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- في الرياضيات وتطبيقاتها، معادلة ستورم-ليوفيل كلاسيكية (بالإنجليزية: Sturm–Liouville equation) هي معادلة تفاضلية عادية خطية من الدرجة الثانية سميت هذه النظرية هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات الفرنسيين جاك شارل فرانسوا ستورم وجوزيف ليوفيل. (ar)
- En matemàtiques, una equació de Sturm-Liouville, que pren el seu nom de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) i Joseph Liouville (1809-1882), és una equació diferencial lineal de segon ordre de la forma: on les funcions estan preestablertes, i en el cas més simple són contínues en un interval finit tancat . El problema generalment ve formulat amb condicions de frontera, és a dir, valors específics de i/o en els extrems . La funció és anomenada funció de densitat o funció de pes. El valor de λ no s'especifica en l'equació; el trobar els valors λ on hi hagi una solució no trivial de l'equació que satisfaci condicions de frontera es denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L). Tals valors de λ són anomenats valors propis del problema de S-L que planteja conjuntament amb les condicions de frontera. Les solucions corresponents són les funcions pròpies o els autovectors del problema. Sota suposicions normals en els coeficients de les funcions , aquestes indueixen operadors diferencials hermítics en algunes funcions definides per les condicions de frontera. La teoria resultant de l'existència i el comportament asimptòtic dels valors propis, la teoria qualitativa corresponent de les funcions pròpies i les seves funcions adequades completes es coneix com a teoria de Sturm-Liouville. Aquesta teoria és important en matemàtica aplicada, on els problemes S-L ocorren molt sovint, particularment en resoldre equacions diferencials parcials per separació de variables. (ca)
- Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung: wobei Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen , für die die Differentialgleichung auf dem Intervall eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen genügt. Führt man den linearen Operator der Form ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden. Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizientenfunktionen integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizientenfunktionen nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem. (de)
- En matemáticas, una ecuación de Sturm-Liouville, que toma su nombre de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma donde las funciones y son positivas y q(x) es real. En el caso más simple, estas funciones son continuas en un intervalo finito cerrado , en el que, por lo general, se definen unas condiciones de contorno o frontera, es decir, se concretan unos valores específicos que adoptan las funciones y en los extremos de dicho intervalo. La función es llamada función de densidad o función peso. El valor de no se especifica en la ecuación. De hecho, el encontrar los valores para los que exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L). Tales valores de son llamados valores propios o autovalores del problema de S-L que plantea (1) conjuntamente con las condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes son las funciones propias o los autovectores del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones , estas inducen operadores diferenciales hermíticos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completas se conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables. (es)
- En mathématiques, la théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. La fonction w(x) est souvent appelé fonction "poids" ou "densité". Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions aux limites reliant les valeurs , , et . Les solutions λ et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre de l'opérateur autoadjoint : dans un espace de Hilbert L2([a, b], w(x) dx) des fonctions de carré sommable sur l'intervalle [a,b], muni de la mesure w(x)dx et du produit scalaire défini par : . Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante. Cette théorie porte le nom des mathématiciens Charles Sturm (1803-1855) et Joseph Liouville (1809-1882) qui travaillèrent conjointement à sa mise en forme. (fr)
- In mathematics and its applications, classical Sturm–Liouville theory is the theory of real second-order linear ordinary differential equations of the form: for given coefficient functions p(x), q(x), and w(x) and an unknown function y of the free variable x. The function w(x), sometimes denoted r(x), is called the weight or density function. All homogeneous (i.e. with the right-hand side equal to zero) second-order linear ordinary differential equations can be reduced to this form. In the simplest case where all coefficients are continuous on the finite closed interval [a, b] and p has continuous derivative, a function y is called a solution if it is continuously differentiable on (a, b) and satisfies the equation at every point in (a, b). (In the case of more general p(x), q(x), w(x), the solutions must be understood in a weak sense.) In addition, y is typically required to satisfy some boundary conditions at a and b. Each such equation together with its boundary conditions constitutes a Sturm–Liouville problem. The value of λ is not specified in the equation: finding the λ for which there exists a non-trivial solution is part of the given Sturm–Liouville problem. Such values of λ, when they exist, are called the eigenvalues of the problem, and the corresponding solutions are the eigenfunctions associated to each λ. This terminology is because the solutions correspond to the eigenvalues and eigenfunctions of a Hermitian differential operator in an appropriate function space. Sturm–Liouville theory studies the existence and asymptotic behavior of the eigenvalues, the corresponding qualitative theory of the eigenfunctions and their completeness in the function space. This theory is important in applied mathematics, where Sturm–Liouville problems occur very frequently, particularly when dealing with separable linear partial differential equations. For example, in quantum mechanics, the one-dimensional time-independent Schrödinger equation is a Sturm–Liouville problem. A Sturm–Liouville problem is said to be regular if p(x), w(x) > 0, and p(x), p′(x), q(x), w(x) are continuous functions over the finite interval [a,b], and the problem has separated boundary conditions of the form: The main result of Sturm–Liouville theory states that, for the regular Sturm–Liouville problem,,:
* The eigenvalues λ1, λ2, λ3, ... are real and can be numbered so that
* Corresponding to each eigenvalue λn is a unique (up to constant multiple) eigenfunction yn(x) with exactly n − 1 zeros in (a,b), called the nth fundamental solution.
* The normalized eigenfunctions form an orthonormal basis under the w-weighted inner product in the Hilbert space . That is: where δmn is the Kronecker delta. The theory is named after Jacques Charles François Sturm (1803–1855) and Joseph Liouville (1809–1882). (en)
- 상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다. (ko)
- In matematica e nelle sue applicazioni, la teoria di Sturm-Liouville, dal nome dei matematici Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), è lo studio degli autovalori di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, detta equazione di Sturm-Liouville. Il problema di trovare gli autovalori per cui esiste una soluzione non banale dell'equazione di Sturm-Liouville soddisfacente le condizioni al contorno è detto problema di Sturm-Liouville o problema S-L. La teoria di Sturm-Liouville riguarda l'esistenza degli autovalori dell'equazione e il loro andamento asintotico che ne risulta. Si tratta di una teoria importante nella matematica applicata, dove i problemi S-L sono molto frequenti, in particolare quando si ha a che fare con equazioni alle derivate parziali lineari separabili. (it)
- スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、英: Sturm–Liouville equation）とは、 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式 (1) のことである。ここで y は関数であり、x は実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。 y = 0 (for ∀x )は任意のλに対しての解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。 予め決められた境界条件のもとで、自明でないの解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、y を固有関数と呼ぶ。 (ja)
- In de wiskundige analyse is een sturm-liouvilleprobleem een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval van de vorm: met de niet-triviale randvoorwaarden: Hierin zijn de functies en continu en reëelwaardig, met en . Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem: Er is altijd de triviale oplossing , maar voor sommige waarden van bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden met bijhorende eigenfuncties . De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:
* De eigenwaarden zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:met limiet
* De bij horende eigenfunctie is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact nulpunten in het interval .
* De eigenfuncties vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie over Sturm-Liouvilleproblemen hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestiek. (nl)
- Na teoria das equações diferenciais ordinárias, chama-se de equaçao de Sturm-Liouville, nome dado em homenagem aos matemáticos Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), uma equação diferencial real de segunda ordem da forma: As funções , , e são parâmetros e, no caso dito regular, são contínuas no intervalo fechado limitado . O problema é normalmente complementado com condições de contorno especificadas. A função é costumeiramente chamada de função "peso" ou função "densidade". O valor de pode não ser especificado na equação. Encontrar os valores de para os quais existe uma solução não trivial de (1) satisfazendo as condições de contorno constitui o problema de Sturm-Liouville. Tais são chamados de valores próprios ou autovalores. Utilizando coordenadas polares na equação do fluxo de velocidade de Madelung, obtemos uma equação de Sturm-Liouville. Aplicando condições adequadas, alguns problemas clássicos da Mecânica Quântica podem ser resolvidos. (pt)
- Sturm–Liouvilles problem är det generella problemet att lösa en given linjär differentialekvation av grad 2n (där n är ett heltal), i kombination med 2n Randvillkor. Även benämnt Egenvärdesproblem. Sturm–Liouvilles ekvation är en ordinär differentialekvation av andra graden: Där λ är en (okänd) konstant, och p(x), q(x) och w(x) är kända funktioner, där w(x) kallas antingen densitetsfunktionen eller viktningsfunktionen. Ekvationen har vanligen flera lösningar (som fås med lämpliga randvillkor), beroende på λ. Konstanterna λ kallas egenvärden, och de motsvarande lösningarna uλ(x) egenfunktioner. I de fall randvillkoren och w ,p och q uppfyller vissa krav så har också lösningarna till ekvationen viktiga matematiska egenskaper. (sv)
- Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке уравнения Штурма — Лиувилля удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям и значений параметра , при которых такие решения существуют. Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида (оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), — вещественный аргумент. Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на . Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция). (ru)
- Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.Розглянемо оператор ,перепишемо його у вигляді: та введемо додаткові умови. Надалі будемо вважати, що крім того, (uk)
- 在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程： 其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数，和y是以x为自由变量的未知的待求解函数，称为解；是一个未定常数。w(x)又记为r(x)，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。 在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数应满足以下性质：
* ；
* 均连续；
* 满足边界条件 及 （）。 只有一些恰当的能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。 施图姆-刘维尔理论提出：
* 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：；
* 对于每一个特徵值都有唯一的（已被归一化的）特徵函数，且在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
* 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间上有正交性和完备性，形成一组正交基：其中是克罗内克函数。 (zh)
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- في الرياضيات وتطبيقاتها، معادلة ستورم-ليوفيل كلاسيكية (بالإنجليزية: Sturm–Liouville equation) هي معادلة تفاضلية عادية خطية من الدرجة الثانية سميت هذه النظرية هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات الفرنسيين جاك شارل فرانسوا ستورم وجوزيف ليوفيل. (ar)
- 상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다. (ko)
- スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、英: Sturm–Liouville equation）とは、 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式 (1) のことである。ここで y は関数であり、x は実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。 y = 0 (for ∀x )は任意のλに対しての解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。 予め決められた境界条件のもとで、自明でないの解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、y を固有関数と呼ぶ。 (ja)
- Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.Розглянемо оператор ,перепишемо його у вигляді: та введемо додаткові умови. Надалі будемо вважати, що крім того, (uk)
- En matemàtiques, una equació de Sturm-Liouville, que pren el seu nom de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) i Joseph Liouville (1809-1882), és una equació diferencial lineal de segon ordre de la forma: on les funcions estan preestablertes, i en el cas més simple són contínues en un interval finit tancat . El problema generalment ve formulat amb condicions de frontera, és a dir, valors específics de i/o en els extrems . La funció és anomenada funció de densitat o funció de pes. (ca)
- Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung: wobei Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen , für die die Differentialgleichung auf dem Intervall eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen genügt. Führt man den linearen Operator der Form (de)
- En matemáticas, una ecuación de Sturm-Liouville, que toma su nombre de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma El valor de no se especifica en la ecuación. De hecho, el encontrar los valores para los que exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga las condiciones de frontera se denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L). (es)
- En mathématiques, la théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. La fonction w(x) est souvent appelé fonction "poids" ou "densité". Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions aux limites reliant les valeurs , , et . Les solutions λ et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre de l'opérateur autoadjoint : . (fr)
- In mathematics and its applications, classical Sturm–Liouville theory is the theory of real second-order linear ordinary differential equations of the form: for given coefficient functions p(x), q(x), and w(x) and an unknown function y of the free variable x. The function w(x), sometimes denoted r(x), is called the weight or density function. All homogeneous (i.e. with the right-hand side equal to zero) second-order linear ordinary differential equations can be reduced to this form. The main result of Sturm–Liouville theory states that, for the regular Sturm–Liouville problem,,: (en)
- In matematica e nelle sue applicazioni, la teoria di Sturm-Liouville, dal nome dei matematici Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), è lo studio degli autovalori di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, detta equazione di Sturm-Liouville. Il problema di trovare gli autovalori per cui esiste una soluzione non banale dell'equazione di Sturm-Liouville soddisfacente le condizioni al contorno è detto problema di Sturm-Liouville o problema S-L. (it)
- In de wiskundige analyse is een sturm-liouvilleprobleem een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval van de vorm: met de niet-triviale randvoorwaarden: Hierin zijn de functies en continu en reëelwaardig, met en . Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem: Er is altijd de triviale oplossing , maar voor sommige waarden van bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden met bijhorende eigenfuncties . (nl)
- Na teoria das equações diferenciais ordinárias, chama-se de equaçao de Sturm-Liouville, nome dado em homenagem aos matemáticos Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), uma equação diferencial real de segunda ordem da forma: As funções , , e são parâmetros e, no caso dito regular, são contínuas no intervalo fechado limitado . O problema é normalmente complementado com condições de contorno especificadas. A função é costumeiramente chamada de função "peso" ou função "densidade". (pt)
- Sturm–Liouvilles problem är det generella problemet att lösa en given linjär differentialekvation av grad 2n (där n är ett heltal), i kombination med 2n Randvillkor. Även benämnt Egenvärdesproblem. Sturm–Liouvilles ekvation är en ordinär differentialekvation av andra graden: (sv)
- Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке уравнения Штурма — Лиувилля удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям и значений параметра , при которых такие решения существуют. Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида (оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), — вещественный аргумент. Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на . (ru)
- 在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程： 其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数，和y是以x为自由变量的未知的待求解函数，称为解；是一个未定常数。w(x)又记为r(x)，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。 在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数应满足以下性质：
* ；
* 均连续；
* 满足边界条件 及 （）。 只有一些恰当的能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。 施图姆-刘维尔理论提出： (zh)
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