About: Poincaré–Hopf theorem

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In mathematics, the Poincaré–Hopf theorem (also known as the Poincaré–Hopf index formula, Poincaré–Hopf index theorem, or Hopf index theorem) is an important theorem that is used in differential topology. It is named after Henri Poincaré and Heinz Hopf. The Poincaré–Hopf theorem is often illustrated by the special case of the hairy ball theorem, which simply states that there is no smooth vector field on an even-dimensional n-sphere having no sources or sinks.

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rdfs:label	Teorema de Poincaré-Hopf (ca) Satz von Poincaré-Hopf (de) Théorème de Poincaré-Hopf (fr) Teorema di Poincaré-Hopf (it) 푸앵카레-호프 정리 (ko) ポアンカレ・ホップの定理 (ja) Twierdzenie Poincarégo-Hopfa (pl) Poincaré–Hopf theorem (en) Теорема Пуанкаре о векторном поле (ru) 庞加莱－霍普夫定理 (zh) Теорема Пуанкаре про векторне поле (uk)
rdfs:comment	En matemàtiques, el teorema de Poincaré-Hopf (també conegut com la fórmula d'índex de Poincaré-Hopf, el teorema d'índex de Poincaré-Hopf o el teorema d'índex de Hopf) és un important teorema que s'utilitza en topologia diferencial. Es diu així en honor d'Henri Poincaré i Heinz Hopf. El teorema de Poincaré-Hopf és sovint il·lustrat pel cas particular del teorema de la bola peluda, que simplement afirma que no hi ha un camp vectorial suau en una esfera que no té ni fonts ni embornals. (ca) Der Satz von Poincaré–Hopf ist ein wichtiger mathematischer Satz der Differentialtopologie. Er ist auch als Poincaré-Hopf-Indexformel, Poincaré-Hopf-Indextheorem oder Hopf-Indextheorem bekannt. Der Satz ist nach Henri Poincaré und Heinz Hopf benannt. Für zwei Dimensionen wurde die Aussage von Poincaré bewiesen und später von Hopf für höhere Dimensionen verallgemeinert. Oft wird der Spezialfall des Satzes vom Igel als Illustration der Aussage benutzt. (de) In mathematics, the Poincaré–Hopf theorem (also known as the Poincaré–Hopf index formula, Poincaré–Hopf index theorem, or Hopf index theorem) is an important theorem that is used in differential topology. It is named after Henri Poincaré and Heinz Hopf. The Poincaré–Hopf theorem is often illustrated by the special case of the hairy ball theorem, which simply states that there is no smooth vector field on an even-dimensional n-sphere having no sources or sinks. (en) 미분위상수학에서 푸앵카레-호프 정리(영어: Poincaré–Hopf theorem)는 다양체의 오일러 지표를 다양체 위에 존재하는 "일반적" 벡터장의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다. (ko) Nella matematica, il teorema di Poincaré–Hopf (anche conosciuto come formula dell'indice di Poincaré–Hopf) è un importante teorema utilizzato nella topologia differenziale. Il suo nome deriva da Henri Poincaré e Heinz Hopf. Un caso speciale della formula è il teorema della palla pelosa, che semplicemente afferma che non esiste un campo vettoriale non nullo continuo tangente a una sfera. (it) 数学において、ポアンカレ・ホップの定理(Poincaré–Hopf theorem)（ポアンカレ・ホップの指数公式、ポアンカレ・ホップの指数定理、あるいはホップの指数定理）は、微分トポロジーで用いられる重要な定理である。定理名はアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré）と(Heinz Hopf)に因む。ポアンカレ・ホップの定理は(Hairy ball theorem)の特別な場合としてしばしば説明される。髪の毛の定理とは、湧出点も流入点もない滑らかなベクトル場は球面上に存在しないという定理である。 (ja) Twierdzenie Poincarégo-Hopfa (czasem twierdzenie o indexie Poincaré) – twierdzenie, które jest używane w topologii różniczkowej. W twierdzenie Poincarégo-Hopfa czasami jest ilustrowane , które mówi, że nie ma gładkiego pola wektorowego na sferze, nie mającego węzłów lub ognisk. (pl) Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа. Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать. (ru) 数学上，庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理，庞加莱-霍普夫指标公式，或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要定理。定理：令 M 为紧微分流形。令 v 为 M 上有孤立零点的向量场。若 M 有边界，则我们要求在边界上 v 指向边界的外法向。然后，我们有如下公式其中，求和取遍 v 的孤立零点而是 M 的欧拉示性数。定理由庞加莱在二维的情况证明，而后由霍普夫推广到高维。 (zh) Нехай на гладкому замкненому двовимірному многовиді визначеновекторне поле , що має скінченне число ізольованих особливих точок .Тоді тут — індекс точки відносно , — ейлерова характеристика . (uk) En mathématiques, le théorème de Poincaré-Hopf (aussi connu sous le nom de « formule de Poincaré-Hopf », ou « théorème de l'indice de Poincaré-Hopf », ou encore « théorème de l'indice de Hopf ») est un important résultat en géométrie différentielle. Il a été prouvé en dimension 2 par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz Hopf. Théorème — Soit une variété différentielle compacte. Soit un champ vectoriel sur avec des zéros isolés. Si a un bord, doit pointer dans la direction normale extérieure le long du bord. Nous avons alors la formule suivante : (fr)
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Link from a Wikipage to another Wikipage	Vector field Degree of a continuous mapping Compact space Mathematics Gauss map Geometry N-sphere Stokes' theorem Hairy ball theorem Hopf theorem Physics Topology Whitney embedding theorem Local coordinates Differential topology Exterior derivative Differential topology Heinz Hopf Henri Poincaré Theorems in differential topology Eisenbud–Levine–Khimshiashvili signature formula Triangulation (topology) Differentiable manifold Differential form Manifold Integer Integral Euler characteristic Manifold with boundary Analysis (mathematics) Manifold (mathematics)
sameAs	Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem Poincaré–Hopf theorem
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has abstract	En matemàtiques, el teorema de Poincaré-Hopf (també conegut com la fórmula d'índex de Poincaré-Hopf, el teorema d'índex de Poincaré-Hopf o el teorema d'índex de Hopf) és un important teorema que s'utilitza en topologia diferencial. Es diu així en honor d'Henri Poincaré i Heinz Hopf. El teorema de Poincaré-Hopf és sovint il·lustrat pel cas particular del teorema de la bola peluda, que simplement afirma que no hi ha un camp vectorial suau en una esfera que no té ni fonts ni embornals. (ca) Der Satz von Poincaré–Hopf ist ein wichtiger mathematischer Satz der Differentialtopologie. Er ist auch als Poincaré-Hopf-Indexformel, Poincaré-Hopf-Indextheorem oder Hopf-Indextheorem bekannt. Der Satz ist nach Henri Poincaré und Heinz Hopf benannt. Für zwei Dimensionen wurde die Aussage von Poincaré bewiesen und später von Hopf für höhere Dimensionen verallgemeinert. Oft wird der Spezialfall des Satzes vom Igel als Illustration der Aussage benutzt. (de) En mathématiques, le théorème de Poincaré-Hopf (aussi connu sous le nom de « formule de Poincaré-Hopf », ou « théorème de l'indice de Poincaré-Hopf », ou encore « théorème de l'indice de Hopf ») est un important résultat en géométrie différentielle. Il a été prouvé en dimension 2 par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz Hopf. Théorème — Soit une variété différentielle compacte. Soit un champ vectoriel sur avec des zéros isolés. Si a un bord, doit pointer dans la direction normale extérieure le long du bord. Nous avons alors la formule suivante : où la somme est celle des indices de tous les zéros isolés de et est la caractéristique d'Euler de . (fr) In mathematics, the Poincaré–Hopf theorem (also known as the Poincaré–Hopf index formula, Poincaré–Hopf index theorem, or Hopf index theorem) is an important theorem that is used in differential topology. It is named after Henri Poincaré and Heinz Hopf. The Poincaré–Hopf theorem is often illustrated by the special case of the hairy ball theorem, which simply states that there is no smooth vector field on an even-dimensional n-sphere having no sources or sinks. (en) 미분위상수학에서 푸앵카레-호프 정리(영어: Poincaré–Hopf theorem)는 다양체의 오일러 지표를 다양체 위에 존재하는 "일반적" 벡터장의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다. (ko)

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