| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, un espai vectorial simplèctic és un espai vectorial V sobre un cos F (per exemple, els nombres reals R) equipat amb una forma bilineal simplèctica. Una forma bilineal simplèctica és
* una forma bilineal: una funció ω : V × V → F que és bilineal (és a dir, lineal en cada argument),
* alternada: es compleix que ω(v, v) = 0 per a tot v ∈ V, i
* : ω(u, v) = 0 per a tot v ∈ V implica que u és el vector nul. Si el cos subjacent té característica diferent de 2, l'alternança és equivalent a l'antisimetria. Si la característica és 2, l'alternança implica l'antisimetria, però no són equivalents. En aquest cas, tota forma simplèctica és una , però no a l'inrevés. Si es fixa una base, es pot representar ω mitjançant una matriu. Les condicions anteriors es poden traduir, en termes matricials, en què aquesta matriu sigui antisimètrica, invertible i amb la diagonal zero. Cal notar que això no és el mateix que una matriu simplèctica, la qual representa una transformació simplèctica de l'espai. Si V té dimensió finita, llavors la seva dimensió ha de ser, necessàriament, un nombre parell, ja que tota matriu antisimètrica, amb diagonal zero i de dimensió senar té determinant zero. Observem que la condició que la diagonal sigui zero és redundant si la característica del cos és 2. (ca)
- Symplektický vektorový prostor je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry. Symplektický vektorový prostor formalizuje některé vlastnosti Hamiltonovy mechaniky a je analogický prostorům se skalárním součinem. (cs)
- Ein symplektischer Vektorraum oder kurz symplektischer Raum ist in der linearen Algebra ein Vektorraum zusammen mit einer symplektischen Form, das heißt einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform. Während die symmetrische Bilinearform „Skalarprodukt“ die Länge von Vektoren misst, betrifft die alternierende Bilinearform die Flächengröße des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms. (de)
- En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même. Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique. Ces dernières sont le cadre naturel de la mécanique hamiltonienne. Un espace vectoriel préhilbertien complexe est automatiquement muni d'une structure symplectique en tant qu'espace vectoriel réel. En termes de variétés, l'analogue est la notion de variété kählérienne. (fr)
- En matemáticas, se llama espacio vectorial simpléctico a un espacio vectorial junto con una forma bilineal antisimétrica no degenerada, lo que da lugar a una estructura geométrica análoga a la planteada en los espacios Euclideos mediante las formas bilineales simétricas positivas y no degeneradas, pero con características propias derivadas de la antisimetría. De forma más precisa, consiste en una pareja , donde es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo (normalmente o ) y es una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Esto último quiere decir que debe ser
* Bilineal: para vectores y para
* Antisimétrica: para vectores
* No degenerada: si se tiene , entonces . Puede demostrarse que esta última condición obliga a que el espacio vectorial sea de dimensión par. El estudio de estos espacios da lugar a la llamada geometría simpléctica lineal y a partir de ellos pueden definirse las llamadas estructuras simplécticas en variedades diferenciales, lo que da lugar a las variedades simplécticas, que son el objeto de estudio de la geometría simpléctica y de la topología simpléctica. El término simpléctico (del griego συµπλεκτικoς, "que entrelaza) fue utilizado por primera vez en los trabajos del matemático Hermann Weyl que lo introdujo con el fin de evitar confusiones con el término complejo (del mismo significado, pero con origen en el latín). (es)
- In mathematics, a symplectic vector space is a vector space V over a field F (for example the real numbers R) equipped with a symplectic bilinear form. A symplectic bilinear form is a mapping ω : V × V → F that is BilinearLinear in each argument separately;Alternatingω(v, v) = 0 holds for all v ∈ V; andNon-degenerateω(u, v) = 0 for all v ∈ V implies that u = 0. If the underlying field has characteristic not 2, alternation is equivalent to skew-symmetry. If the characteristic is 2, the skew-symmetry is implied by, but does not imply alternation. In this case every symplectic form is a symmetric form, but not vice versa. Working in a fixed basis, ω can be represented by a matrix. The conditions above are equivalent to this matrix being skew-symmetric, nonsingular, and hollow (all diagonal entries are zero). This should not be confused with a symplectic matrix, which represents a symplectic transformation of the space. If V is finite-dimensional, then its dimension must necessarily be even since every skew-symmetric, hollow matrix of odd size has determinant zero. Notice that the condition that the matrix be hollow is not redundant if the characteristic of the field is 2. A symplectic form behaves quite differently from a symmetric form, for example, the scalar product on Euclidean vector spaces. (en)
- 선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 영어: symplectic vector space)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다. (ko)
- In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione tale che, per ogni in e per ogni in per ogni implica In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica. Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia la matrice di dimensione , con ,che rappresenta la forma bilineare in un qualche base, ovvero Allora, dal momento che la forma è antisimmetrica anche lo sarà e dunque dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che è invertibile vale , e quindi dalla precedente espressione si evince che , e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari. (it)
- 数学において、斜交ベクトル空間（しゃこうべくとるくうかん、英: symplectic vector space）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（しゃこうけいしき、英: symplectic form シンプレクティック形式とも）と呼ばれる非退化反対称双線型形式 ω を備えたベクトル空間 V のことである。 斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 ω : V × V → R である。
* 反対称性： ∀u, v ∈ V ; ω(u, v) = −ω(v, u)
* 非退化性： {∀v ∈ V ; ω(u, v) = 0} ⇒ u = 0 V が有限次元の場合は、その次元は偶数でなければならない。というのも、奇数次の反対称行列は行列式が零となり、すなわち非退化条件を満たさないからである。 基底を固定して考えると、ω は行列で表現することができる。上記の 2 条件は、この行列が反対称かつ非特異でなければならないことを言っている。これは、斜交行列であることとは同一でない。斜交行列はこれと異なる概念である。非退化反対称双線形形式は、例えばユークリッド空間の内積の様な非退化「対称」双線形形式とはかなり異なった振る舞いをする。ユークリッド内積 g は任意の非零ベクトル v に対し g(v, v) > 0 を満たす一方、斜交形式 ω はその反対称性より ω(v, v) = 0 を満たす。 (ja)
- Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою , тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких і скалярів виконуються умови: Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів: (uk)
- Um espaço vetorial simplético é um espaço vetorial sobre um corpo junto com uma forma simplética, isto é, uma função com as seguintes propriedades: i) bilinearidade: é linear em cada argumento, isto é, para cada , é uma transformação linear de em , e analogamente para o segundo argumento. ii) alternância: para todo , . iii) não-degenerescência: se é tal que para todo , então . Note que, de ii), obtemos quaisquer que sejam e ; usando a bilinearidade, temos que , isto é, toda forma alternada é antissimétrica. A recíproca é verdadeira em corpos de característica diferente de . Se tem dimensão finita, a escolha de uma base ordenada nos dá uma matriz que é não-singular (pois é não-degenerada), antissimétrica e “oca” (hollow) i.e. todas as entradas da diagonal principal são nulas. Lema. Seja uma matriz quadrada com entradas num anel comutativo com identidade. Se é ímpar e é antissimétrica e oca, então . Prova. Como é oca, temos , onde é o conjunto de todas as permutações de sem pontos fixos. Como é ímpar, não há involuções – elementos com – em . Em , declare . Trata-se de uma relação de equivalência. Pela ausência de involuções, cada classe de equivalência tem exatamente dois elementos e é da forma . Logo, se é um conjunto de representantes, então , reunião disjunta. A antissimetria de finaliza a prova. Como corolário, obtemos que todo espaço simplético de dimensão finita possui dimensão par. Se e são espaços simpléticos (sobre o mesmo corpo), uma transformação será dita simplética (ou um simplectomorfismo) quando for linear e satisfizer . É imediato que se é simplética, então . Um isomorfismo de em é uma transformação simplética para a qual existe uma inversa também simplética. Não surpreendentemente, no caso dos espaços simpléticos, se uma transformação simplética é invertível, então é um isomorfismo. (pt)
- 数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足：
* 斜对称：ω(u, v) = −ω(v, u)，对所有 u, v ∈ V 成立；
* 非退化：如果 ω(u, v) = 0 对所有 v ∈ V 成立，那么 u = 0 。 取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的辛矩阵，辛矩阵表示空间的一个辛变换。 如果 V 是的那么维数必须为偶数，因为每个奇数阶斜对称矩阵的行列式为 0。 非退化斜对称双线性形式和非退化“对称”双线性形式，比如欧几里得向量空间的内积，的表现非常不同。欧几里得内积 g，对任何非零向量 v，均有 g(v,v) > 0 成立；但是一个辛形式 ω 满足 ω(v,v) = 0 。 (zh)
- Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой: Симплектическая форма обычно обозначается . В отличие от формы скалярного произведения, для которой , для симплектической формы всегда (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Symplektický vektorový prostor je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry. Symplektický vektorový prostor formalizuje některé vlastnosti Hamiltonovy mechaniky a je analogický prostorům se skalárním součinem. (cs)
- Ein symplektischer Vektorraum oder kurz symplektischer Raum ist in der linearen Algebra ein Vektorraum zusammen mit einer symplektischen Form, das heißt einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform. Während die symmetrische Bilinearform „Skalarprodukt“ die Länge von Vektoren misst, betrifft die alternierende Bilinearform die Flächengröße des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms. (de)
- 선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 영어: symplectic vector space)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다. (ko)
- Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою , тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких і скалярів виконуються умови: Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів: (uk)
- 数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足：
* 斜对称：ω(u, v) = −ω(v, u)，对所有 u, v ∈ V 成立；
* 非退化：如果 ω(u, v) = 0 对所有 v ∈ V 成立，那么 u = 0 。 取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的辛矩阵，辛矩阵表示空间的一个辛变换。 如果 V 是的那么维数必须为偶数，因为每个奇数阶斜对称矩阵的行列式为 0。 非退化斜对称双线性形式和非退化“对称”双线性形式，比如欧几里得向量空间的内积，的表现非常不同。欧几里得内积 g，对任何非零向量 v，均有 g(v,v) > 0 成立；但是一个辛形式 ω 满足 ω(v,v) = 0 。 (zh)
- Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой: Симплектическая форма обычно обозначается . В отличие от формы скалярного произведения, для которой , для симплектической формы всегда (ru)
- En matemàtiques, un espai vectorial simplèctic és un espai vectorial V sobre un cos F (per exemple, els nombres reals R) equipat amb una forma bilineal simplèctica. Una forma bilineal simplèctica és
* una forma bilineal: una funció ω : V × V → F que és bilineal (és a dir, lineal en cada argument),
* alternada: es compleix que ω(v, v) = 0 per a tot v ∈ V, i
* : ω(u, v) = 0 per a tot v ∈ V implica que u és el vector nul. (ca)
- En matemáticas, se llama espacio vectorial simpléctico a un espacio vectorial junto con una forma bilineal antisimétrica no degenerada, lo que da lugar a una estructura geométrica análoga a la planteada en los espacios Euclideos mediante las formas bilineales simétricas positivas y no degeneradas, pero con características propias derivadas de la antisimetría. De forma más precisa, consiste en una pareja , donde es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo (normalmente o ) y es una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Esto último quiere decir que debe ser (es)
- En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même. (fr)
- In mathematics, a symplectic vector space is a vector space V over a field F (for example the real numbers R) equipped with a symplectic bilinear form. A symplectic bilinear form is a mapping ω : V × V → F that is BilinearLinear in each argument separately;Alternatingω(v, v) = 0 holds for all v ∈ V; andNon-degenerateω(u, v) = 0 for all v ∈ V implies that u = 0. (en)
- 数学において、斜交ベクトル空間（しゃこうべくとるくうかん、英: symplectic vector space）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（しゃこうけいしき、英: symplectic form シンプレクティック形式とも）と呼ばれる非退化反対称双線型形式 ω を備えたベクトル空間 V のことである。 斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 ω : V × V → R である。
* 反対称性： ∀u, v ∈ V ; ω(u, v) = −ω(v, u)
* 非退化性： {∀v ∈ V ; ω(u, v) = 0} ⇒ u = 0 V が有限次元の場合は、その次元は偶数でなければならない。というのも、奇数次の反対称行列は行列式が零となり、すなわち非退化条件を満たさないからである。 (ja)
- In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione tale che, per ogni in e per ogni in per ogni implica In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica. Allora, dal momento che la forma è antisimmetrica anche lo sarà e dunque (it)
- Um espaço vetorial simplético é um espaço vetorial sobre um corpo junto com uma forma simplética, isto é, uma função com as seguintes propriedades: i) bilinearidade: é linear em cada argumento, isto é, para cada , é uma transformação linear de em , e analogamente para o segundo argumento. ii) alternância: para todo , . iii) não-degenerescência: se é tal que para todo , então . Note que, de ii), obtemos quaisquer que sejam e ; usando a bilinearidade, temos que , isto é, toda forma alternada é antissimétrica. A recíproca é verdadeira em corpos de característica diferente de . (pt)
|
