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- En mathématiques, la théorie de l'homotopie stable est une partie de la théorie de l'homotopie concernée par les structures et tous les phénomènes qui subsistent après suffisamment d'applications du foncteur de suspension. Un résultat fondateur a été le théorème de suspension de Freudenthal, qui stipule que, étant donné tout espace pointé , les groupes d'homotopie se stabilisent pour suffisamment grand. En particulier, les groupes d'homotopie des sphères se stabilisent pour . Par exemple, Dans les deux exemples ci-dessus, toutes les applications entre groupes d'homotopie sont des applications du foncteur de suspension. Le premier exemple est un corollaire standard du théorème de Hurewicz, montrant que . Dans le deuxième exemple la fibration de Hopf, , est envoyée sur sa suspension , ce qui implique . L'article sur les groupes d'homotopie des sphères détaille les résultats connus sur ces groupes. L'un des problèmes les plus importants de la théorie de l'homotopie stable est le calcul de groupes d'homotopie stables de sphères. Selon le théorème de Freudenthal, dans la plage stable, les groupes d'homotopie des sphères ne dépendent pas des dimensions spécifiques des sphères dans le domaine et la cible, mais de la différence de ces dimensions. Le groupe est abélien pour tout k. Jean-Pierre Serre à démontré que ces groupes sont finis pour . En fait, la composition fait de un anneau gradué. Un théorème de stipule que tous les éléments de gradation positive dans cet anneau sont nilpotents. Ainsi, les seuls idéaux premiers sont les nombres premiers dans . Ainsi la structure de est assez compliquée. Dans le traitement moderne de la théorie de l'homotopie stable, les espaces sont généralement remplacés par des spectres. (fr)
- In mathematics, stable homotopy theory is the part of homotopy theory (and thus algebraic topology) concerned with all structure and phenomena that remain after sufficiently many applications of the suspension functor. A founding result was the Freudenthal suspension theorem, which states that given any pointed space , the homotopy groups stabilize for sufficiently large. In particular, the homotopy groups of spheres stabilize for . For example, In the two examples above all the maps between homotopy groups are applications of the suspension functor. The first example is a standard corollary of the Hurewicz theorem, that . In the second example the Hopf map, , is mapped to its suspension , which generates . One of the most important problems in stable homotopy theory is the computation of stable homotopy groups of spheres. According to Freudenthal's theorem, in the the homotopy groups of spheres depend not on the specific dimensions of the spheres in the domain and target, but on the difference in those dimensions. With this in mind the k-th stable stem is . This is an abelian group for all k. It is a theorem of Jean-Pierre Serre that these groups are finite for . In fact, composition makes into a graded ring. A theorem of Goro Nishida states that all elements of positive grading in this ring are nilpotent. Thus the only prime ideals are the primes in . So the structure of is quite complicated. In the modern treatment of stable homotopy theory, spaces are typically replaced by spectra. Following this line of thought, an entire stable homotopy category can be created. This category has many nice properties that are not present in the (unstable) homotopy category of spaces, following from the fact that the suspension functor becomes invertible. For example, the notion of cofibration sequence and fibration sequence are equivalent. (en)
- 数学において、安定ホモトピー理論とは、ホモトピー理論（したがって代数的トポロジー）の一分野で、懸垂を複数回適用した後に残る構造や現象を考える分野である。主な結果として、 があり、これは、任意の点付き空間 が与えられたとき、ホモトピー群 が十分に大きいで安定するということを述べている。特に、 は で安定する 。例えば、 上の2つの例では、ホモトピー群の間のすべての写像は懸垂の応用である。最初の例は、フレヴィッツの定理、 の結果である。 2番目の例は、 、その懸垂 への写像で、 を生成する。 (ja)
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- 数学において、安定ホモトピー理論とは、ホモトピー理論（したがって代数的トポロジー）の一分野で、懸垂を複数回適用した後に残る構造や現象を考える分野である。主な結果として、 があり、これは、任意の点付き空間 が与えられたとき、ホモトピー群 が十分に大きいで安定するということを述べている。特に、 は で安定する 。例えば、 上の2つの例では、ホモトピー群の間のすべての写像は懸垂の応用である。最初の例は、フレヴィッツの定理、 の結果である。 2番目の例は、 、その懸垂 への写像で、 を生成する。 (ja)
- In mathematics, stable homotopy theory is the part of homotopy theory (and thus algebraic topology) concerned with all structure and phenomena that remain after sufficiently many applications of the suspension functor. A founding result was the Freudenthal suspension theorem, which states that given any pointed space , the homotopy groups stabilize for sufficiently large. In particular, the homotopy groups of spheres stabilize for . For example, . (en)
- En mathématiques, la théorie de l'homotopie stable est une partie de la théorie de l'homotopie concernée par les structures et tous les phénomènes qui subsistent après suffisamment d'applications du foncteur de suspension. Un résultat fondateur a été le théorème de suspension de Freudenthal, qui stipule que, étant donné tout espace pointé , les groupes d'homotopie se stabilisent pour suffisamment grand. En particulier, les groupes d'homotopie des sphères se stabilisent pour . Par exemple, (fr)
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