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- في التحليل العددي، فرعا من الرياضيات التطبيقية، طريقة النقطة المنتصف (بالإنجليزية: Midpoint method) هي طريقة أحادية الخطوات، هدفها حلحلة المعادلات التفاضلية العادية . (ar)
- In numerical analysis, a branch of applied mathematics, the midpoint method is a one-step method for numerically solving the differential equation, The explicit midpoint method is given by the formula the implicit midpoint method by for Here, is the step size — a small positive number, and is the computed approximate value of The explicit midpoint method is sometimes also known as the modified Euler method, the implicit method is the most simple collocation method, and, applied to Hamiltonian dynamics, a symplectic integrator. Note that the modified Euler method can refer to Heun's method, for further clarity see List of Runge–Kutta methods. The name of the method comes from the fact that in the formula above, the function giving the slope of the solution is evaluated at the midpoint between at which the value of is known and at which the value of needs to be found. A geometric interpretation may give a better intuitive understanding of the method (see figure at right). In the basic Euler's method, the tangent of the curve at is computed using . The next value is found where the tangent intersects the vertical line . However, if the second derivative is only positive between and , or only negative (as in the diagram), the curve will increasingly veer away from the tangent, leading to larger errors as increases. The diagram illustrates that the tangent at the midpoint (upper, green line segment) would most likely give a more accurate approximation of the curve in that interval. However, this midpoint tangent could not be accurately calculated because we do not know the curve (that is what is to be calculated). Instead, this tangent is estimated by using the original Euler's method to estimate the value of at the midpoint, then computing the slope of the tangent with . Finally, the improved tangent is used to calculate the value of from . This last step is represented by the red chord in the diagram. Note that the red chord is not exactly parallel to the green segment (the true tangent), due to the error in estimating the value of at the midpoint. The local error at each step of the midpoint method is of order , giving a global error of order . Thus, while more computationally intensive than Euler's method, the midpoint method's error generally decreases faster as . The methods are examples of a class of higher-order methods known as Runge–Kutta methods. (en)
- 応用数学、特に数値計算における中点法（ちゅうてんほう、英: midpoint method）は、一段階法（one-step method）による常微分方程式 の数値解析的な解法の一つである。 陽的中点法（explicit midpoint method）は以下の公式に基づく。 陰的中点法（implicit midpoint method）は以下の公式に基づく。 ここで 、 はステップ幅（step size）と呼ばれる微小量、、また は算出された の近似値。陽的中点法は修正オイラー法（modified Euler method）としても知られる。陰的中点法は最も単純な選点法であり、ハミルトン力学におけるシンプレクティック積分法に応用される。 この手法の名称は、上掲の公式において傾きを与える関数 の値が、 が既知の点 と未知の（これから算出したい）点 との中点 において計算されることに由来する。 幾何学的に解釈することで直感的な理解がしやすくなるかもしれない（上掲の図を参照）。基本的なオイラー法では、曲線の での接線を から計算し、次の値 を接線と垂線 との交点から求める。しかし、2階微分が と の間で常に正、または（上掲の図のように）常に負であれば、曲線は接線から逸れ続けて の増大とともに誤差は拡大する。この図からは、この区間においては中点における接線（上側の緑色の線分）のほうが、ほとんどいつもより正確な曲線の近似となることが見てとれる。この接線は、まず元のオイラー法を使って中点での を推定し、次に から傾きを計算することで求まる。この改良された接線を使って から の値が計算される（図中の赤色の弦）。中点での の推定に誤差が伴うため、赤色の弦は正確には緑色の線分（真の接線）と平行ではないことに注意する。 中点法における各ステップでの局所的な誤差は であり、大域的な誤差は となる。このように、中点法はオイラー法と比べて数値計算的に強力でありながら、 のときの誤差の収束は一般的により速い。 中点法は、ルンゲ＝クッタ法として知られるより高次の手法の一クラスである。 (ja)
- 응용수학의 분야인 수치 해석에서, 중간점 방법은 다음의 미분 방정식을 푸는 한 단계 크기의 방법이다. . 명시적인 중간점 방법은 다음의 식으로 주어진다. 암시적인 중간점 방법은 다음과 같다. 단계 이고, 는 단계 크기라고 불리는 작은 양수이다. 이고, 은 이다. 명시적 중간점 방법은 수정된 오일러 방법으로도 알려져 있으며, 암시적인 방법은 가장 간단한 이고, 해밀턴 역학과, 에도 적용된다. 이 방법의 이름은 솔루션의 기울기를 위의 식에서 함수가 의 알고 있는 값인 과 우리가 찾아야 하는 의 값인 의 중점인 에서 계산하는 것에서 지어졌다. 중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는 이며,전체 오차는 로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로 일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다. 이 방법은 룽게-쿠타 방법이라는 높은 차수의 방법의 예시 중 하나이다. (ko)
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- في التحليل العددي، فرعا من الرياضيات التطبيقية، طريقة النقطة المنتصف (بالإنجليزية: Midpoint method) هي طريقة أحادية الخطوات، هدفها حلحلة المعادلات التفاضلية العادية . (ar)
- 응용수학의 분야인 수치 해석에서, 중간점 방법은 다음의 미분 방정식을 푸는 한 단계 크기의 방법이다. . 명시적인 중간점 방법은 다음의 식으로 주어진다. 암시적인 중간점 방법은 다음과 같다. 단계 이고, 는 단계 크기라고 불리는 작은 양수이다. 이고, 은 이다. 명시적 중간점 방법은 수정된 오일러 방법으로도 알려져 있으며, 암시적인 방법은 가장 간단한 이고, 해밀턴 역학과, 에도 적용된다. 이 방법의 이름은 솔루션의 기울기를 위의 식에서 함수가 의 알고 있는 값인 과 우리가 찾아야 하는 의 값인 의 중점인 에서 계산하는 것에서 지어졌다. 중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는 이며,전체 오차는 로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로 일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다. 이 방법은 룽게-쿠타 방법이라는 높은 차수의 방법의 예시 중 하나이다. (ko)
- In numerical analysis, a branch of applied mathematics, the midpoint method is a one-step method for numerically solving the differential equation, The explicit midpoint method is given by the formula the implicit midpoint method by The name of the method comes from the fact that in the formula above, the function giving the slope of the solution is evaluated at the midpoint between at which the value of is known and at which the value of needs to be found. The methods are examples of a class of higher-order methods known as Runge–Kutta methods. (en)
- 応用数学、特に数値計算における中点法（ちゅうてんほう、英: midpoint method）は、一段階法（one-step method）による常微分方程式 の数値解析的な解法の一つである。 陽的中点法（explicit midpoint method）は以下の公式に基づく。 陰的中点法（implicit midpoint method）は以下の公式に基づく。 ここで 、 はステップ幅（step size）と呼ばれる微小量、、また は算出された の近似値。陽的中点法は修正オイラー法（modified Euler method）としても知られる。陰的中点法は最も単純な選点法であり、ハミルトン力学におけるシンプレクティック積分法に応用される。 この手法の名称は、上掲の公式において傾きを与える関数 の値が、 が既知の点 と未知の（これから算出したい）点 との中点 において計算されることに由来する。 中点法における各ステップでの局所的な誤差は であり、大域的な誤差は となる。このように、中点法はオイラー法と比べて数値計算的に強力でありながら、 のときの誤差の収束は一般的により速い。 中点法は、ルンゲ＝クッタ法として知られるより高次の手法の一クラスである。 (ja)
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