| dbo:abstract
|
- Singulární řešení ys(x) obyčejné diferenciální rovnice je řešení, které je singularitou, nebo takové, u jehož počáteční úlohy (některými autory nazývané Cauchyho problém) je v některém bodě řešení porušena jednoznačnost. Řešení může být singulární na množině tvořené jediným bodem i celou reálnou osou. Řešení, u kterých dochází k porušení jednoznačnosti, nemusí být singulární funkce. V některých případech se termín singulární řešení používá pouze pro taková řešení, u nichž je porušena jednoznačnost počáteční úlohy v každém bodě křivky. Singulární řešení v tomto silnějším smyslu je často dáno tečnou ke každému řešení z rodiny řešení. Tečnou míníme bod x, ve kterém ys(x) = yc(x) a y's(x) = y'c(x), kde yc je řešení z rodiny řešení parametrizovaných parametrem c. To znamená, že singulární řešení je rodiny řešení. Diferenciální rovnice má obvykle singulární řešení tehdy, když se v ní vyskytuje dělení výrazem, který může nabývat nulové hodnoty. Proto při řešení diferenciální rovnice, v níž se vyskytuje dělení nějakým výrazem, musíme zkontrolovat, co se stane, když se tento výraz rovná nule, a zda to nevede k singulárnímu řešení. Pro vyloučení existence singulárního řešení lze použít Picardovu–Lindelöfovu větu, která dává postačující podmínky pro existenci jednoznačného řešení. Další věty, jako například Peanova existenční věta, dávají postačující podmínky pro existenci řešení bez záruky jednoznačnosti, což může umožnit existenci singulárního řešení. (cs)
- A singular solution ys(x) of an ordinary differential equation is a solution that is singular or one for which the initial value problem (also called the Cauchy problem by some authors) fails to have a unique solution at some point on the solution. The set on which a solution is singular may be as small as a single point or as large as the full real line. Solutions which are singular in the sense that the initial value problem fails to have a unique solution need not be singular functions. In some cases, the term singular solution is used to mean a solution at which there is a failure of uniqueness to the initial value problem at every point on the curve. A singular solution in this stronger sense is often given as tangent to every solution from a family of solutions. By tangent we mean that there is a point x where ys(x) = yc(x) and y's(x) = y'c(x) where yc is a solution in a family of solutions parameterized by c. This means that the singular solution is the envelope of the family of solutions. Usually, singular solutions appear in differential equations when there is a need to divide in a term that might be equal to zero. Therefore, when one is solving a differential equation and using division one must check what happens if the term is equal to zero, and whether it leads to a singular solution. The Picard–Lindelöf theorem, which gives sufficient conditions for unique solutions to exist, can be used to rule out the existence of singular solutions. Other theorems, such as the Peano existence theorem, give sufficient conditions for solutions to exist without necessarily being unique, which can allow for the existence of singular solutions. (en)
- Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее. (ru)
- Singulární řešení ys(x) obyčejné diferenciální rovnice je řešení, které je singularitou, nebo takové, u jehož počáteční úlohy (některými autory nazývané Cauchyho problém) je v některém bodě řešení porušena jednoznačnost. Řešení může být singulární na množině tvořené jediným bodem i celou reálnou osou. Řešení, u kterých dochází k porušení jednoznačnosti, nemusí být singulární funkce. (cs)
- A singular solution ys(x) of an ordinary differential equation is a solution that is singular or one for which the initial value problem (also called the Cauchy problem by some authors) fails to have a unique solution at some point on the solution. The set on which a solution is singular may be as small as a single point or as large as the full real line. Solutions which are singular in the sense that the initial value problem fails to have a unique solution need not be singular functions. (en)
|
