| dbo:abstract
|
- في مجال الرياضيات، الضرب الخارجي (بالإنجليزية: Exterior product أو Wedge product) لمتجهات هو تركيب جبري يستخدم في الهندسة لدراسة المساحات والأحجام وكذلك الأبعاد الأعلى المناظرة. الضرب الخارجي للمتجهين و والذي يرمز له بالرمز يسمى bivector ويكمن في فضاء يسمى مربع خارجي والذي هو فضاء المتجه المميز من فضاء المتجهات الأصلي. يمكن تفسير حجم كمساحة متوازي الأضلاع ذو الضلعين. أيضا بواسطة الشكل الثلاثي الأبعاد لهذا متوازي الأضلاع يمكن حساب الضرب الإتجاهي لمتجهين. (ar)
- Στα μαθηματικά, το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ή σφήνα είναι μια αλγεβρική κατασκευή που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία για τη μελέτη περιοχών, όγκων και μεγαλύτερης διάστασης διανυσμάτων. Το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων u και v, που συμβολίζεται με u ∧ v, ονομάζεται 2-διάνυσμα και υπάρχει σε ένα χώρο που ονομάζεται εξωτερικό τετράγωνο, ένα διανυσματικό χώρο, που διαφέρει από τον αρχικό χώρο των διανυσμάτων. Το μέγεθος του u ∧ v μπορεί να ερμηνευθεί ως το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u και v, το οποίο σε τρεις διαστάσεις μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Όπως το γινόμενο διανυσμάτων,έτσι και το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό, δηλαδή ισχύει: u ∧ v = −(v ∧ u) για οποιαδήποτε διανύσματα u και v. Μπορούμε να απεικονίσουμε ένα 2-διάνυσμα ως μια οικογένεια παραλληλογράμμων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ίδιο εμβαδόν και ίδιο προσανατολισμό— είτε δεξιόστροφο είτε αριστερόστροφο. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, όπως το ορίσαμε, ονομάζεται 2- διάνυσμα. Γενικότερα, το εξωτερικό γινόμενο n διανυσμάτων μπορεί να οριστεί και μερικές φορές ονομάζεται n- διάνυσμα. Υπάρχει σε ένα χώρο που είναι γνωστός ως η νιοστή (n-οστή) εξωτερική δύναμη. Το μέγεθος του n- διανύσματος είναι ο όγκος του n-διαστάσεων παραλληλεπιπέδου του οποίου τα άκρα είναι δεδομένα διανύσματα, όπως το μέγεθος του βαθμωτού τριπλού γινομένου των διανυσμάτων σε τρεις διαστάσεις δίνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που δημιουργείται από αυτά τα 3 διανύσματα. Η εξωτερική άλγεβρα, ή Grassmann άλγεβρα από τον Hermann Grassmann, είναι το αλγεβρικό σύστημα από το οποίο προκύπτει και το εξωτερικό γινόμενο. Η εξωτερική άλγεβρα παρέχει μια αλγεβρική ρύθμιση με την οποία απαντώνται ερωτήματα που αφορούν την γεωμετρία. Για παράδειγμα, τα διανύσματα έχουν μια συγκεκριμένη γεωμετρική ερμηνεία, και τα αντικείμενα στην εξωτερική άλγεβρα, μπορoύν να ερμηνευθούν σύμφωνα με ένα σύνολο σαφών κανόνων. Η εξωτερική άλγεβρα περιέχει αντικείμενα που δεν είναι μόνο διανύσματα βαθμίδας k, αλλά και το σύνολο των διανυσμάτων αυτών, που ονομάζεται k-πολυδιάνυσμα . Αυτά τα k-διανύσματα, επειδή είναι απλά γινόμενα διανυσμάτων, ονομάζονται απλά στοιχεία της άλγεβρας. Βαθμίδα k-πολυδιανύσματος ορίζεται να είναι ο μικρότερος αριθμός απλών στοιχείων από τα οποία αυτό προκύπτει. Το εξωτερικό γινόμενο εκτείνεται σε όλη την εξωτερική άλγεβρα, έτσι ώστε να έχει νόημα να πολλαπλασιάσουμε δύο στοιχεία της άλγεβρας. Εξοπλισμένη λοιπόν με αυτό το γινόμενο, η εξωτερική άλγεβρα είναι μια προσεταιριστική άλγεβρα, πράγμα που σημαίνει ότι α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ για οποιαδήποτε στοιχεία α, β, γ. Το k-πολυδιάνυσμα έχει βαθμό k, που σημαίνει ότι προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο k διανυσμάτων. Όταν στοιχεία των διαφορετικών βαθμών πολλαπλασιάζονται, οι βαθμοί προστίθενται, όπως και στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Αυτό σημαίνει ότι η εξωτερική άλγεβρα είναι μια αναβαθμισμένη άλγεβρα. Ο ορισμός της εξωτερικής άλγεβρας έχει νόημα για χώρους όχι μόνο των γεωμετρικών διανυσμάτων, αλλά και άλλων τέτοιων εννοιων, όπως τους διανυσματικούς χώρους ή τις διανυσματικές συναρτήσεις. Πολύ γενικά, η εξωτερική άλγεβρα μπορεί να οριστεί για χώρους πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο και για άλλες δομές που παρουσιάζουν ενδιαφέρον στην αφηρημένη άλγεβρα. Η εξωτερική άλγεβρα είναι μία γενική κατασκευή, που βρίσκει μία από τις πιο σημαντικές της εφαρμογές στις διαφορικές μορφές, οι οποίες είναι θεμελιώδους σημασίας σε χώρους όπου χρησιμοποιείται η διαφορική γεωμετρία. Διαφορικές μορφές είναι τα μαθηματικά αντικείμενα που αντιπροσωπεύουν απειροελάχιστες περιοχές απειροελάχιστων παραλληλόγραμμων (και υψηλότερων διαστάσεων σωμάτων), και έτσι μπορούν να ενσωματωθούν πάνω σε επιφάνειες και πολλαπλότητες υψηλότερων διαστάσεων , με τρόπο που γενικεύονται τα επικαμπύλια ολοκληρώματα στα μαθηματικά. Η εξωτερική άλγεβρα έχει επίσης πολλές αλγεβρικές ιδιότητες που την καθιστούν ένα βολικό εργαλείο στην ίδια την άλγεβρα. Ο συσχετισμός της εξωτερικής άλγεβρας με έναν διανυσματικό χώρο γίνεται με έναν συναρτητή στον διανυσματικό χώρο, που σημαίνει ότι είναι συμβατοί με ένα συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή με γραμμικούς μετασχηματισμούς διανυσματικών χώρων. H εξωτερική άλγεβρα είναι ένα παράδειγμα διάλγεβρας, με την έννοια ότι ο δισδιάστατος χώρος επίσης διαθέτει ένα γινόμενο, και αυτό είναι συμβατό με το εξωτερικό γινόμενο. Αυτή η διάλγεβρα είναι ακριβώς η άλγεβρα των εναλλασσόμενων πολυγραμμικών μορφών, και η αντιστοίχιση μεταξύ της εξωτερικής άλγεβρας και της διάλγεβρας δίνεται από το εσωτερικό γινόμενο. (el)
- Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums ist eine assoziative, schiefsymmetrisch-graduierte Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten Tensoralgebra von und wird durch dargestellt. Die Multiplikation wird als äußeres Produkt, Keilprodukt, Dachprodukt oder Wedgeprodukt bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem Kreuzprodukt verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren linearen Algebra (zum Beispiel in der Theorie der Determinanten), sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von Hermann Graßmann betrachtet. (de)
- In mathematics, the exterior algebra, or Grassmann algebra, named after Hermann Grassmann, is an algebra that uses the exterior product or wedge product as its multiplication. In mathematics, the exterior product or wedge product of vectors is an algebraic construction used in geometry to study areas, volumes, and their higher-dimensional analogues. The exterior product of two vectors and denoted by is called a bivector and lives in a space called the exterior square, a vector space that is distinct from the original space of vectors. The magnitude of can be interpreted as the area of the parallelogram with sides and which in three dimensions can also be computed using the cross product of the two vectors. More generally, all parallel plane surfaces with the same orientation and area have the same bivector as a measure of their oriented area. Like the cross product, the exterior product is anticommutative, meaning that for all vectors and but, unlike the cross product, the exterior product is associative. When regarded in this manner, the exterior product of two vectors is called a 2-blade. More generally, the exterior product of any number k of vectors can be defined and is sometimes called a k-blade. It lives in a space known as the k-th exterior power. The magnitude of the resulting k-blade is the oriented hypervolume of the k-dimensional parallelotope whose edges are the given vectors, just as the magnitude of the scalar triple product of vectors in three dimensions gives the volume of the parallelepiped generated by those vectors. The exterior algebra provides an algebraic setting in which to answer geometric questions. For instance, blades have a concrete geometric interpretation, and objects in the exterior algebra can be manipulated according to a set of unambiguous rules. The exterior algebra contains objects that are not only k-blades, but sums of k-blades; such a sum is called a k-vector. The k-blades, because they are simple products of vectors, are called the simple elements of the algebra. The rank of any k-vector is defined to be the smallest number of simple elements of which it is a sum. The exterior product extends to the full exterior algebra, so that it makes sense to multiply any two elements of the algebra. Equipped with this product, the exterior algebra is an associative algebra, which means that for any elements The k-vectors have degree k, meaning that they are sums of products of k vectors. When elements of different degrees are multiplied, the degrees add like multiplication of polynomials. This means that the exterior algebra is a graded algebra. The definition of the exterior algebra makes sense for spaces not just of geometric vectors, but of other vector-like objects such as vector fields or functions. In full generality, the exterior algebra can be defined for modules over a commutative ring, and for other structures of interest in abstract algebra. It is one of these more general constructions where the exterior algebra finds one of its most important applications, where it appears as the algebra of differential forms that is fundamental in areas that use differential geometry. The exterior algebra also has many algebraic properties that make it a convenient tool in algebra itself. The association of the exterior algebra to a vector space is a type of functor on vector spaces, which means that it is compatible in a certain way with linear transformations of vector spaces. The exterior algebra is one example of a bialgebra, meaning that its dual space also possesses a product, and this dual product is compatible with the exterior product. This dual algebra is precisely the algebra of alternating multilinear forms, and the pairing between the exterior algebra and its dual is given by the interior product. (en)
- En matemáticas, el producto exterior de vectores (o producto de cuña, por el símbolo utilizado para denotarlo) es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas, volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores y , denotado por , se llama bivector y pertenece a un espacio llamado cuadrado exterior, un espacio vectorial que es distinto del espacio original de los vectores. La magnitud de se puede interpretar como el área del paralelogramo con lados y , que en tres dimensiones también se puede calcular usando el producto vectorial de los dos vectores. De manera más general, todas las superficies planas paralelas con la misma orientación y área tienen el mismo bivector como medida de su área orientada. Al igual que el producto cruzado, el producto exterior es anticonmutativo, lo que significa que para todos los vectores y , pero, a diferencia del producto cruzado, el producto exterior es asociativo. Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina de . De manera más general, el producto exterior de cualquier número k de vectores se puede definir como una k-hoja. Pertenece a un espacio conocido como la k-ésima potencia exterior. La magnitud de la k-hoja resultante es el volumen de la dimensión k de un paralelotopo cuyas aristas son los vectores dados, así como la magnitud del producto mixto de los vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores. El álgebra exterior o álgebra de Grassmann, denominada así en referencia a Hermann Grassmann, es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que manejar cuestiones geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos en el álgebra exterior pueden manipularse de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son solo k-hojas, sino sumas de k-hojas; tal suma se llama . Las k-hojas, debido a que son productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El rango de cualquier vector k se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipada con este producto, el álgebra exterior es un álgebra asociativa, lo que significa que para cualquier elemento . Los k vectores tienen grado k, lo que significa que son sumas de productos de k vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como en una multiplicación de polinomios. Esto significa que el álgebra exterior es un álgebra graduada. La definición del álgebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geométricos, sino de otros objetos similares a vectores como campos vectoriales o funciones. En general, el álgebra exterior se puede definir para módulos sobre un anillo conmutativo, y para otras estructuras de interés en álgebra abstracta. Es una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de formas diferenciales que es fundamental en áreas que usan la geometría diferencial. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de funtor en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible de cierta manera con la aplicación lineal de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de biálgebra, lo que significa que su espacio dual también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es precisamente el álgebra de formas multilineales, y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el producto interno. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro, on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann. Vers 1846, ce dernier a écrit un traité sur les « grandeurs extensives », précurseurs des multivecteurs. (fr)
- 外積代数（がいせきだいすう、独: äußere Algebra、英: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンによって導入された代数。グラスマン代数（独: Graßmann-Algebra、英: Grassmann algebra）とも。 以下、特に断らない限り外国語表記はドイツ語、英語の順に記す。 (ja)
- 추상대수학과 미분기하학에서 외대수(外代數, 영어: exterior algebra) 또는 그라스만 대수(Graßmann代數, 영어: Grassmann algebra)는 어떤 주어진 벡터 공간에 대하여, 그 벡터들의 완전 반대칭 조합들로 구성된 벡터 공간 및 그 위에 정의된 이항 연산으로 구성되는 단위 결합 대수이자 호프 대수이다. 기하학적으로, 이는 부호수를 갖는 넓이 또는 부피를 나타낸다. (ko)
- Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów oraz oznacza się symbolem i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach oraz W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów oraz Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj. Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Z definicji wynika, że np. jeżeli wektory są równoległe. (pl)
- L'algebra esterna, o algebra di Grassmann da Hermann Grassmann, è un'algebra su campo la cui operazione prodotto è il prodotto esterno. Il prodotto esterno o prodotto wedge di vettori è una costruzione algebrica usata in geometria per studiare aree, volumi, e i loro analoghi con più dimensioni. Il prodotto esterno di due vettori e , indicato con , è chiamato un (un tensore doppio controvariante antisimmetrico) e vive in uno spazio vettoriale distinto dallo spazio dei vettori originale. Il modulo di può essere interpretato come l'area del parallelogramma con lati e , che in tre dimensioni può essere anche calcolato con il prodotto vettoriale dei due vettori. Più generalmente, tutte le superfici piane parallele con la stessa orientazione hanno lo stesso bivettore come misura dell'area. Come il prodotto vettoriale, anche il prodotto esterno è anticommutativo, il che significa che per ogni vettore e , ma, a differenza del prodotto vettoriale, è associativo. Il prodotto esterno è associativo e bilineare; la sua proprietà essenziale è che sia alternante su : per tutti i vettori ossia: per ogni vettore , e qualora siano linearmente dipendenti. Il concetto di prodotto esterno generalizza i concetti di prodotto vettoriale e di triplo prodotto scalare della geometria euclidea tridimensionale. Esso fornisce un modo algebrico astratto, indipendente dalla scelta di una base, per descrivere il determinante e i minori di una trasformazione lineare. È quindi collegato alle idee di indipendenza lineare e di rango. L'algebra di Grassmann è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione graduata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano). Le algebre esterne sono molto utilizzate nella geometria differenziale e nella geometria algebrica (algebra esterna delle forme differenziali) oltre che nell'algebra multilineare e nei settori collegati. (it)
- Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.Впервые введена Грассманом в 1844 году. Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается .Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии. (ru)
- Inom matematiken betecknar den yttre algebran, även kallad Grassmann-algebran (efter Hermann Grassmann) eller den alternerande algebran, en algebra som har betydelse bland annat inom differentialgeometrin. Den definieras över ett godtyckligt vektorrum och medger att vektorer kan multipliceras på ett sätt som generaliserar operationerna kryssprodukt och trippelprodukt som studeras i den elementära linjära algebran. Liksom i det tredimensionella fallet är det möjligt att ge en geometrisk tolkning av den yttre algebran. Speciellt används den för att generalisera begreppen yta och volym, vilket har fundamental betydelse inom integralkalkylen för differentierbara mångfalder. Den möjliggör också en elegant, koordinatoberoende definition av begreppet determinant för en linjär avbildning. Formellt är den yttre algebran en unitär . Den är över de naturliga talen med det underliggande vektorrummet som det homogena underrummet av grad ett. Multiplikationsoperatorn, den yttre produkten, brukar betecknas med en kil, ∧, och kallas därför ibland också för kilprodukt. Produkten är graderat alternerande i den mening att x ∧ y = -y ∧ x om x och y är vektorer i det underliggande vektorrummet. (sv)
- 外代数（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念赫爾曼·格拉斯曼。 数学上，给定向量空间的外代數，是特定有单位的结合代数，其包含了为其中一个子空间。它记为或而它的乘法，称为楔积或外积，记为。楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在V上交錯的，也就是： ，對於所有向量 这表示 ，對於所有向量，以及，當 线性相关时。 注意这三个性质只对中向量成立，不是对代数中所有向量成立。 外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。 形式为的元素，其中在中，称为-向量。所有-向量生成的的子空间称为的-阶外幂，记为。外代数可以写作每个阶幂的直和： 该外积有一个重要性质，就是-向量和-向量的积是一个-向量。这样外代数成为一个，其中分级由给出。这些-向量有几何上的解释：2-向量代表以和为边的带方向的平行四边形，而3-向量代表带方向的平行六面体，其边为, , 和。 外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。 (zh)
- Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом. Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком ). (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في مجال الرياضيات، الضرب الخارجي (بالإنجليزية: Exterior product أو Wedge product) لمتجهات هو تركيب جبري يستخدم في الهندسة لدراسة المساحات والأحجام وكذلك الأبعاد الأعلى المناظرة. الضرب الخارجي للمتجهين و والذي يرمز له بالرمز يسمى bivector ويكمن في فضاء يسمى مربع خارجي والذي هو فضاء المتجه المميز من فضاء المتجهات الأصلي. يمكن تفسير حجم كمساحة متوازي الأضلاع ذو الضلعين. أيضا بواسطة الشكل الثلاثي الأبعاد لهذا متوازي الأضلاع يمكن حساب الضرب الإتجاهي لمتجهين. (ar)
- 外積代数（がいせきだいすう、独: äußere Algebra、英: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンによって導入された代数。グラスマン代数（独: Graßmann-Algebra、英: Grassmann algebra）とも。 以下、特に断らない限り外国語表記はドイツ語、英語の順に記す。 (ja)
- 추상대수학과 미분기하학에서 외대수(外代數, 영어: exterior algebra) 또는 그라스만 대수(Graßmann代數, 영어: Grassmann algebra)는 어떤 주어진 벡터 공간에 대하여, 그 벡터들의 완전 반대칭 조합들로 구성된 벡터 공간 및 그 위에 정의된 이항 연산으로 구성되는 단위 결합 대수이자 호프 대수이다. 기하학적으로, 이는 부호수를 갖는 넓이 또는 부피를 나타낸다. (ko)
- Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.Впервые введена Грассманом в 1844 году. Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается .Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии. (ru)
- 外代数（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念赫爾曼·格拉斯曼。 数学上，给定向量空间的外代數，是特定有单位的结合代数，其包含了为其中一个子空间。它记为或而它的乘法，称为楔积或外积，记为。楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在V上交錯的，也就是： ，對於所有向量 这表示 ，對於所有向量，以及，當 线性相关时。 注意这三个性质只对中向量成立，不是对代数中所有向量成立。 外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。 形式为的元素，其中在中，称为-向量。所有-向量生成的的子空间称为的-阶外幂，记为。外代数可以写作每个阶幂的直和： 该外积有一个重要性质，就是-向量和-向量的积是一个-向量。这样外代数成为一个，其中分级由给出。这些-向量有几何上的解释：2-向量代表以和为边的带方向的平行四边形，而3-向量代表带方向的平行六面体，其边为, , 和。 外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。 (zh)
- Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом. Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком ). (uk)
- Στα μαθηματικά, το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ή σφήνα είναι μια αλγεβρική κατασκευή που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία για τη μελέτη περιοχών, όγκων και μεγαλύτερης διάστασης διανυσμάτων. Το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων u και v, που συμβολίζεται με u ∧ v, ονομάζεται 2-διάνυσμα και υπάρχει σε ένα χώρο που ονομάζεται εξωτερικό τετράγωνο, ένα διανυσματικό χώρο, που διαφέρει από τον αρχικό χώρο των διανυσμάτων. Το μέγεθος του u ∧ v μπορεί να ερμηνευθεί ως το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u και v, το οποίο σε τρεις διαστάσεις μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Όπως το γινόμενο διανυσμάτων,έτσι και το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό, δηλαδή ισχύει: u ∧ v = −(v ∧ u) για οποιαδήποτε διανύσματα u και v. Μπορούμε να απεικονίσ (el)
- Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums ist eine assoziative, schiefsymmetrisch-graduierte Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten Tensoralgebra von und wird durch dargestellt. Die Multiplikation wird als äußeres Produkt, Keilprodukt, Dachprodukt oder Wedgeprodukt bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem Kreuzprodukt verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren linearen Algebra (zum Beispiel in der Theorie der Determinanten), sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit die besteh (de)
- In mathematics, the exterior algebra, or Grassmann algebra, named after Hermann Grassmann, is an algebra that uses the exterior product or wedge product as its multiplication. In mathematics, the exterior product or wedge product of vectors is an algebraic construction used in geometry to study areas, volumes, and their higher-dimensional analogues. The exterior product of two vectors and denoted by is called a bivector and lives in a space called the exterior square, a vector space that is distinct from the original space of vectors. The magnitude of can be interpreted as the area of the parallelogram with sides and which in three dimensions can also be computed using the cross product of the two vectors. More generally, all parallel plane surfaces with the same orientation and area (en)
- En matemáticas, el producto exterior de vectores (o producto de cuña, por el símbolo utilizado para denotarlo) es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas, volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores y , denotado por , se llama bivector y pertenece a un espacio llamado cuadrado exterior, un espacio vectorial que es distinto del espacio original de los vectores. La magnitud de se puede interpretar como el área del paralelogramo con lados y , que en tres dimensiones también se puede calcular usando el producto vectorial de los dos vectores. De manera más general, todas las superficies planas paralelas con la misma orientación y área tienen el mismo bivector como medida de su área orientada. Al igual que el produc (es)
- En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro, on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). (fr)
- L'algebra esterna, o algebra di Grassmann da Hermann Grassmann, è un'algebra su campo la cui operazione prodotto è il prodotto esterno. Il prodotto esterno o prodotto wedge di vettori è una costruzione algebrica usata in geometria per studiare aree, volumi, e i loro analoghi con più dimensioni. Il prodotto esterno di due vettori e , indicato con , è chiamato un (un tensore doppio controvariante antisimmetrico) e vive in uno spazio vettoriale distinto dallo spazio dei vettori originale. Il modulo di può essere interpretato come l'area del parallelogramma con lati e , che in tre dimensioni può essere anche calcolato con il prodotto vettoriale dei due vettori. Più generalmente, tutte le superfici piane parallele con la stessa orientazione hanno lo stesso bivettore come misura dell'area. C (it)
- Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów oraz oznacza się symbolem i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach oraz W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów oraz Z definicji wynika, że np. jeżeli wektory są równoległe. (pl)
- Inom matematiken betecknar den yttre algebran, även kallad Grassmann-algebran (efter Hermann Grassmann) eller den alternerande algebran, en algebra som har betydelse bland annat inom differentialgeometrin. Den definieras över ett godtyckligt vektorrum och medger att vektorer kan multipliceras på ett sätt som generaliserar operationerna kryssprodukt och trippelprodukt som studeras i den elementära linjära algebran. Liksom i det tredimensionella fallet är det möjligt att ge en geometrisk tolkning av den yttre algebran. Speciellt används den för att generalisera begreppen yta och volym, vilket har fundamental betydelse inom integralkalkylen för differentierbara mångfalder. Den möjliggör också en elegant, koordinatoberoende definition av begreppet determinant för en linjär avbildning. (sv)
|
