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- En matemàtiques, el lema d'Euclides és un lema que enuncia una propietat fonamental dels nombres primers. Concretament diu que si un nombre primer p divideix el producte ab i no divideix a llavors divideix b. Per exemple, la multiplicació 133⋅143 = 19019. Com que 19019 és divisible per 19, un dels dos factors, o bé 133 o bé 143 ho ha de ser també. De fet, 133 és divisible per 19 perquè 133/19 = 7. Per als nombres compostos no es compleix aquesta propietat. Per exemple, 4 no divideix 6 i tampoc no divideix 10, però sí que divideix el seu producte 60 perquè 60/4 = 15. Aquesta propietat és clau per demostrar el teorema fonamental de l'aritmètica. En teoria d'anells aquesta propietat s'utilitza per a generalitzar el concepte de nombre primer en els i ideals primers d'un anell commutatiu qualsevol. El lema duu el nom del matemàtic grec Euclides perquè el primer lloc on apareix és a la proposició 30 del llibre vii dels Elements. (ca)
- Eukleidovo lemma je lemma v aritmetice a v teorii čísel, které říká, že pokud je nějaké prvočíslo dělitelem součinu celých čísel, pak dělí i nějaký z činitelů. Toto tvrzení se poprvé objevuje již v Eukleidových Základech (kniha VII, 30. postulát) a používá se například v důkaze Základní věty aritmetiky. (cs)
- في الرياضيات، توطئة أقليدس هي توطئة مهمة تتعلق بالقواسم والأعداد الأولية. (ar)
- Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw. der elementaren Zahlentheorie. Seine Aussage wird gewöhnlich zum Beweis des Fundamentalsatz der Arithmetik benutzt, genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es taucht schon in Euklids Elementen auf (Buch VII, Proposition 30). (de)
- El lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización de la proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lema asegura que: Esto puede escribirse en notación moderna como: La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que: En notación moderna El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética. (es)
- In algebra and number theory, Euclid's lemma is a lemma that captures a fundamental property of prime numbers, namely: Euclid's lemma — If a prime p divides the product ab of two integers a and b, then p must divide at least one of those integers a or b. For example, if p = 19, a = 133, b = 143, then ab = 133 × 143 = 19019, and since this is divisible by 19, the lemma implies that one or both of 133 or 143 must be as well. In fact, 133 = 19 × 7. If the premise of the lemma does not hold, i.e., p is a composite number, its consequent may be either true or false. For example, in the case of p = 10, a = 4, b = 15, composite number 10 divides ab = 4 × 15 = 60, but 10 divides neither 4 nor 15. This property is the key in the proof of the fundamental theorem of arithmetic. It is used to define prime elements, a generalization of prime numbers to arbitrary commutative rings. Euclid's Lemma shows that in the integers irreducible elements are also prime elements. The proof uses induction so it does not apply to all integral domains. (en)
- In uimhirtheoiric, leama tábhachtach is ea leama Euclid, maidir le roinnteoirí príomha. Is é ráiteas leama Euclid mar a leanas: bíodh slánuimhreacha iad a,b agus bíodh uimhir phríomha í p. Má , ansin or . Úsáidtear an leama seo i gcruthúnas bunteoirim na huimhríochta. (ga)
- En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c. Une généralisation est : Lemme de Gauss — Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme « évidente ». De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19). Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus[réf. nécessaire]. On notera par ailleurs que le lemme « de Gauss » apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVIIe siècle. Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps. (fr)
- Il lemma di Euclide è una generalizzazione della Proposizione 30 del Libro VII degli Elementi di Euclide. Il lemma afferma che Se un numero n, intero positivo, divide il prodotto di due numeri a e b, interi positivi, ed è coprimo con uno dei due (es. a), allora è divisore dell'altro (es. b). Utilizzando le usuali notazioni matematiche, ciò si può scrivere come segue: Se n|ab e MCD(n, a) = 1 allora n|b. La Proposizione 30, nota anche come primo teorema di Euclide, afferma: Se un numero primo divide il prodotto di due interi positivi, allora il numero primo divide almeno uno dei due interi positivi. Ciò si può scrivere come: Se p|ab allora p|a oppure p|b. Naturalmente, questo risultato si può dedurre immediatamente dal lemma di Euclide, in quanto un numero primo è coprimo con un numero intero se e solo se non lo divide. Spesso la Proposizione 30 viene chiamata lemma di Euclide in luogo della generalizzazione sopra citata. Un'applicazione molto comune del lemma di Euclide nei libri di testo di matematica è la dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica che, peraltro, può essere dimostrato senza farne uso. (it)
- 유클리드의 보조 정리(Euclid's Lemma)는 소수의 성질을 설명한 보조정리이다. (ko)
- ユークリッドの補題（ユークリッドのほだい、英: Euclid's lemma）またはユークリッドの第一定理（ユークリッドのだいいちていり、英: Euclid's first theorem）とは素数に関する基本的な性質について述べた次の補題である： ユークリッドの補題 ― 素数 p が 2 つの整数の積 ab を割り切るなら、その素数 p は a または b の少なくとも 1 つを割り切る。 この性質は整数論の基本定理を証明する鍵となる。 ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。 (ja)
- Het lemma van Euclides is een uitspraak over delers van het product van twee gehele getallen. Het lemma zegt: als van twee gehele getallen a en b het product ab deelbaar is door het priemgetal p, is p in ieder geval deler van een van beide, dus of van a of van b (of van beide). Formeel: Lemma betekent hulpstelling. Het lemma wordt in het bewijs van de hoofdstelling van de rekenkunde gebruikt. Het lemma is naar de Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië, ongeveer 265 - 200 v.Chr., genoemd. (nl)
- Lemat Euklidesa – uogólnienie twierdzenia 30 z VII księgi Elementów Euklidesa. Treść lematu jest następująca: Jeżeli liczba naturalna dzieli iloczyn dwóch pewnych liczb naturalnych i jest względnie pierwsza z jedną z nich, to jest dzielnikiem drugiej. Można to zapisać w następującej postaci: gdzie nwd oznacza największy wspólny dzielnik. (pl)
- Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида и является ключевой для доказательства основной теоремы арифметики. Современная формулировка: Пример. 19 — простое число, и оно делит Следовательно, один из сомножителей делится на 19, а именно: Если — не простое число, то теорема может не выполняться. Пример: делится на 20, однако ни один из сомножителей на 20 не делится. (ru)
- Лема Евкліда — важлива лема, яка стосується питань подільності та простих чисел. У своїй найпростішій формі, лема стверджує, що просте число, яке ділить без остачі добуток двох цілих чисел, ділить без остачі принаймні одне з цих цілих чисел окремо. Цей ключовий факт вимагає надзвичайно витонченого доведення (використовуючи теорему Безу), та є необхідним кроком у стандартному доведенні фундаментальної теореми арифметики. (uk)
- 在数论中，欧几里得引理是在欧几里得《几何原本》第七卷的命题30中提出的定理。這個引理說明： 如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。 可以这样表达这个引理： 如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那么 a|c。 命题30是这样说的： 如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。 如果 p|bc 那么 p|b 或者 p|c。 (zh)
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| rdfs:comment
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- Eukleidovo lemma je lemma v aritmetice a v teorii čísel, které říká, že pokud je nějaké prvočíslo dělitelem součinu celých čísel, pak dělí i nějaký z činitelů. Toto tvrzení se poprvé objevuje již v Eukleidových Základech (kniha VII, 30. postulát) a používá se například v důkaze Základní věty aritmetiky. (cs)
- في الرياضيات، توطئة أقليدس هي توطئة مهمة تتعلق بالقواسم والأعداد الأولية. (ar)
- Das Lemma von Euklid ist ein grundlegendes Lemma in der klassischen Arithmetik bzw. der elementaren Zahlentheorie. Seine Aussage wird gewöhnlich zum Beweis des Fundamentalsatz der Arithmetik benutzt, genauer zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Es taucht schon in Euklids Elementen auf (Buch VII, Proposition 30). (de)
- El lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización de la proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lema asegura que: Esto puede escribirse en notación moderna como: La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que: En notación moderna El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética. (es)
- In uimhirtheoiric, leama tábhachtach is ea leama Euclid, maidir le roinnteoirí príomha. Is é ráiteas leama Euclid mar a leanas: bíodh slánuimhreacha iad a,b agus bíodh uimhir phríomha í p. Má , ansin or . Úsáidtear an leama seo i gcruthúnas bunteoirim na huimhríochta. (ga)
- 유클리드의 보조 정리(Euclid's Lemma)는 소수의 성질을 설명한 보조정리이다. (ko)
- ユークリッドの補題（ユークリッドのほだい、英: Euclid's lemma）またはユークリッドの第一定理（ユークリッドのだいいちていり、英: Euclid's first theorem）とは素数に関する基本的な性質について述べた次の補題である： ユークリッドの補題 ― 素数 p が 2 つの整数の積 ab を割り切るなら、その素数 p は a または b の少なくとも 1 つを割り切る。 この性質は整数論の基本定理を証明する鍵となる。 ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。 (ja)
- Het lemma van Euclides is een uitspraak over delers van het product van twee gehele getallen. Het lemma zegt: als van twee gehele getallen a en b het product ab deelbaar is door het priemgetal p, is p in ieder geval deler van een van beide, dus of van a of van b (of van beide). Formeel: Lemma betekent hulpstelling. Het lemma wordt in het bewijs van de hoofdstelling van de rekenkunde gebruikt. Het lemma is naar de Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië, ongeveer 265 - 200 v.Chr., genoemd. (nl)
- Lemat Euklidesa – uogólnienie twierdzenia 30 z VII księgi Elementów Euklidesa. Treść lematu jest następująca: Jeżeli liczba naturalna dzieli iloczyn dwóch pewnych liczb naturalnych i jest względnie pierwsza z jedną z nich, to jest dzielnikiem drugiej. Można to zapisać w następującej postaci: gdzie nwd oznacza największy wspólny dzielnik. (pl)
- Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида и является ключевой для доказательства основной теоремы арифметики. Современная формулировка: Пример. 19 — простое число, и оно делит Следовательно, один из сомножителей делится на 19, а именно: Если — не простое число, то теорема может не выполняться. Пример: делится на 20, однако ни один из сомножителей на 20 не делится. (ru)
- Лема Евкліда — важлива лема, яка стосується питань подільності та простих чисел. У своїй найпростішій формі, лема стверджує, що просте число, яке ділить без остачі добуток двох цілих чисел, ділить без остачі принаймні одне з цих цілих чисел окремо. Цей ключовий факт вимагає надзвичайно витонченого доведення (використовуючи теорему Безу), та є необхідним кроком у стандартному доведенні фундаментальної теореми арифметики. (uk)
- 在数论中，欧几里得引理是在欧几里得《几何原本》第七卷的命题30中提出的定理。這個引理說明： 如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。 可以这样表达这个引理： 如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那么 a|c。 命题30是这样说的： 如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。 如果 p|bc 那么 p|b 或者 p|c。 (zh)
- En matemàtiques, el lema d'Euclides és un lema que enuncia una propietat fonamental dels nombres primers. Concretament diu que si un nombre primer p divideix el producte ab i no divideix a llavors divideix b. Per exemple, la multiplicació 133⋅143 = 19019. Com que 19019 és divisible per 19, un dels dos factors, o bé 133 o bé 143 ho ha de ser també. De fet, 133 és divisible per 19 perquè 133/19 = 7. Per als nombres compostos no es compleix aquesta propietat. Per exemple, 4 no divideix 6 i tampoc no divideix 10, però sí que divideix el seu producte 60 perquè 60/4 = 15. (ca)
- In algebra and number theory, Euclid's lemma is a lemma that captures a fundamental property of prime numbers, namely: Euclid's lemma — If a prime p divides the product ab of two integers a and b, then p must divide at least one of those integers a or b. For example, if p = 19, a = 133, b = 143, then ab = 133 × 143 = 19019, and since this is divisible by 19, the lemma implies that one or both of 133 or 143 must be as well. In fact, 133 = 19 × 7. (en)
- En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c. Une généralisation est : Lemme de Gauss — Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. (fr)
- Il lemma di Euclide è una generalizzazione della Proposizione 30 del Libro VII degli Elementi di Euclide. Il lemma afferma che Se un numero n, intero positivo, divide il prodotto di due numeri a e b, interi positivi, ed è coprimo con uno dei due (es. a), allora è divisore dell'altro (es. b). Utilizzando le usuali notazioni matematiche, ciò si può scrivere come segue: Se n|ab e MCD(n, a) = 1 allora n|b. La Proposizione 30, nota anche come primo teorema di Euclide, afferma: Se un numero primo divide il prodotto di due interi positivi, allora il numero primo divide almeno uno dei due interi positivi. (it)
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