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- In mathematics, a supercommutative (associative) algebra is a superalgebra (i.e. a Z2-graded algebra) such that for any two homogeneous elements x, y we have where |x| denotes the grade of the element and is 0 or 1 (in Z2) according to whether the grade is even or odd, respectively. Equivalently, it is a superalgebra where the supercommutator always vanishes. Algebraic structures which supercommute in the above sense are sometimes referred to as skew-commutative associative algebras to emphasize the anti-commutation, or, to emphasize the grading, graded-commutative or, if the supercommutativity is understood, simply commutative. Any commutative algebra is a supercommutative algebra if given the trivial gradation (i.e. all elements are even). Grassmann algebras (also known as exterior algebras) are the most common examples of nontrivial supercommutative algebras. The supercenter of any superalgebra is the set of elements that supercommute with all elements, and is a supercommutative algebra. The even subalgebra of a supercommutative algebra is always a commutative algebra. That is, even elements always commute. Odd elements, on the other hand, always anticommute. That is, for odd x and y. In particular, the square of any odd element x vanishes whenever 2 is invertible: Thus a commutative superalgebra (with 2 invertible and nonzero degree one component) always contains nilpotent elements. A Z-graded anticommutative algebra with the property that x2 = 0 for every element x of odd grade (irrespective of whether 2 is invertible) is called an alternating algebra. (en)
- In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una Z2-algebra graduata) in cui per ogni coppia x e y di elementi omogenei si ha: In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore è sempre nullo dove con: e si sono indicate le gradazioni rispettivamente di x e y. La gradazione vale: a) 0 (zero) per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari; b) 1 (uno) per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari. La relazione può essere riscritta così: 1) un anticommutatore quando x e y sono due operatori fermionici, che soddisfano all'algebra di Grassmann; 2) un commutatore in tutti gli altri casi (ovvero x e y sono o due operatori bosonici oppure un operatore bosonico e uno fermionico). Ogni algebra commutativa (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'algebra di Grassmann (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra, è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa. (it)
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- In mathematics, a supercommutative (associative) algebra is a superalgebra (i.e. a Z2-graded algebra) such that for any two homogeneous elements x, y we have where |x| denotes the grade of the element and is 0 or 1 (in Z2) according to whether the grade is even or odd, respectively. Equivalently, it is a superalgebra where the supercommutator The even subalgebra of a supercommutative algebra is always a commutative algebra. That is, even elements always commute. Odd elements, on the other hand, always anticommute. That is, (en)
- In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una Z2-algebra graduata) in cui per ogni coppia x e y di elementi omogenei si ha: In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore è sempre nullo dove con: e si sono indicate le gradazioni rispettivamente di x e y. La gradazione vale: a) 0 (zero) per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari; b) 1 (uno) per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari. La relazione può essere riscritta così: 1) un anticommutatore 2) un commutatore (it)
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- Algebra supercommutativa (it)
- Supercommutative algebra (en)
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