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In mathematics, the Gibbs phenomenon, discovered by Henry Wilbraham and rediscovered by J. Willard Gibbs, is the peculiar manner in which the Fourier series of a piecewise continuously differentiable periodic function behaves at a jump discontinuity. The nth partial sum of the Fourier series has large oscillations near the jump, which might increase the maximum of the partial sum above that of the function itself. The overshoot does not die out as n increases, but approaches a finite limit. This sort of behavior was also observed by experimental physicists, but was believed to be due to imperfections in the measuring apparatus.

Property Value
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  • Gibbsův jev je problém, který se objevuje při zpracování signálu a v dalších odvětvích techniky, fyziky a matematiky: při aproximaci periodické funkce Fourierovou řadou se v místě aproximované funkce objeví překmit, jehož velikost se při zvětšování počtu členů Fourierovy řady nezmenšuje. Jev pozorovaný experimentálními fyziky, kteří se domnívali, že je způsoben nedokonalostí měřicích přístrojů, vysvětlil v roce 1848 Henry Wilbraham a v roce 1899 znovuobjevil Willard Gibbs Projevem Gibbsova jevu při zpracování signálu jsou prstencové artefakty (anglicky ringing artifacts). (cs)
  • Als Gibbs’sches Phänomen bezeichnet man in der Mathematik das Verhalten, dass bei abgebrochenen Fourierreihen und bei der Fourier-Transformation von stückweise stetigen, differenzierbaren Funktionen in der Umgebung von Sprungstellen sogenannte Überschwingungen auftreten. Diese Überschwingungen verschwinden auch dann nicht, wenn die endliche Anzahl von Termen zur Approximierung bzw. die Bandbreite auf beliebig hohe, aber endliche Werte erhöht wird, sondern weisen in der maximalen Auslenkung eine konstante, relative Auslenkung von ca. 9 % auf. Der Effekt wurde nach dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs benannt, der sich um 1898 mit der Analyse von Kippschwingungen beschäftigte. Die Bezeichnung stammt von dem Mathematiker Maxime Bôcher, der 1906 die praktisch motivierten Arbeiten von Gibbs mathematisch korrekt ausformulierte. Erste Arbeiten zu dem Effekt datieren allerdings auf den 50 Jahre früher tätigen englischen Mathematiker (1825–1883), dessen 1848 publizierte Arbeit zu der Zeit aber keine weitere Beachtung fand. Das Gibbs’sche Phänomen ist im Bereich der Signalverarbeitung einer von mehreren Effekten, die auch als Ringing bezeichnet werden. Das spezifische Gibbs’sche Phänomen sollte nicht mit dem allgemeinen Überschwingen von Signalen verwechselt werden. (de)
  • En mathématiques, lors de l'étude des séries de Fourier et des transformées de Fourier, il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un effet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité, lors de l'analyse d'une fonction dérivable par morceaux. (fr)
  • In mathematics, the Gibbs phenomenon, discovered by Henry Wilbraham and rediscovered by J. Willard Gibbs, is the peculiar manner in which the Fourier series of a piecewise continuously differentiable periodic function behaves at a jump discontinuity. The nth partial sum of the Fourier series has large oscillations near the jump, which might increase the maximum of the partial sum above that of the function itself. The overshoot does not die out as n increases, but approaches a finite limit. This sort of behavior was also observed by experimental physicists, but was believed to be due to imperfections in the measuring apparatus. This is one cause of ringing artifacts in signal processing. (en)
  • El fenómeno de Gibbs es la descripción del comportamiento que tiene la serie de Fourier asociada a una función definida a trozos periódica en una discontinuidad no evitable de salto finito. Su nombre se debe a J. Willard Gibbs, quien fue el primero en explicar este fenómeno, en 1899. (es)
  • In de wiskunde is het Gibbsverschijnsel, ontdekt in 1848 door en herontdekt door Josiah Willard Gibbs in 1899, de merkwaardige manier waarop de fourierreeks van een stuksgewijs continue differentieerbare periodieke functie zich gedraagt in een sprongpunt. De -de partiële som van de fourierreeks heeft grote schommelingen in de buurt van het sprongpunt, zodat het maximum van de partiële som uitstijgt boven de naburige functiewaarden. Deze zogenaamde overshoot sterft niet uit met toenemende , maar nadert naar een eindige limiet. Dit verschijnsel was ook waargenomen door experimenteel natuurkundigen, maar werd beschouwd als het gevolg van onvolkomenheden in de meetapparatuur. (nl)
  • ギブズ現象(ギブズげんしょう,英語: Gibbs phenomenon)は、区分的連続微分可能な周期関数のフーリエ級数において、その関数が第1種不連続 (discontinuity of the first kind 又は jump discontinuity) となる点付近では、フーリエ級数のn 次部分和が大きく振動して、部分和の最大値が関数自体の最大値より大きくなってしまうことがあるという振る舞いのことを指す(不連続点付近での収束の乱れ)。この超過量は、高調波の周波数(つまり、部分和の項数)が増えても無くならず、ある有限極限値に近付く。日本語表記として「ギブズの現象」、「ギブス現象」、「ギブスの現象」とされることもある。名称はジョシュア・ウィラード・ギブズにちなむ。 一般的には、大きさa の跳びを有する、区分的連続微分可能な関数の任意の第1種不連続点において、その関数のフーリエ級数の n 次部分和(n は非常に大きいとする)は、跳びが起こる一方の端では、約 0.089490... ×a だけ大きくなりすぎ、他方の端では、同じ分量だけ小さくなりすぎる。従って、フーリエ級数の部分和の「跳び」は、元の関数の跳びより約 18% 大きくなる。不連続点自体では、フーリエ級数の部分和は、跳びの中点に収束していく(これは、元の関数がこの点で如何なる値を実際に取るかとは無関係である)。 は、「ウィルブラハム=ギブズ定数」(Wilbraham-Gibbs constant) と呼ばれることもある。 ギブズ現象は、アルバート・マイケルソンにより、グラフ作成機において最初に発見された。マイケルソンは、1898年に、フーリエ級数を計算・再合成する機械的装置を開発したが、矩形波を装置に入力すると、グラフは、不連続点付近で行ったり来たりしようとするのだった。これは、発生すると、フーリエ係数の個数が無限大に近付いても持続するようだった。 この現象を始めて数学的に説明したのが、ジョシュア・ウィラード・ギブズだった。大まかな表現をするなら、この現象は、不連続関数を連続関数である正弦波関数および余弦波関数からなる級数で近似することに内在する困難の現れである。それは、また、ある関数のフーリエ係数が次数の増大に応じて減衰していく仕方が、その関数の滑らかさに従うという原則に、緊密に関係している。非常に滑らかな関数では、そのフーリエ係数は非常に急速に減衰する(そして、フーリエ級数は非常に急速に収束する)。これに対し、不連続関数では、フーリエ係数の減衰は非常に緩やかである(従って、フーリエ級数の収束は非常に緩慢である)。例えば、不連続である上記の矩形波のフーリエ係数 1, 1/3, 1/5, ... は、絶対収束級数ではない調和級数程度の速さでしか減衰しない。実際、上記のフーリエ級数は、変数x のほとんど全ての値で、条件収束するだけであることが分っている。このことは、ギブス現象が何故起こるのかということの一端を説明する。それは、絶対収束するフーリエ係数を有するフーリエ級数は、ワイエルシュトラスの判定法により一様収束するから、上述のような振動を起こすことはありえないからである。同じ理由で、不連続関数は、絶対収束するフーリエ係数を持つのは不可能である。何故なら、もしそうした関数が存在したとしたら、それは、連続関数列の一様極限になるので、連続関数でなければならなくなり、矛盾が生じるからである。 実際上は、ギブズ現象による問題は、フェイエール総和法または (Riesz summation) 等のフーリエ級数の総和法における平滑化を行ったり、を行ったりするなら、改善できる。また、フーリエ変換の代わりに、ウェーブレット変換を用いるなら、ギブズ現象は発生しなくなる。 (ja)
  • Il fenomeno di Gibbs si presenta quando viene ricostruito un segnale dalla serie di Fourier troncata. Prende il nome dal fisico statunitense Willard Gibbs. Data una funzione periodica che presenta dei punti di discontinuità di prima specie, il suo sviluppo tramite la serie di Fourier è formato da infiniti termini. Quando si ricostruisce il segnale, se questa serie viene troncata si ottengono delle sovraelongazioni del valore della funzione ricostruita nell'intorno del punto di discontinuità: all'aumentare del numero delle componenti della serie il valore di picco di detta sovraelongazione rimane costante, mentre le oscillazioni alle quali tali sovraelongazioni si riferiscono si avvicinano al punto di discontinuità. (it)
  • Em matemática, o fenômeno de Gibbs, descoberto por Henry Wilbraham e redescoberto por J. Willard Gibbs, é a forma peculiar que as séries de Fourier de funções periódicas de partes continuamente diferenciáveis tomam em pontos de descontinuidade de salto. A n-ésima soma parcial da série de Fourier oscila bastante perto do salto, o que pode fazer aumentar o valor máximo da soma parcial acima do valor da própria função original. Esse tipo de comportamento já tinha sido observado por físicos experimentais, mas acreditava-se que devia-se a imperfeições nos aparelhos de medição. Ao fazer uma convergência das somas parciais finitas da Série de Fourier de uma função encontra-se oscilações cujas amplitudes não convergem para zero. Isso se dá em razão da dificuldade de aproximar funções descontínuas a finitas séries de ondas senos e cossenos. (pt)
  • Efekt Gibbsa – charakterystyczny sposób, w jaki zachowuje się aproksymacja funkcji szeregiem Fouriera w punktach nieciągłości tej funkcji. Wykres nadmiernie oscyluje wokół tego punktu. Można przyjąć, że zjawisko to odzwierciedla trudność naśladowania nieciągłej funkcji przez skończone szeregi sinusów. Nazwa pochodzi od nazwiska Josiah Willarda Gibbsa. Efekt Gibbsa wyjaśnia powstawanie zakłóceń różnego rodzaju sygnałów i znajduje zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów (na przykład w cyfrowej obróbce obrazów). Między innymi wyjaśnia on przyczynę powstawania wysokoczęstotliwościowych oscylacji stanowiących zakłócenia sygnału przy zastosowaniu filtrów o prostokątnych oknach. (pl)
  • Gibbs fenomen beskriver hur diskontinuerliga signaler aldrig kan uttryckas som serier av harmoniska vågor utan att få översläng kring diskontinuiteterna. En fyrkantvåg kommer exempelvis alltid att slå över oavsett hur många vågor som används i Fourierserien. Fenomenet är namngivet efter den amerikanske fysikern J. Willard Gibbs. (sv)
  • 吉布斯现象(英語:Gibbs phenomenon),由于1848年最先提出,并由约西亚·吉布斯于1899年证明。在工程应用时常用有限正弦项正弦波叠加逼近原周期信号。所用的谐波次数N的大小决定逼近原波形的程度,N增加,逼近的精度不断改善。但是由于对于具有不连续点的周期信号会发生一种现象:当选取的傅里叶级数的项数N增加时,合成的波形虽然更逼近原函数,但在不连续点附近会出现一个固定高度的过冲,N越大,过冲的最大值越靠近不连续点,但其峰值并不下降,而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%,且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式。 (zh)
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  • En mathématiques, lors de l'étude des séries de Fourier et des transformées de Fourier, il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un effet de bord qui se produit à proximité d'une discontinuité, lors de l'analyse d'une fonction dérivable par morceaux. (fr)
  • El fenómeno de Gibbs es la descripción del comportamiento que tiene la serie de Fourier asociada a una función definida a trozos periódica en una discontinuidad no evitable de salto finito. Su nombre se debe a J. Willard Gibbs, quien fue el primero en explicar este fenómeno, en 1899. (es)
  • Il fenomeno di Gibbs si presenta quando viene ricostruito un segnale dalla serie di Fourier troncata. Prende il nome dal fisico statunitense Willard Gibbs. Data una funzione periodica che presenta dei punti di discontinuità di prima specie, il suo sviluppo tramite la serie di Fourier è formato da infiniti termini. Quando si ricostruisce il segnale, se questa serie viene troncata si ottengono delle sovraelongazioni del valore della funzione ricostruita nell'intorno del punto di discontinuità: all'aumentare del numero delle componenti della serie il valore di picco di detta sovraelongazione rimane costante, mentre le oscillazioni alle quali tali sovraelongazioni si riferiscono si avvicinano al punto di discontinuità. (it)
  • Gibbs fenomen beskriver hur diskontinuerliga signaler aldrig kan uttryckas som serier av harmoniska vågor utan att få översläng kring diskontinuiteterna. En fyrkantvåg kommer exempelvis alltid att slå över oavsett hur många vågor som används i Fourierserien. Fenomenet är namngivet efter den amerikanske fysikern J. Willard Gibbs. (sv)
  • 吉布斯现象(英語:Gibbs phenomenon),由于1848年最先提出,并由约西亚·吉布斯于1899年证明。在工程应用时常用有限正弦项正弦波叠加逼近原周期信号。所用的谐波次数N的大小决定逼近原波形的程度,N增加,逼近的精度不断改善。但是由于对于具有不连续点的周期信号会发生一种现象:当选取的傅里叶级数的项数N增加时,合成的波形虽然更逼近原函数,但在不连续点附近会出现一个固定高度的过冲,N越大,过冲的最大值越靠近不连续点,但其峰值并不下降,而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%,且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式。 (zh)
  • Als Gibbs’sches Phänomen bezeichnet man in der Mathematik das Verhalten, dass bei abgebrochenen Fourierreihen und bei der Fourier-Transformation von stückweise stetigen, differenzierbaren Funktionen in der Umgebung von Sprungstellen sogenannte Überschwingungen auftreten. Diese Überschwingungen verschwinden auch dann nicht, wenn die endliche Anzahl von Termen zur Approximierung bzw. die Bandbreite auf beliebig hohe, aber endliche Werte erhöht wird, sondern weisen in der maximalen Auslenkung eine konstante, relative Auslenkung von ca. 9 % auf. (de)
  • In mathematics, the Gibbs phenomenon, discovered by Henry Wilbraham and rediscovered by J. Willard Gibbs, is the peculiar manner in which the Fourier series of a piecewise continuously differentiable periodic function behaves at a jump discontinuity. The nth partial sum of the Fourier series has large oscillations near the jump, which might increase the maximum of the partial sum above that of the function itself. The overshoot does not die out as n increases, but approaches a finite limit. This sort of behavior was also observed by experimental physicists, but was believed to be due to imperfections in the measuring apparatus. (en)
  • In de wiskunde is het Gibbsverschijnsel, ontdekt in 1848 door en herontdekt door Josiah Willard Gibbs in 1899, de merkwaardige manier waarop de fourierreeks van een stuksgewijs continue differentieerbare periodieke functie zich gedraagt in een sprongpunt. De -de partiële som van de fourierreeks heeft grote schommelingen in de buurt van het sprongpunt, zodat het maximum van de partiële som uitstijgt boven de naburige functiewaarden. Deze zogenaamde overshoot sterft niet uit met toenemende , maar nadert naar een eindige limiet. (nl)
  • ギブズ現象(ギブズげんしょう,英語: Gibbs phenomenon)は、区分的連続微分可能な周期関数のフーリエ級数において、その関数が第1種不連続 (discontinuity of the first kind 又は jump discontinuity) となる点付近では、フーリエ級数のn 次部分和が大きく振動して、部分和の最大値が関数自体の最大値より大きくなってしまうことがあるという振る舞いのことを指す(不連続点付近での収束の乱れ)。この超過量は、高調波の周波数(つまり、部分和の項数)が増えても無くならず、ある有限極限値に近付く。日本語表記として「ギブズの現象」、「ギブス現象」、「ギブスの現象」とされることもある。名称はジョシュア・ウィラード・ギブズにちなむ。 一般的には、大きさa の跳びを有する、区分的連続微分可能な関数の任意の第1種不連続点において、その関数のフーリエ級数の n 次部分和(n は非常に大きいとする)は、跳びが起こる一方の端では、約 0.089490... ×a だけ大きくなりすぎ、他方の端では、同じ分量だけ小さくなりすぎる。従って、フーリエ級数の部分和の「跳び」は、元の関数の跳びより約 18% 大きくなる。不連続点自体では、フーリエ級数の部分和は、跳びの中点に収束していく(これは、元の関数がこの点で如何なる値を実際に取るかとは無関係である)。 (ja)
  • Efekt Gibbsa – charakterystyczny sposób, w jaki zachowuje się aproksymacja funkcji szeregiem Fouriera w punktach nieciągłości tej funkcji. Wykres nadmiernie oscyluje wokół tego punktu. Można przyjąć, że zjawisko to odzwierciedla trudność naśladowania nieciągłej funkcji przez skończone szeregi sinusów. Nazwa pochodzi od nazwiska Josiah Willarda Gibbsa. (pl)
  • Em matemática, o fenômeno de Gibbs, descoberto por Henry Wilbraham e redescoberto por J. Willard Gibbs, é a forma peculiar que as séries de Fourier de funções periódicas de partes continuamente diferenciáveis tomam em pontos de descontinuidade de salto. A n-ésima soma parcial da série de Fourier oscila bastante perto do salto, o que pode fazer aumentar o valor máximo da soma parcial acima do valor da própria função original. Esse tipo de comportamento já tinha sido observado por físicos experimentais, mas acreditava-se que devia-se a imperfeições nos aparelhos de medição. (pt)
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