In mathematics, the inequality of arithmetic and geometric means, or more briefly the AM–GM inequality, states that the arithmetic mean of a list of non-negative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list; and further, that the two means are equal if and only if every number in the list is the same. The simplest non-trivial case — i.e., with more than one variable — for two non-negative numbers x and y, is the statement that Extensions of the AM–GM inequality are available to include or generalized means.

Property Value
dbo:abstract
  • En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt. (ca)
  • V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná. (cs)
  • In mathematics, the inequality of arithmetic and geometric means, or more briefly the AM–GM inequality, states that the arithmetic mean of a list of non-negative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list; and further, that the two means are equal if and only if every number in the list is the same. The simplest non-trivial case — i.e., with more than one variable — for two non-negative numbers x and y, is the statement that with equality if and only if x = y. This case can be seen from the fact that the square of a real number is always non-negative (greater than or equal to zero) and from the elementary case (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 of the binomial formula: Hence (x + y)2 ≥ 4xy, with equality precisely when (x − y)2 = 0, i.e. x = y. The AM–GM inequality then follows from taking the positive square root of both sides and then dividing both sides by 2. For a geometrical interpretation, consider a rectangle with sides of length x and y, hence it has perimeter 2x + 2y and area xy. Similarly, a square with all sides of length √xy has the perimeter 4√xy and the same area as the rectangle. The simplest non-trivial case of the AM–GM inequality implies for the perimeters that 2x + 2y ≥ 4√xy and that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area. Extensions of the AM–GM inequality are available to include or generalized means. (en)
  • En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales. (es)
  • In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht. (de)
  • Analitikoki froga daiteke batezbesteko harmonikoaren (), batezbesteko geometrikoaren () eta batezbesteko aritmetiko sinplearen () artean erlazio hau betetzen dela: Berdintza kalkulurako erabiltzen diren datu guztiak berdinak direnean gertatzen da. (eu)
  • In matematica, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista; e inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso. Il caso non banale più semplice, per due numeri reali non negativi e , è la disuguaglianza: con l'uguaglianza se e solo se . Questo caso può essere visto dal fatto che il quadrato di un numero reale è sempre non negativo (maggiore o uguale a zero) e dal caso elementare della formula binomiale: Quindi , con l'uguaglianza precisamente quando , cioè . La disuguaglianza MA-MG segue poi applicando la radice quadrata ad ambo i membri. Per un'interpretazione geometrica, si consideri un rettangolo con lati di lunghezza e , perciò ha perimetro e area . In modo simile, un quadrato con il lato di lunghezza ha perimetro e la stessa area del rettangolo. Questo caso della disuguaglianza MA-MG implica per i perimetri che e pertanto che il quadrato ha il minore perimetro tra tutti i rettangoli di uguale area. Estensioni della disuguaglianza MA-MG sono disponibili per includere medie pesate o generalizzate. (it)
  • En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité. (fr)
  • 수학에서, 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic-geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다. (ko)
  • Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka. Oznacza to, że Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe. Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi. Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności: dla i bądź wersję całkową: dla całkowalnej i dodatniej w (pl)
  • A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica. Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então: onde , veja somatório. e , veja produtório. (pt)
  • Неравенство Коши (неравенство о средних) гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . (ru)
  • У математиці, нерівність середнього арифметичного та геометричного або коротше нерівність СА–СГ стверджує, що середнє арифметичне набору невід'ємних дійсних чисел більше ніж або дорівнює середньому геометричному цих же чисел; і далі, що ці середні дорівнюють одне одному тоді і лише тоді, коли усі числа в наборі однакові. Найпростіший нетривіальний випадок — тобто, з більш ніж з однією змінною — для двох невід'ємних чисел x і y, це таке твердження зі знаком рівності тоді і лише тоді, коли x = y. Цей випадок можна зрозуміти завдяки тому факту, що квадрат дійсного числа завжди невід'ємний і з елементарного випадку біноміальної формули (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2: Інакше кажучи, (x + y)2 ≥ 4xy, де рівність досягається саме тоді, коли (x − y)2 = 0, тобто x = y. Для геометричного тлумачення, розглянемо прямокутник зі сторонами довжин x і y, звідси його периметр 2x + 2y і площа xy. Подібно, квадрат з усіма сторонами довжини √xy має периметр 4√xy і ту ж саму площу, що і прямокутник. Найпростіший нетривіальний випадок нерівності СА-СГ для периметра дає 2x + 2y ≥ 4√xy і, що лише квадрат має найменший периметр серед усіх прямокутників рівної площі. Загальна нерівність СА-СГ відповідає тому факту, що натуральний логарифм, який переводить множення у додавання, є строго увігнутою функцією; використовуючи нерівність Єнсена отримуємо загальне доведення нерівності. Розширення нерівності СА-СГ можуть включати ваги або середні степеневі. (uk)
  • 算术-几何平均值不等式,簡稱算几不等式,是一个常见而基本的不等式,表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 个正实数,它们的算术平均数是,它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有: 等号成立当且仅当 。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式(或均值不等式),其實后者是一组更廣泛的不等式。 (zh)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 605011 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 35522 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 983354228 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdfs:comment
  • En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt. (ca)
  • V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná. (cs)
  • En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales. (es)
  • In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht. (de)
  • Analitikoki froga daiteke batezbesteko harmonikoaren (), batezbesteko geometrikoaren () eta batezbesteko aritmetiko sinplearen () artean erlazio hau betetzen dela: Berdintza kalkulurako erabiltzen diren datu guztiak berdinak direnean gertatzen da. (eu)
  • En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité. (fr)
  • 수학에서, 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic-geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다. (ko)
  • A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica. Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então: onde , veja somatório. e , veja produtório. (pt)
  • Неравенство Коши (неравенство о средних) гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . (ru)
  • 算术-几何平均值不等式,簡稱算几不等式,是一个常见而基本的不等式,表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 个正实数,它们的算术平均数是,它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有: 等号成立当且仅当 。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式(或均值不等式),其實后者是一组更廣泛的不等式。 (zh)
  • In mathematics, the inequality of arithmetic and geometric means, or more briefly the AM–GM inequality, states that the arithmetic mean of a list of non-negative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list; and further, that the two means are equal if and only if every number in the list is the same. The simplest non-trivial case — i.e., with more than one variable — for two non-negative numbers x and y, is the statement that Extensions of the AM–GM inequality are available to include or generalized means. (en)
  • In matematica, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista; e inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso. Il caso non banale più semplice, per due numeri reali non negativi e , è la disuguaglianza: Quindi , con l'uguaglianza precisamente quando , cioè . La disuguaglianza MA-MG segue poi applicando la radice quadrata ad ambo i membri. (it)
  • Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka. Oznacza to, że Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe. Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi. Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności: dla i (pl)
  • У математиці, нерівність середнього арифметичного та геометричного або коротше нерівність СА–СГ стверджує, що середнє арифметичне набору невід'ємних дійсних чисел більше ніж або дорівнює середньому геометричному цих же чисел; і далі, що ці середні дорівнюють одне одному тоді і лише тоді, коли усі числа в наборі однакові. Найпростіший нетривіальний випадок — тобто, з більш ніж з однією змінною — для двох невід'ємних чисел x і y, це таке твердження Інакше кажучи, (x + y)2 ≥ 4xy, де рівність досягається саме тоді, коли (x − y)2 = 0, тобто x = y. (uk)
rdfs:label
  • Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica (ca)
  • Nerovnost aritmetického a geometrického průměru (cs)
  • Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel (de)
  • Inequality of arithmetic and geometric means (en)
  • Desigualdad de las medias aritmética y geométrica (es)
  • Batezbestekoen arteko erlazio (eu)
  • Inégalité arithmético-géométrique (fr)
  • Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica (it)
  • 산술-기하 평균 부등식 (ko)
  • Nierówności między średnimi (pl)
  • Desigualdade das médias (pt)
  • Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (ru)
  • Нерівність середнього арифметичного та геометричного (uk)
  • 算术-几何平均值不等式 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of