In geometry, the Euler line, named after Leonhard Euler (), is a line determined from any triangle that is not equilateral. It is a central line of the triangle, and itpasses through several important points determined from the triangle, including the orthocenter, the circumcenter, the centroid, the Exeter point and the center of the nine-point circle of the triangle. The concept of a triangle's Euler line extends to the Euler line of other shapes, such as the quadrilateral and the tetrahedron.

Property Value
dbo:abstract
  • في الهندسة الرياضية، سمي مستقيم أويلر على اسم ليونهارد أويلر وهو مستقيم محدد في أي مثلث غير متساوي الأضلاع حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. في الشكل يظهر مستقيم أويلر باللون الأحمر حيث يمر من نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث (لون أزرق)، مركز الدائرة المحيطة (لون أخضر)، نقطة مركزية المثلث (لون برتقالي) ومركز دائرة النقاط التسعة (لون أحمر). حيث برهن أويلر في عام 1767 أن هذه النقاط الأربعة تقع على استقامة واحدة. وتتطابق هذه النقاط الأربعة في أي مثلث متساوي الأضلاع. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما. من النقاط الأخرى التي تقع على مستقيم أويلر هي نقطة دي لونغشام، ، النقطة الخارجية، والنقطة البعيدة. ولكن مركز الدائرة المحاطة الداخلية يقع على مستقيم أويلر في المثلث المتساوي الساقين فقط. (ar)
  • La Recta d'Euler d'un triangle és una recta en la que està situat l'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle, que són colineals. Rep aquest nom en honor al matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII. Per veure que això és això, ens referim a la figura. el baricentre G divideix les mitjanes d'un triangle en dos segments desiguals, sent el més gran dels segments el doble que el menor. Per exemple, a la figura tenim que AG = 2GF. Per tant, en l'homotècia el centre de la qual sigui el punt G i de raó -2, el punt A és la imatge del punt F, B la imatge del punt E i C la imatge del punt D. En aquesta homotècia, la mediatriu FO, del costat BC es transforma en la recta que conté a l'altura del vèrtex A: la recta AH (s'ha d'observar que les dues rectes són paral·leles, per ser perpendiculars al costat Bc del triangle). De manera similar, en aquesta homotècia, les altres dues mediatrius, EO i DO es transformen en les rectes que contenen les altures dels vèrtexs B i C respectivament. Les altures es tallen a l'ortocentre H del triangle i per tant, aquest és la imatge del circumcentre O del triangle, on es tallen les mediatrius dels costats del triangle. D'aquí que els tres punts, l'ortocentre H, el baricentre G i el circumcentre O estan alineats i es troben sobre la recta d'Euler e. També concluim així que la mida del segment HG és el doble de la mida del segment OG (ca)
  • Eulerova přímka je přímka nacházející se v každém nerovnostranném trojúhelníku. Tato přímka prochází průsečíkem jeho výšek (ortocentrum), těžištěm a středem opsané kružnice. Těžiště dělí spojnici průsečíku výšek (tj. ortocentra) a středu kružnice opsané v poměru 2:1. Na Eulerově přímce leží také střed kružnice devíti bodů, který je stejnolehlým obrazem středu kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = – 0,5. Rovnostranný trojúhelník Eulerovu přímku nemá, protože v něm všechny tyto čtyři body splývají. V rovnoramenném trojúhelníku je Eulerova přímka kolmá na základnu. Eulerova přímka je pojmenována po švýcarském matematikovi Leonhardu Eulerovi (1707-1783). (cs)
  • In geometry, the Euler line, named after Leonhard Euler (), is a line determined from any triangle that is not equilateral. It is a central line of the triangle, and itpasses through several important points determined from the triangle, including the orthocenter, the circumcenter, the centroid, the Exeter point and the center of the nine-point circle of the triangle. The concept of a triangle's Euler line extends to the Euler line of other shapes, such as the quadrilateral and the tetrahedron. (en)
  • La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo;​ incluye al punto de Exeter y al centro de la circunferencia de los nueve puntos notables de un triángulo escaleno. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765. La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?» H. S. M. Coxeter en relación al trabajo de Euler.​ Euler demostró que en cualquier triángulo el ortocentro, el circuncentro y el baricentro están alineados. Esta propiedad amplía su dominio de verdad para el centro de la circunferencia de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro de la circunferencia de los nueve puntos notables se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro , y la distancia desde el centroide del circuncentro es un medio que desde el baricentro hasta el ortocentro. Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps, el punto Schiffler, el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler solo para triángulos isósceles. (es)
  • Die eulersche Gerade oder Euler-Gerade ist eine spezielle Gerade am Dreieck, eine sogenannte Dreieckstransversale, auf der eine Reihe von ausgezeichneten Dreieckspunkten liegen, darunter der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Höhenschnittpunkt und der Mittelpunkt des Feuerbachkreises. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonhard Euler. Für das allgemeine Tetraeder im dreidimensionalen Raum gibt es den analogen Begriff (s. u.). (de)
  • La Retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo. Il fatto che i tre punti siano allineati è dimostrato dal teorema di Eulero. Detto G il baricentro, O il circocentro e H l'ortocentro, si ha che OH/GO=3. Infatti, il baricentro divide il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti una il doppio dell'altra. Numerosi altri punti notevoli di un triangolo: ad esempio il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo, detta cerchio dei nove punti, giace sulla retta di Eulero, e divide a metà il segmento che ha per estremi l'ortocentro ed il circocentro del triangolo. (it)
  • En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler désigne une ligne passant par plusieurs points remarquables de ce triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit. Cette notion s'étend aux quadrilatères et aux tétraèdres. (fr)
  • オイラー線(オイラーせん、Euler line )は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している。 (ja)
  • 기하학에서, 오일러 직선(Euler直線, 영어: Euler line)은 정삼각형이 아닌 삼각형의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 지나는 직선이다. 정삼각형에서는 이 네 중심이 일치하기 때문에 오일러 직선이 정의되지 않는다. (ko)
  • De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt aan Leonhard Euler toegeschreven . De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Ook het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt op de rechte van Euler. In barycentrische coördinaten gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie is de vergelijking van de rechte van Euler . Het lijnstuk OZH uit de rechte van Euler heeft lengte waarbij a, b en c de zijden zijn van driehoek ABC en R de straal is van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. (nl)
  • Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego. (pl)
  • Пряма́я Э́йлера — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.Важный объект геометрии треугольника — проходит также через центроид, точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, центр окружности девяти точек, эксетерскую точку. В связи с точками на прямой Эйлером в 1765 году установлено следующее соотношение: точка пересечения медиан делит отрезок между центром описанной окружности и ортоцентром в отношении 1:2 (). Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах: . Прямая Эйлера содержит в себе один из диаметров ортоцентроидной окружности.Прямая , проходящая через две точки Вектена, пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника.Ортоцентрическая ось (на которой находятся точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника), перпендикулярна прямой Эйлера. Точка Шиффлера — точка пересечения четырёх прямых Эйлера: заданного треугольника и трёх треугольников, образованных в связи с центром вписанной в него окружности : , и . (ru)
  • Em geometria, a reta de Euler (linha vermelha na imagem), em homenagem ao matemático Leonhard Euler, é a linha que passa pelo ortocentro (azul), o circuncentro (verde), e o baricentro (amarelo) dividindo o triângulo. Euler demonstrou que esses três pontos são sempre colineares, independentemente da natureza do triângulo. O centro do (também conhecido como círculo de 7 pontos) está no meio do segmento de reta que liga o ortocentro e o circuncentro, e a distância entre o baricentro ao circuncentro é igual à metade da distância entre o baricentro e o ortocentro. (pt)
  • 在平面几何中,欧拉线,或稱尤拉線(图中的红线)是指过三角形的垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线。莱昂哈德·欧拉也稱尤拉证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上,除了等腰三角形外。 (zh)
  • В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, та центр кола дев'яти точок трикутника. Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр. (uk)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 203622 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 17528 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 966788949 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:title
  • Euler Line (en)
dbp:urlname
  • EulerLine (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • In geometry, the Euler line, named after Leonhard Euler (), is a line determined from any triangle that is not equilateral. It is a central line of the triangle, and itpasses through several important points determined from the triangle, including the orthocenter, the circumcenter, the centroid, the Exeter point and the center of the nine-point circle of the triangle. The concept of a triangle's Euler line extends to the Euler line of other shapes, such as the quadrilateral and the tetrahedron. (en)
  • Die eulersche Gerade oder Euler-Gerade ist eine spezielle Gerade am Dreieck, eine sogenannte Dreieckstransversale, auf der eine Reihe von ausgezeichneten Dreieckspunkten liegen, darunter der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Höhenschnittpunkt und der Mittelpunkt des Feuerbachkreises. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonhard Euler. Für das allgemeine Tetraeder im dreidimensionalen Raum gibt es den analogen Begriff (s. u.). (de)
  • La Retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo. Il fatto che i tre punti siano allineati è dimostrato dal teorema di Eulero. Detto G il baricentro, O il circocentro e H l'ortocentro, si ha che OH/GO=3. Infatti, il baricentro divide il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti una il doppio dell'altra. Numerosi altri punti notevoli di un triangolo: ad esempio il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo, detta cerchio dei nove punti, giace sulla retta di Eulero, e divide a metà il segmento che ha per estremi l'ortocentro ed il circocentro del triangolo. (it)
  • En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler désigne une ligne passant par plusieurs points remarquables de ce triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit. Cette notion s'étend aux quadrilatères et aux tétraèdres. (fr)
  • オイラー線(オイラーせん、Euler line )は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している。 (ja)
  • 기하학에서, 오일러 직선(Euler直線, 영어: Euler line)은 정삼각형이 아닌 삼각형의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 지나는 직선이다. 정삼각형에서는 이 네 중심이 일치하기 때문에 오일러 직선이 정의되지 않는다. (ko)
  • Em geometria, a reta de Euler (linha vermelha na imagem), em homenagem ao matemático Leonhard Euler, é a linha que passa pelo ortocentro (azul), o circuncentro (verde), e o baricentro (amarelo) dividindo o triângulo. Euler demonstrou que esses três pontos são sempre colineares, independentemente da natureza do triângulo. O centro do (também conhecido como círculo de 7 pontos) está no meio do segmento de reta que liga o ortocentro e o circuncentro, e a distância entre o baricentro ao circuncentro é igual à metade da distância entre o baricentro e o ortocentro. (pt)
  • 在平面几何中,欧拉线,或稱尤拉線(图中的红线)是指过三角形的垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线。莱昂哈德·欧拉也稱尤拉证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上,除了等腰三角形外。 (zh)
  • В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, та центр кола дев'яти точок трикутника. Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр. (uk)
  • في الهندسة الرياضية، سمي مستقيم أويلر على اسم ليونهارد أويلر وهو مستقيم محدد في أي مثلث غير متساوي الأضلاع حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. في الشكل يظهر مستقيم أويلر باللون الأحمر حيث يمر من نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث (لون أزرق)، مركز الدائرة المحيطة (لون أخضر)، نقطة مركزية المثلث (لون برتقالي) ومركز دائرة النقاط التسعة (لون أحمر). حيث برهن أويلر في عام 1767 أن هذه النقاط الأربعة تقع على استقامة واحدة. وتتطابق هذه النقاط الأربعة في أي مثلث متساوي الأضلاع. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما. (ar)
  • La Recta d'Euler d'un triangle és una recta en la que està situat l'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle, que són colineals. Rep aquest nom en honor al matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII. També concluim així que la mida del segment HG és el doble de la mida del segment OG (ca)
  • Eulerova přímka je přímka nacházející se v každém nerovnostranném trojúhelníku. Tato přímka prochází průsečíkem jeho výšek (ortocentrum), těžištěm a středem opsané kružnice. Těžiště dělí spojnici průsečíku výšek (tj. ortocentra) a středu kružnice opsané v poměru 2:1. Na Eulerově přímce leží také střed kružnice devíti bodů, který je stejnolehlým obrazem středu kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = – 0,5. Rovnostranný trojúhelník Eulerovu přímku nemá, protože v něm všechny tyto čtyři body splývají. V rovnoramenném trojúhelníku je Eulerova přímka kolmá na základnu. (cs)
  • La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo;​ incluye al punto de Exeter y al centro de la circunferencia de los nueve puntos notables de un triángulo escaleno. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765. (es)
  • Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. (pl)
  • De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt aan Leonhard Euler toegeschreven . De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Ook het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt op de rechte van Euler. In barycentrische coördinaten gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie is de vergelijking van de rechte van Euler . Het lijnstuk OZH uit de rechte van Euler heeft lengte (nl)
  • Пряма́я Э́йлера — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.Важный объект геометрии треугольника — проходит также через центроид, точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, центр окружности девяти точек, эксетерскую точку. В связи с точками на прямой Эйлером в 1765 году установлено следующее соотношение: точка пересечения медиан делит отрезок между центром описанной окружности и ортоцентром в отношении 1:2 (). Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах: . (ru)
rdfs:label
  • مستقيم أويلر (ar)
  • Recta d'Euler (ca)
  • Eulerova přímka (cs)
  • Eulersche Gerade (de)
  • Euler line (en)
  • Recta de Euler (es)
  • Droite d'Euler (fr)
  • Retta di Eulero (it)
  • オイラー線 (ja)
  • 오일러 직선 (ko)
  • Rechte van Euler (nl)
  • Prosta Eulera (pl)
  • Reta de Euler (pt)
  • Прямая Эйлера (ru)
  • Лінія Ейлера (uk)
  • 歐拉線 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of