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- في الرياضيات وبالتحديد في نظرية الأعداد التحليلية، دالة إيتا لدركليه (بالإنجليزية: Dirichlet eta function) معرفةً بمتسلسلة دركليه التالية، والتي تتقارب بالنسبة لأي عدد عقدي جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الصفر : دالة إيتا لدركليه تشبه دالة زيتا لريمان (ζ(s، من حيث الحدود اللائي يتم جمعن إلا أن إشارة هؤلاء الحدود تتناوب (مرة موجبة ومرة سالبة) في دالة إيتا بينما تبقى موجبة دائما بالنسبة إلى دالة زيتا لريمان. لهذا السبب، تدعى دالة إيتا لدركليه دالة زيتا المتناوبة. ويُرمز إليها أيضا ب (ζ*(s. العلاقة البسيطة أدناه صحيحة: (ar)
- En matemàtiques la funció eta de Dirichlet es defineix com on ζ és la funció zeta de Riemann. Malgrat tot, també pot ser usada per definir la funció zeta. Té una expressió a la sèrie de Dirichlet, vàlida per a tot nombre complex s amb part real positiva, donat per Si bé aquesta és convergent només per s amb part real positiva és per tot nombre complex, que permet definir la funció eta com una , i mostra que la funció zeta és amb un pol simple a s = 1. En forma equivalent es pot definir a la regió de part real positiva. (ca)
- Funkcio η (aŭ funkcio η de Dirichlet — funkcio difinita por kompleksaj argumentoj, kiel: kaj - funkcio ζ de Riemann. (eo)
- In mathematics, in the area of analytic number theory, the Dirichlet eta function is defined by the following Dirichlet series, which converges for any complex number having real part > 0: This Dirichlet series is the alternating sum corresponding to the Dirichlet series expansion of the Riemann zeta function, ζ(s) — and for this reason the Dirichlet eta function is also known as the alternating zeta function, also denoted ζ*(s). The following relation holds: Both Dirichlet eta function and Riemann zeta function are special cases of Polylogarithm. While the Dirichlet series expansion for the eta function is convergent only for any complex number s with real part > 0, it is Abel summable for any complex number. This serves to define the eta function as an entire function. (The above relation and the facts that the eta function is entire and together show the zeta function is meromorphic with a simple pole at s = 1, and possibly additional poles at the other zeros of the factor , although in fact these hypothetical additional poles do not exist.) Equivalently, we may begin by defining which is also defined in the region of positive real part ( represents the Gamma function). This gives the eta function as a Mellin transform. Hardy gave a simple proof of the functional equation for the eta function, which is From this, one immediately has the functional equation of the zeta function also, as well as another means to extend the definition of eta to the entire complex plane. (en)
- In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen -Funktion. Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta notiert; die Dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet. (de)
- En las matemáticas, en el área de la teoría analítica de números, la función eta de Dirichlet se define como donde ζ es la función zeta de Riemann. Sin embargo, también puede ser usada para definir la función zeta. Tiene una expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complejo s con parte real positiva, dado por Si bien esta es convergente sólo para s con parte real positiva, es sumable Abel para todo número complejo, lo que permite definir la función eta como una función completa, y muestra que la función zeta de Riemann es meromórfica con un polo simple en s = 1. En forma equivalente, se puede definir en la región de parte real positiva. Esto da por resultado la función eta como una transformada de Mellin. Hardy dio una demostración simple de la ecuación funcional para la función eta, que es A partir de esto, se puede obtener también en forma directa la ecuación funcional de la función eta, como así mismo encontrar otro modo de extender la definición de eta a todo el campo de los números complejos. (es)
- La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par où ζ est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1-21-s. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par , d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée. Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1, et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur 1-21-s. De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin. Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est . Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet). (fr)
- 수학의 해석적 수론 영역에서 디리클레 에타 함수(영어: Dirichlet eta function)는 실수 부분이 보다 큰 복소수에 수렴하는 다음의 디리클레 급수로 정의된다. 이러한 디리클레 급수는 리만 제타 함수 의 디리클레 급수 확장에 해당하는 번갈아 나타나는 합이 된다.이 때문에 디리클레 에타 함수는 교번 제타 함수라고도 하며 로도 표기한다. 다음의 관계가 성립한다. 에타 함수에 대한 디리클레 급수 확장은 실수가 보다 큰 임의의 복소수에 대해서만 수렴되지만 임의의 복소수에 대해서도 아벨 가산이 가능하다. 이것은 에타 함수를 전체 함수로 정의하는 역할을 한다. 그리고 위의 관계에서 영역으로부터 제타 함수가에서 단순한 극으로 변형되고, 의 극점을 나타낸다는 것을 보여준다. 동일하게, 감마 함수 또한 양의 실수 부분은 멜린 변환 (Mellin transform) 으로서 함수를 제공한다. 하디는 에타 함수에 대한 함수 방정식의 중요한 증명을 제시했다. 이로부터 함수의 함수 방정식을 즉시 가질 수 있을 뿐만 아니라 의 정의를 전체 복소 평면상으로 확장하는 또 다른 수단을 얻을 수 있게 한다. (ko)
- Per ogni s con la funzione eta di Dirichlet si definisce come: Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni (it)
- In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Dirichlet-èta-functie gedefinieerd door de onderstaande Dirichlet-reeks, die voor alle complexe getallen met reëel deel > 0 convergeert. Deze Dirichlet-reeks is de alternerende som die correspondeert met de Dirichlet-reeksontwikkeling van de Riemann-zèta-functie, ζ(s) - en om die reden staat de Dirichlet-èta-functie ook wel bekend als de alternerende zètafunctie, ook aangeduid met ζ*(s). De volgende eenvoudige relatie geldt: Dit verbindt de Riemann-zeta functie met de eta functie, en voorziet in een analytische voortzetting van de Riemann zeta functie tot het domein . Dit is een belangrijke stap, omdat het domein van de zeta functie daarmee uitgebreid wordt met de kritieke strook, waar alle niet-triviale nulpunten te vinden zijn die de kern vormen van de Riemann-hypothese. (nl)
- Em matemática, na área de teoria analítica dos números, a função eta de Dirichlet é definida como onde ζ é a função zeta de Riemann. No entanto, ela também pode ser utilizada para definir a função zeta. Ela possui uma expansão da Série de Dirichlet, válida para qualquer número complexo s com parte real positiva, dada por Enquanto esta converge apenas para s com parte real positiva, ela é uma somável no sentido de Abel para qualquer número complexo, que serve para definir a função eta como uma função inteira e mostra que a função zeta é meromorfa com um pólo simples em s = 1. (pt)
- Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako: gdzie – funkcja dzeta Riemanna. Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych: Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru: gdzie – funkcja gamma Eulera. (pl)
- Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0: Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller: Etafunktionen kan även definieras som integralen (sv)
- Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0: Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ*(s). Выполняются следующие равенства: ( — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина). И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма: Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0. (ru)
- 在数学的解析数论领域，狄利克雷η函数定义为： 其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函数也用常来定义黎曼ζ函數。对实部为正数的复数s，也可定义为狄利克雷级数表达式形式: 表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函數是一个极点在s = 1的单极点亚纯函数。 等价定义为： 定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个Mellin变换。 G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明： 因此能将其扩展到整个复数域。 (zh)
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- If is real and strictly positive, the series converges since the regrouped terms alternate in sign and decrease in absolute value to zero. According to a theorem on uniform convergence of Dirichlet series first proven by Cahen in 1894, the function is then analytic for , a region which includes the line
. Now we can define correctly, where the denominators are not zero,
or
Since is irrational, the denominators in the two definitions are not zero at the same time except for , and the function is thus well defined and analytic for except at . We finally get indirectly that when : (en)
- With some simple algebra performed on finite sums, we can write for any complex s
Now if and , the factor multiplying is zero, and
where denotes a special Riemann sum approximating the integral of over .
For i.e., , we get
Otherwise, if , then , which yields (en)
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- Direct proof of by Sondow (en)
- Indirect proof of following Widder (en)
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- في الرياضيات وبالتحديد في نظرية الأعداد التحليلية، دالة إيتا لدركليه (بالإنجليزية: Dirichlet eta function) معرفةً بمتسلسلة دركليه التالية، والتي تتقارب بالنسبة لأي عدد عقدي جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الصفر : دالة إيتا لدركليه تشبه دالة زيتا لريمان (ζ(s، من حيث الحدود اللائي يتم جمعن إلا أن إشارة هؤلاء الحدود تتناوب (مرة موجبة ومرة سالبة) في دالة إيتا بينما تبقى موجبة دائما بالنسبة إلى دالة زيتا لريمان. لهذا السبب، تدعى دالة إيتا لدركليه دالة زيتا المتناوبة. ويُرمز إليها أيضا ب (ζ*(s. العلاقة البسيطة أدناه صحيحة: (ar)
- En matemàtiques la funció eta de Dirichlet es defineix com on ζ és la funció zeta de Riemann. Malgrat tot, també pot ser usada per definir la funció zeta. Té una expressió a la sèrie de Dirichlet, vàlida per a tot nombre complex s amb part real positiva, donat per Si bé aquesta és convergent només per s amb part real positiva és per tot nombre complex, que permet definir la funció eta com una , i mostra que la funció zeta és amb un pol simple a s = 1. En forma equivalent es pot definir a la regió de part real positiva. (ca)
- Funkcio η (aŭ funkcio η de Dirichlet — funkcio difinita por kompleksaj argumentoj, kiel: kaj - funkcio ζ de Riemann. (eo)
- In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen -Funktion. Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta notiert; die Dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet. (de)
- 수학의 해석적 수론 영역에서 디리클레 에타 함수(영어: Dirichlet eta function)는 실수 부분이 보다 큰 복소수에 수렴하는 다음의 디리클레 급수로 정의된다. 이러한 디리클레 급수는 리만 제타 함수 의 디리클레 급수 확장에 해당하는 번갈아 나타나는 합이 된다.이 때문에 디리클레 에타 함수는 교번 제타 함수라고도 하며 로도 표기한다. 다음의 관계가 성립한다. 에타 함수에 대한 디리클레 급수 확장은 실수가 보다 큰 임의의 복소수에 대해서만 수렴되지만 임의의 복소수에 대해서도 아벨 가산이 가능하다. 이것은 에타 함수를 전체 함수로 정의하는 역할을 한다. 그리고 위의 관계에서 영역으로부터 제타 함수가에서 단순한 극으로 변형되고, 의 극점을 나타낸다는 것을 보여준다. 동일하게, 감마 함수 또한 양의 실수 부분은 멜린 변환 (Mellin transform) 으로서 함수를 제공한다. 하디는 에타 함수에 대한 함수 방정식의 중요한 증명을 제시했다. 이로부터 함수의 함수 방정식을 즉시 가질 수 있을 뿐만 아니라 의 정의를 전체 복소 평면상으로 확장하는 또 다른 수단을 얻을 수 있게 한다. (ko)
- Per ogni s con la funzione eta di Dirichlet si definisce come: Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni (it)
- Em matemática, na área de teoria analítica dos números, a função eta de Dirichlet é definida como onde ζ é a função zeta de Riemann. No entanto, ela também pode ser utilizada para definir a função zeta. Ela possui uma expansão da Série de Dirichlet, válida para qualquer número complexo s com parte real positiva, dada por Enquanto esta converge apenas para s com parte real positiva, ela é uma somável no sentido de Abel para qualquer número complexo, que serve para definir a função eta como uma função inteira e mostra que a função zeta é meromorfa com um pólo simples em s = 1. (pt)
- Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako: gdzie – funkcja dzeta Riemanna. Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych: Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru: gdzie – funkcja gamma Eulera. (pl)
- Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0: Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller: Etafunktionen kan även definieras som integralen (sv)
- 在数学的解析数论领域，狄利克雷η函数定义为： 其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函数也用常来定义黎曼ζ函數。对实部为正数的复数s，也可定义为狄利克雷级数表达式形式: 表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函數是一个极点在s = 1的单极点亚纯函数。 等价定义为： 定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个Mellin变换。 G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明： 因此能将其扩展到整个复数域。 (zh)
- In mathematics, in the area of analytic number theory, the Dirichlet eta function is defined by the following Dirichlet series, which converges for any complex number having real part > 0: This Dirichlet series is the alternating sum corresponding to the Dirichlet series expansion of the Riemann zeta function, ζ(s) — and for this reason the Dirichlet eta function is also known as the alternating zeta function, also denoted ζ*(s). The following relation holds: Both Dirichlet eta function and Riemann zeta function are special cases of Polylogarithm. Equivalently, we may begin by defining (en)
- En las matemáticas, en el área de la teoría analítica de números, la función eta de Dirichlet se define como donde ζ es la función zeta de Riemann. Sin embargo, también puede ser usada para definir la función zeta. Tiene una expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complejo s con parte real positiva, dado por Si bien esta es convergente sólo para s con parte real positiva, es sumable Abel para todo número complejo, lo que permite definir la función eta como una función completa, y muestra que la función zeta de Riemann es meromórfica con un polo simple en s = 1. (es)
- La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par où ζ est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1-21-s. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par , d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée. De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir . (fr)
- In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Dirichlet-èta-functie gedefinieerd door de onderstaande Dirichlet-reeks, die voor alle complexe getallen met reëel deel > 0 convergeert. Deze Dirichlet-reeks is de alternerende som die correspondeert met de Dirichlet-reeksontwikkeling van de Riemann-zèta-functie, ζ(s) - en om die reden staat de Dirichlet-èta-functie ook wel bekend als de alternerende zètafunctie, ook aangeduid met ζ*(s). De volgende eenvoudige relatie geldt: (nl)
- Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0: Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ*(s). Выполняются следующие равенства: ( — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина). И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма: (ru)
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- دالة إيتا لدركليه (ar)
- Funció eta de Dirichlet (ca)
- Dirichletsche Etafunktion (de)
- Funkcio η (eo)
- Función eta de Dirichlet (es)
- Dirichlet eta function (en)
- Fonction êta de Dirichlet (fr)
- Funzione eta di Dirichlet (it)
- 디리클레 에타 함수 (ko)
- Dirichlet-èta-functie (nl)
- Funkcja η (pl)
- Função eta de Dirichlet (pt)
- Эта-функция Дирихле (ru)
- Dirichlets etafunktion (sv)
- 狄利克雷η函数 (zh)
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