| dbo:abstract
|
- In mathematics, the axiom of power set is one of the Zermelo–Fraenkel axioms of axiomatic set theory. In the formal language of the Zermelo–Fraenkel axioms, the axiom reads: where y is the Power set of x, . In English, this says: Given any set x, there is a set such that, given any set z, this set z is a member of if and only if every element of z is also an element of x. More succinctly: for every set , there is a set consisting precisely of the subsets of . Note the subset relation is not used in the formal definition as subset is not a primitive relation in formal set theory; rather, subset is defined in terms of set membership, . By the axiom of extensionality, the set is unique. The axiom of power set appears in most axiomatizations of set theory. It is generally considered uncontroversial, although constructive set theory prefers a weaker version to resolve concerns about predicativity. (en)
- En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel. L'axiome affirme l'existence pour tout ensemble E, d'un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci. Un tel ensemble est nommé ensemble des parties de E, d'où le nom de l'axiome. Cet axiome s'écrit dans le langage formel de la théorie des ensembles, qui est un langage égalitaire du premier ordre avec la relation d'appartenance comme seul symbole primitif non logique.On peut tout d'abord définir formellement l'inclusion : A ⊂ B signifie ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) . L'axiome s'écrit alors : ∀E ∃P ∀A (A ∈ P ⇔ A ⊂ E). qui se lit en français : Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble A est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E. Il n'est pas nécessaire d'énoncer dans l'axiome l'unicité de cet ensemble P pour un E donné. Celle-ci est assurée par l'axiome d'extensionnalité. On peut donc parler de l'ensemble des parties de E, et on note celui-ci habituellement « P(E) » ou « » ; la lettre P gothique « » a été aussi beaucoup utilisée. (fr)
- En teoría de conjuntos, el axioma del conjunto potencia es un axioma que postula la existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto; es decir, del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. (es)
- 数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。 ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される： ここで P は A の冪集合 を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる： 任意の集合 A が与えられたとき、ある集合 が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が に属する。 部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。 冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。 (ja)
- 멱집합 공리(axiom of power set)는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 사용되는 멱집합에 대한 공리이다. 이 공리는 형식 언어로는 다음과 같다. 풀어서 설명하면 다음과 같다. 모든 집합 에 대해, 의 모든 부분집합 를 원소로 가지는 집합 가 존재한다. 를 통해 가 유일하다는 것을 보일 수 있고, 이 집합을 멱집합이라고 한다. (ko)
- In matematica, l'assioma dell'insieme potenza è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive: Oppure a parole: Dato un generico insieme A, esiste un insieme tale che, dato un generico insieme B, B è un elemento di se e solo se B è un sottoinsieme di A. Per l'assioma di estensionalità questo insieme è unico.Chiamiamo l'insieme insieme potenza di A. Talvolta questo insieme è indicato con il simbolo . Quindi l'essenza dell'assioma è: Ad ogni insieme corrisponde un insieme potenza. L'assioma dell'insieme potenza è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi. (it)
- Aksjomat zbioru potęgowego, AxP – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla. W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać: Można go również sformalizować inaczej: Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji . Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru istnieje zbiór którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnienie dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru . Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Oznacza się go Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: . (pl)
- Potensmängdsaxiomet är ett av de mängdteoretiska axiomen. Det är till exempel ett av axiomen i ZFC, d.v.s. Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet som är det dominerande sättet att axiomatisera mängdteori. Uttryckt med predikatlogikens formella språk lyder axiomet: Med ord kan axiomet uttryckas: För varje mängd A finns det en mängd B sådan att för varje mängd C gäller att C är ett element i B om och endast om det för varje mängd D gäller att om D är ett element i C så är D ett element i A. För att förstå detta axiom kan man först se att uttrycket inom parentes helt enkelt betyder att C är en delmängd till A, d.v.s. axiomet betyder helt enkelt att det för varje mängd A finns en mängd B vars element är delmängderna till A.Det följer av extensionalitetsaxiomet att denna mängd B är unik och man kallar B för potensmängden till A vilket betecknas PA eller P(A). Axiomet betyder alltså helt enkelt att: För varje mängd finns en potensmängd. (sv)
- Em matemática, o axioma da potência é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se: onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, . Em português, ele diz: Para todo conjunto A, existe um conjunto tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.) Pelo axioma da extensão este conjunto é único.Nós chamamos o conjunto de conjunto das partes e A. portanto, a essência desse significado é que todo conjunto possui um conjunto das partes. O Axioma da Potência aparece na maioria das axiomatizações da teoria dos conjuntos. Ele é geralmente considerado não controverso, porém a prefere uma versão mais fraca, para evitar preocupações com predicabilidade. (pt)
- 在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做： 或简写为： 换句话说： 给定任何集合A，有着一个集合使得，给定任何集合x，x是的成员，当且仅当x是A的子集。 通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合是A的幂集。所以这个公理的本质是： 所有集合都有一个幂集。 幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。 (zh)
- Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество , которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств данного множества ». Согласно теории множеств математически эта аксиома записывается так: В аксиоме булеана указан тип множеств (подмножества множества ), которые должны быть элементами образуемого множества . Вместе с тем, аксиома булеана не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества . Аксиому булеана можно вывести из следующих высказываний:
*
* Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы булеана, а второе — одна из конкретизаций . Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность булеана для каждого множества . Иначе говоря, можно доказать, что аксиома булеана равносильна высказыванию , что есть . (ru)
- Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину , яка складається з усіх власних і невласних підмножин даної множини ». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так: В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини ), які повинні бути елементами утвореної множини . Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритму знаходження всіх елементів утвореної множини . Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:
*
* Перше з цих висловлювань - один з наслідків аксіоми булеана, а друге - одна з конкретизацій схеми виділень. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність булеана для кожної множини . Інакше кажучи, можна довести, що аксіома булеана рівносильна висловлюванню: , що є . (uk)
|
| dbo:thumbnail
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 3308 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| dbp:id
| |
| dbp:title
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| dcterms:subject
| |
| rdf:type
| |
| rdfs:comment
|
- En teoría de conjuntos, el axioma del conjunto potencia es un axioma que postula la existencia del conjunto potencia de cualquier conjunto; es decir, del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. (es)
- 数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。 ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される： ここで P は A の冪集合 を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる： 任意の集合 A が与えられたとき、ある集合 が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が に属する。 部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。 冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。 (ja)
- 멱집합 공리(axiom of power set)는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 사용되는 멱집합에 대한 공리이다. 이 공리는 형식 언어로는 다음과 같다. 풀어서 설명하면 다음과 같다. 모든 집합 에 대해, 의 모든 부분집합 를 원소로 가지는 집합 가 존재한다. 를 통해 가 유일하다는 것을 보일 수 있고, 이 집합을 멱집합이라고 한다. (ko)
- 在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做： 或简写为： 换句话说： 给定任何集合A，有着一个集合使得，给定任何集合x，x是的成员，当且仅当x是A的子集。 通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合是A的幂集。所以这个公理的本质是： 所有集合都有一个幂集。 幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。 (zh)
- In mathematics, the axiom of power set is one of the Zermelo–Fraenkel axioms of axiomatic set theory. In the formal language of the Zermelo–Fraenkel axioms, the axiom reads: where y is the Power set of x, . In English, this says: Given any set x, there is a set such that, given any set z, this set z is a member of if and only if every element of z is also an element of x. More succinctly: for every set , there is a set consisting precisely of the subsets of . (en)
- En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel. L'axiome affirme l'existence pour tout ensemble E, d'un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci. Un tel ensemble est nommé ensemble des parties de E, d'où le nom de l'axiome. A ⊂ B signifie ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) . L'axiome s'écrit alors : ∀E ∃P ∀A (A ∈ P ⇔ A ⊂ E). qui se lit en français : (fr)
- In matematica, l'assioma dell'insieme potenza è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive: Oppure a parole: Dato un generico insieme A, esiste un insieme tale che, dato un generico insieme B, B è un elemento di se e solo se B è un sottoinsieme di A. Per l'assioma di estensionalità questo insieme è unico.Chiamiamo l'insieme insieme potenza di A. Talvolta questo insieme è indicato con il simbolo . Quindi l'essenza dell'assioma è: Ad ogni insieme corrisponde un insieme potenza. (it)
- Aksjomat zbioru potęgowego, AxP – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla. W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać: Można go również sformalizować inaczej: Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji . Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: . (pl)
- Em matemática, o axioma da potência é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se: onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, . Em português, ele diz: Para todo conjunto A, existe um conjunto tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.) (pt)
- Potensmängdsaxiomet är ett av de mängdteoretiska axiomen. Det är till exempel ett av axiomen i ZFC, d.v.s. Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet som är det dominerande sättet att axiomatisera mängdteori. Uttryckt med predikatlogikens formella språk lyder axiomet: Med ord kan axiomet uttryckas: För varje mängd A finns det en mängd B sådan att för varje mängd C gäller att C är ett element i B om och endast om det för varje mängd D gäller att om D är ett element i C så är D ett element i A. För varje mängd finns en potensmängd. (sv)
- Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество , которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств данного множества ». Согласно теории множеств математически эта аксиома записывается так: В аксиоме булеана указан тип множеств (подмножества множества ), которые должны быть элементами образуемого множества . Вместе с тем, аксиома булеана не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества . Аксиому булеана можно вывести из следующих высказываний:
*
* (ru)
- Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину , яка складається з усіх власних і невласних підмножин даної множини ». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так: В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини ), які повинні бути елементами утвореної множини . Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритму знаходження всіх елементів утвореної множини . Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:
*
* , що є . (uk)
|
| rdfs:label
|
- Axiom of power set (en)
- Potenzmengenaxiom (de)
- Axioma del conjunto potencia (es)
- Axiome de l'ensemble des parties (fr)
- Assioma dell'insieme potenza (it)
- 멱집합 공리 (ko)
- 冪集合公理 (ja)
- Aksjomat zbioru potęgowego (pl)
- Axioma da potência (pt)
- Potensmängdsaxiomet (sv)
- Аксиома булеана (ru)
- 幂集公理 (zh)
- Аксіома булеана (uk)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:depiction
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
