線型汎函数で、SOT において連続であるようなものは、WOT（弱作用素位相）においても連続である。このことより、WOT における作用素の凸集合の閉包は、SOT におけるそのような集合の閉包と等しい。 上述の用語は、ヒルベルト空間の作用素の収束の性質を言い換えるものであることにも注意されたい。特に、複素ヒルベルト空間に対しては、偏極公式により、強作用素収束は弱作用素収束を含意することが容易に確かめられる。 (ja)
- Silna topologia operatorowa (mocna topologia operatorowa; także SOT od ang. strong operator topology) - dla pary przestrzeni Banacha E i F topologia lokalnie wypukła w przestrzeni B(E, F) wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych z E do F wprowadzona przez rodzinę półnorm fx danych wzorami: gdzie x ∈ E. Silna topologia operatorowa jest więc niczym innym jak topologią zbieżności punktowej w B(E, F). (pl)
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- 数学の一分野である関数解析学における強作用素位相（きょうさようそいそう、英: strong operator topology; SOT）とは、ヒルベルト空間上の（あるいは、より一般にバナッハ空間上の）有界作用素全体の成す集合上の局所凸位相で、作用素 T を実数 へと写す評価写像がそのヒルベルト空間内の各ベクトル x について連続であるようなもののうち最弱のものを言う。 SOT は、弱作用素位相よりも、ノルム位相よりも弱い。 SOT は、弱作用素位相の備える良い性質をいくつか欠いているが、より強い位相であるため、この位相において様々な物事を証明することはしばしばより簡単なこととなる。さらにそれは自然なことで、なぜならば SOT は単純に作用素の点別収束の位相だからである。 ノルム位相がの枠組みを与えるように、SOT はの枠組みを与える。 ヒルベルト空間上の有界作用素からなる集合上の線型汎函数で、SOT において連続であるようなものは、WOT（弱作用素位相）においても連続である。このことより、WOT における作用素の凸集合の閉包は、SOT におけるそのような集合の閉包と等しい。 上述の用語は、ヒルベルト空間の作用素の収束の性質を言い換えるものであることにも注意されたい。特に、複素ヒルベルト空間に対しては、偏極公式により、強作用素収束は弱作用素収束を含意することが容易に確かめられる。 (ja)
- Silna topologia operatorowa (mocna topologia operatorowa; także SOT od ang. strong operator topology) - dla pary przestrzeni Banacha E i F topologia lokalnie wypukła w przestrzeni B(E, F) wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych z E do F wprowadzona przez rodzinę półnorm fx danych wzorami: gdzie x ∈ E. Silna topologia operatorowa jest więc niczym innym jak topologią zbieżności punktowej w B(E, F). (pl)
- In functional analysis, a branch of mathematics, the strong operator topology, often abbreviated SOT, is the locally convex topology on the set of bounded operators on a Hilbert space H induced by the seminorms of the form , as x varies in H. Equivalently, it is the coarsest topology such that, for each fixed x in H, the evaluation map (taking values in H) is continuous in T. The equivalence of these two definitions can be seen by observing that a subbase for both topologies is given by the sets (where T0 is any bounded operator on H, x is any vector and ε is any positive real number). (en)
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- Starke Operatortopologie (de)
- 強作用素位相 (ja)
- Silna topologia operatorowa (pl)
- Strong operator topology (en)
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