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Pythagoreisk trippel 勾股数 Terna pitagòrica Pythagorean triple Terna pitagórica Rangkap tiga Pythagoras Pythagoreisches Tripel 피타고라스 삼조 Pythagorejská trojice Числа Піфагора Πυθαγόρεια τριάδα Terno pitagórico Trójki pitagorejskie Triarach Píotagarásach Pitagora triopo ثلاثية فيثاغورس Pythagorees drietal Пифагорова тройка Terna pitagorica ピタゴラス数 Triplet pythagoricien
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En pythagoreisk trippel är inom talteorin tre positiva heltal x, y och z som uppfyller den diofantiska ekvationen x2 + y2 = z2. Sådana tal motsvaras av längderna på sidorna i en rätvinklig triangel eftersom de uppfyller villkoren i Pythagoras sats. 3, 4 och 5 är exempelvis en sådan taltrippel. En triangel med dessa sidolängder kallas för en egyptisk triangel. Alla pythagoreiska tripplar kan fås med hjälp av "Euklides formler": x = k(m2 - n2)y = 2kmn z = k(m2 + n2) där k, m och n är positiva heltal och där m > n Ett flertal andra metoder för att finna pythagoreiska tripplar har beskrivits. Is éard is triarach Píotagarásach ann ná trí shlánuimhir dhearfach a, b, agus c, sa chaoi go bhfuil a2 + b2 = c2 . Scríobhtar triarach den sórt sin go coitianta mar (a, b, c ), agus is sampla cáiliúil é (3, 4, 5) . Más triarach Píotagarásach (a, b, c ), is amhlaidh atá (ka, kb, kc ) d'aon slánuimhir dearfach k . Is éard is triarach bunúsach Píotagarásach ann ná ceann ina bhfuil a, b agus c ina chomhphríomha (is é sin, nach bhfuil aon roinnteoir coiteann níos mó ná 1 acu). Tugtar triantán Píotagarásach ar thriantán a bhfuil a thaobhanna ina thriarach, agus is gá gur triantán ceart é . En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : . Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5). À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a, b, c, forcément rectangle d’hypoténuse c, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers a, b, et de diagonale entière c. Pythagorejská trojice je v matematice trojice přirozených čísel a, b, c (tj. celých kladných čísel), které lze využít jako velikosti stran pravoúhlého trojúhelníka. Tyto celočíselné kombinace byly využívány již ve starověku a jsou dones využívány v běžném životě (např. vyměření pravého úhlu na stavbě pomocí provázku s uzly ve stejných vzdálenostech, případně vyměření pravého úhlu svinovacím metrem v násobku jedné z Pythagorejských trojic). Název pythagorejská trojice je odvozen od Pythagorovy věty, která definuje pro strany pravoúhlého trojúhelníka vztah: Sebuah rangkap tiga Pythagoras (atau umumnya disebut tripel Pythagoras) terdiri dari tiga bilangan bulat positif , , dan , sehingga . Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis , dan sebuah contoh yang terkenal adalah . Jika adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan untuk suatu bilangan bulat positif . Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana , , dan adalah koprima (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari ). Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut segitiga Pythagoras, dan selalu sebuah segitiga siku-siku. Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел , удовлетворяющих однородному квадратному уравнению , описывающему теорему Пифагора. Их называют пифагоровыми числами. Треугольник с длинами сторон, образующими пифагорову тройку, является прямоугольным и также называется пифагоровым. ( 피타고라스 수는 여기로 연결됩니다. 체의 불변량에 대해서는 피타고라스 체 문서를 참고하십시오.) 수학에서 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, 영어: Pythagorean triple)는 피타고라스 정리에 등장하는 등식 을 만족시키는 세 양의 정수의 튜플 이다. 즉, 유클리드 기하학의 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 튜플이다. 예를 들어, 는 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, 영어: primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수가 서로소인 경우이다. 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 피타고라스 삼조는 의 양의 유리수 해와 일대일 대응하며, 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다. Em matemática, nomeadamente em teoria dos números, um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)... ピタゴラス数は、 a2 + b2 = c2を成り立たせる3つの自然数a 、 b 、cの組である。この数の組は一般的に(a, b, c)と書かれ、その一例は(3, 4, 5)である。 (a, b, c)がピタゴラス数の場合、任意の正の整数kに対して(ka, kb, kc)も同様である。原始ピタゴラス数は、 a 、 b 、 cが互いに素である三つの数の組である。 たとえば、 (3, 4, 5)は原始ピタゴラス数であるが、 (6, 8, 10)はそうではない。三辺がピタゴラス数で構成される三角形は、必然的に直角三角形になる。 これはピタゴラスの定理に由来しており、すべての直角三角形の辺の長さは次の式を満たすと述べている。 ;したがって、ピタゴラス数は直角三角形の3つの整数の辺の長さを表す。ただし、非整数の辺を持つ直角三角形は、ピタゴラス三角形を形成しない。たとえば、三辺がそれぞれ1,1,√2の三角形は直角三角形であるが、は整数ではないので、はピタゴラス数ではない。 ピタゴラス数は古くから知られてる。最も古い既知の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリンプトン322からのもので、六十進法で書かれている。 1900年の初期にエドガージェームズバンクスによって発見され、1922年にジョージアーサープリンプトンに10ドルで売却された。 En matemàtiques, especialment dins la teoria de nombres, una terna pitagòrica és formada per tres nombres naturals a, b i c tals que a²+b²=c². Si (a,b,c) és una terna pitagòrica, aleshores (ka,kb,kc) també és una terna pitagòrica, per a qualsevol nombre natural k. En una terna pitagòrica primitiva els tres nombres són primers entre si. Les primeres ternes pitagòriques primitives són (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)... Pitagora triopo estas en la nombroteorio ĉia grupo de tri naturaj nombroj, kiu povas esti flankoj de orta triangulo. Traktis ilin jam Diofanto el Aleksandrio. Pro la teoremo de Pitagoro ili estas la pozitivaj solvoj de la diofanta ekvacio: Se x,y,z estas mallongigita, t.e., se ili ne havas komunan divizoron, oni nomas ilin primitiva pitagora triopo. Je ĉia primitiva triopo z estas nepara, kaj el la nombroj x kaj y unu estas para, la alia nepara. Ekzemploj: Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa. Se è una terna pitagorica, lo è anche , dove è un numero naturale qualsiasi. Il numero è quindi un divisore comune dei tre numeri , , . Una terna pitagorica si dice primitiva se , e non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva. 勾股数，又名商高數或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「」之中，的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。 如果是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即也是勾股数。若果三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数。 In der Zahlentheorie besteht ein Pythagoreisches Tripel oder Pythagoreisches Zahlentripel aus drei verschiedenen natürlichen Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl ist. Nach dem Satz des Pythagoras können die drei Zahlen eines Pythagoreischen Tripels auch als die Seitenlängen eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks in der Euklidischen Geometrie aufgefasst werden. Wenn , und außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel. Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c. تتألف ثلاثية فيثاغورس من الأعداد الصحيحة a و b و c حيث a2 + b2 = c2. تكتب الثلاثية على الشكل (a, b, c) ومن الأمثلة الشهيرة عليها هي (5, 4, 3). إذا كانت (a, b, c) هي ثلاثية فيثاغورسية فإن (ka, kb, kc) من أجل أي عدد صحيح k تكون أيضاً ثلاثية فيثاغورسية. تكون الأعداد المشكلة لثلاثية فيثاغورس a, b و c أولية فيما بينها. تم أخذ الاسم من مبرهنة فيثاغورس حيث تكون كل ثلاثية فيثاغورس حلاً لمبرهنة فيثاغورس. Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α, β, και γ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση α2 + β2 = γ2, ευρέως γνωστή ως πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια τριάδα συνήθως γράφεται (α, β, γ), και ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι αριθμοί (3, 4, 5) εφόσον ισχύει . Εάν (α, β, γ) είναι πυθαγόρεια τριάδα, τότε ομοίως θα είναι και η (κα, κβ, κγ) για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο κ. Μια πρωτογενής πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή για την οποία οι α,β,γ είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β,γ είναι 1). Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite dodatnie spełniające tzw. równanie Pitagorasa: Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich: Una terna pitagórica es un conjunto ordenado de tres números enteros positivos a, b, c, y son solución de la ecuación diofántica cuadrática .​ La nomenclatura se liga al teorema de Pitágoras, el cual afirma que en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que (donde t es la longitud de la hipotenusa; y las otras variables, longitudes de catetos, en números enteros). En sentido recíproco también se cumple, o sea, cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de los dos catetos y de la hipotenusa correspondiente, formando un triángulo rectángulo. Een pythagorees drietal bestaat uit drie positieve gehele getallen waarvoor geldt . De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met als lengte van de schuine zijde. De oppervlakte van een dergelijke rechthoekige driehoek is dan per definitie een congruent getal. Een pythagorees drietal wordt primitief genoemd als de grootste gemene deler van en gelijk aan 1 is. A Pythagorean triple consists of three positive integers a, b, and c, such that a2 + b2 = c2. Such a triple is commonly written (a, b, c), and a well-known example is (3, 4, 5). If (a, b, c) is a Pythagorean triple, then so is (ka, kb, kc) for any positive integer k. A primitive Pythagorean triple is one in which a, b and c are coprime (that is, they have no common divisor larger than 1). For example, (3, 4, 5) is a primitive Pythagorean triple whereas (6, 8, 10) is not. A triangle whose sides form a Pythagorean triple is called a Pythagorean triangle, and is necessarily a right triangle.
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Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite dodatnie spełniające tzw. równanie Pitagorasa: Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich: تتألف ثلاثية فيثاغورس من الأعداد الصحيحة a و b و c حيث a2 + b2 = c2. تكتب الثلاثية على الشكل (a, b, c) ومن الأمثلة الشهيرة عليها هي (5, 4, 3). إذا كانت (a, b, c) هي ثلاثية فيثاغورسية فإن (ka, kb, kc) من أجل أي عدد صحيح k تكون أيضاً ثلاثية فيثاغورسية. تكون الأعداد المشكلة لثلاثية فيثاغورس a, b و c أولية فيما بينها. تم أخذ الاسم من مبرهنة فيثاغورس حيث تكون كل ثلاثية فيثاغورس حلاً لمبرهنة فيثاغورس. En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : . Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5). À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a, b, c, forcément rectangle d’hypoténuse c, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers a, b, et de diagonale entière c. Is éard is triarach Píotagarásach ann ná trí shlánuimhir dhearfach a, b, agus c, sa chaoi go bhfuil a2 + b2 = c2 . Scríobhtar triarach den sórt sin go coitianta mar (a, b, c ), agus is sampla cáiliúil é (3, 4, 5) . Más triarach Píotagarásach (a, b, c ), is amhlaidh atá (ka, kb, kc ) d'aon slánuimhir dearfach k . Is éard is triarach bunúsach Píotagarásach ann ná ceann ina bhfuil a, b agus c ina chomhphríomha (is é sin, nach bhfuil aon roinnteoir coiteann níos mó ná 1 acu). Tugtar triantán Píotagarásach ar thriantán a bhfuil a thaobhanna ina thriarach, agus is gá gur triantán ceart é . Pythagorejská trojice je v matematice trojice přirozených čísel a, b, c (tj. celých kladných čísel), které lze využít jako velikosti stran pravoúhlého trojúhelníka. Tyto celočíselné kombinace byly využívány již ve starověku a jsou dones využívány v běžném životě (např. vyměření pravého úhlu na stavbě pomocí provázku s uzly ve stejných vzdálenostech, případně vyměření pravého úhlu svinovacím metrem v násobku jedné z Pythagorejských trojic). Název pythagorejská trojice je odvozen od Pythagorovy věty, která definuje pro strany pravoúhlého trojúhelníka vztah: Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел , удовлетворяющих однородному квадратному уравнению , описывающему теорему Пифагора. Их называют пифагоровыми числами. Треугольник с длинами сторон, образующими пифагорову тройку, является прямоугольным и также называется пифагоровым. En pythagoreisk trippel är inom talteorin tre positiva heltal x, y och z som uppfyller den diofantiska ekvationen x2 + y2 = z2. Sådana tal motsvaras av längderna på sidorna i en rätvinklig triangel eftersom de uppfyller villkoren i Pythagoras sats. 3, 4 och 5 är exempelvis en sådan taltrippel. En triangel med dessa sidolängder kallas för en egyptisk triangel. Alla pythagoreiska tripplar kan fås med hjälp av "Euklides formler": x = k(m2 - n2)y = 2kmn z = k(m2 + n2) där k, m och n är positiva heltal och där m > n Om x, y och z inte har någon gemensam delare, så kallas trippeln primitiv. En pythagoreisk trippel är primitiv om och endast om två av talen x, y och z är relativt prima. Om och endast om k = 1 och m och n är relativt prima samt antingen m eller n är udda, så är den bildade trippeln primitiv. Ett flertal andra metoder för att finna pythagoreiska tripplar har beskrivits. ( 피타고라스 수는 여기로 연결됩니다. 체의 불변량에 대해서는 피타고라스 체 문서를 참고하십시오.) 수학에서 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, 영어: Pythagorean triple)는 피타고라스 정리에 등장하는 등식 을 만족시키는 세 양의 정수의 튜플 이다. 즉, 유클리드 기하학의 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 튜플이다. 예를 들어, 는 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, 영어: primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수가 서로소인 경우이다. 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 피타고라스 삼조는 의 양의 유리수 해와 일대일 대응하며, 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다. Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c. Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком. Але не всі розв'язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Щобільше, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок: Sebuah rangkap tiga Pythagoras (atau umumnya disebut tripel Pythagoras) terdiri dari tiga bilangan bulat positif , , dan , sehingga . Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis , dan sebuah contoh yang terkenal adalah . Jika adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan untuk suatu bilangan bulat positif . Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana , , dan adalah koprima (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari ). Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut segitiga Pythagoras, dan selalu sebuah segitiga siku-siku. Namanya diturunkan dari teorema Pythagoras, menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus ; demikian, rangkap tiga Pythagoras menggambarkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari sebuah segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi tak bilangan bulat tidak membentuk rangkap tiga Pythagoras. Misalnya, segitiga dengan sisi dan merupakan sebuah segitiga siku-siku, tetapi bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras karena bukanlah sebuah bilangan bulat. Selain itu, dan tidak memiliki sebuah kelipatan persekutuan bilangan bulat karena adalah irasional. Rangkap tiga Pythagoras telah dikenal sejak waktu kuno. Catatan terlama yang dikenal dari , sebuah loh tanah liat Babylonian dari sekitar 1800 SM, ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Ini ditemukan oleh sesaat setelah tahun 1900, dan dijual ke pada tahun 1922, untuk $10. Ketika menelusuri untuk penyelesaian bilangan bulat, persamaan merupakan sebuah persamaan Diophantus. Demikian rangkap tiga Pythagoras adalah penyelesaian terlama yang diketahui mengenai sebuah persamaan Diophantus taklinear Em matemática, nomeadamente em teoria dos números, um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)... Os ternos pitagóricos apareceram em problemas na Matemática Babilônia na tabela Plimpton 322, escrita no Século XVIII a.C. e, posteriormente, foram estudadas no período grego pelos pitagóricos e por Platão e aparecem de forma explícita na obra de Euclides e nos estudos de Diofanto. Também foi estudada por alguns matemáticos islâmicos e, nesse caso, estavam relacionadas com o Problema dos Números Congruentes, um antigo problema que remonta à época do matemático italiano Leonardo Fibonacci. Através dos séculos diversas gerações de estudiosos, cientistas e matemáticos têm tentado achar uma solução geral para esse problema, encontrando, na maioria das vezes, soluções parciais. Uma solução geral implicaria encontrar um algoritmo que permitisse determinar quando um número natural é congruente ou não. O Teorema de Pitágoras (e, portanto, os ternos pitagóricos) é a mais bela jóia da tradição pitagórica. Como lembrança inesquecível da época escolar, ele pertence à base cultural comum da humanidade. O seu estudo introduziu uma radical inflexão intelectual entre a prática empírica e indutiva e a argumentação lógico-dedutiva, tanto no aspecto histórico cultural matemático como no âmbito escolar. En matemàtiques, especialment dins la teoria de nombres, una terna pitagòrica és formada per tres nombres naturals a, b i c tals que a²+b²=c². Si (a,b,c) és una terna pitagòrica, aleshores (ka,kb,kc) també és una terna pitagòrica, per a qualsevol nombre natural k. En una terna pitagòrica primitiva els tres nombres són primers entre si. Les primeres ternes pitagòriques primitives són (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)... Pitagora triopo estas en la nombroteorio ĉia grupo de tri naturaj nombroj, kiu povas esti flankoj de orta triangulo. Traktis ilin jam Diofanto el Aleksandrio. Pro la teoremo de Pitagoro ili estas la pozitivaj solvoj de la diofanta ekvacio: Se x,y,z estas mallongigita, t.e., se ili ne havas komunan divizoron, oni nomas ilin primitiva pitagora triopo. Je ĉia primitiva triopo z estas nepara, kaj el la nombroj x kaj y unu estas para, la alia nepara. Ekzemploj: * La plej malgranda pitagora triopo estas (3,4,5). Ĝi estas primitiva. Oni uzas ĝin en la dekdunoda ŝnuro por krei ortajn angulojn. * (5,12,13) estas primitiva triopo. * (15,20,25) kaj (15,36,39) estas ne primitivaj. Een pythagorees drietal bestaat uit drie positieve gehele getallen waarvoor geldt . De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met als lengte van de schuine zijde. De oppervlakte van een dergelijke rechthoekige driehoek is dan per definitie een congruent getal. Een pythagorees drietal wordt primitief genoemd als de grootste gemene deler van en gelijk aan 1 is. Op kleitabletten uit de tijd van Hammurabi komen al pythagorese drietallen voor. Op het tablet Plimpton 322 bijvoorbeeld staan 15 drietallen, waaronder (56,90,106), (119,120,169) en zelfs (12709,13500,18541). Men kende ook in India zulke getallen. In de Baudhayana-Sulbasutra uit de 6e eeuw v.Chr. staan vijf drietallen. Het eenvoudigste pythagorees drietal (3,4,5) is bekend om zijn toepassing voor het bepalen van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden. Behalve het drietal (3,4,5) vormen ook veelvouden hiervan, zoals (6,8,10) en (9,12,15) pythagorese drietallen. Met is ook voor elk positief geheel getal een pythagorees drietal. Er zijn dus oneindig veel pythagorese drietallen, maar er zijn ook oneindig veel primitieve drietallen. In de onderstaande tabel staan de eerste drietallen. De drietallen met een grijze achtergrond zijn niet primitief. Een heron-driehoek is een driehoek waarvan de lengten van de drie zijden rationaal zijn. Alle driehoeken met als zijden een pythagorees drietal zijn heron-driehoeken. A Pythagorean triple consists of three positive integers a, b, and c, such that a2 + b2 = c2. Such a triple is commonly written (a, b, c), and a well-known example is (3, 4, 5). If (a, b, c) is a Pythagorean triple, then so is (ka, kb, kc) for any positive integer k. A primitive Pythagorean triple is one in which a, b and c are coprime (that is, they have no common divisor larger than 1). For example, (3, 4, 5) is a primitive Pythagorean triple whereas (6, 8, 10) is not. A triangle whose sides form a Pythagorean triple is called a Pythagorean triangle, and is necessarily a right triangle. The name is derived from the Pythagorean theorem, stating that every right triangle has side lengths satisfying the formula ; thus, Pythagorean triples describe the three integer side lengths of a right triangle. However, right triangles with non-integer sides do not form Pythagorean triples. For instance, the triangle with sides and is a right triangle, but is not a Pythagorean triple because is not an integer. Moreover, and do not have an integer common multiple because is irrational. Pythagorean triples have been known since ancient times. The oldest known record comes from Plimpton 322, a Babylonian clay tablet from about 1800 BC, written in a sexagesimal number system. It was discovered by Edgar James Banks shortly after 1900, and sold to George Arthur Plimpton in 1922, for $10. When searching for integer solutions, the equation a2 + b2 = c2 is a Diophantine equation. Thus Pythagorean triples are among the oldest known solutions of a nonlinear Diophantine equation. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa. Se è una terna pitagorica, lo è anche , dove è un numero naturale qualsiasi. Il numero è quindi un divisore comune dei tre numeri , , . Una terna pitagorica si dice primitiva se , e non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva. Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία): Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se e sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia che sono dispari , e sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi , mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco: Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di e . Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di per (dei due cateti) è sempre divisibile per , mentre il prodotto (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per . Infatti modulo e modulo si hanno solo e come quadrati, quindi, se o , si ha che se oppure allora oppure e quindi se invece allora Di conseguenza Infine, poiché modulo i quadrati sono se oppure oppure oppure ragionando analogamente si ha che se invece oppure allora Quindi, in tutti i casi da cui In der Zahlentheorie besteht ein Pythagoreisches Tripel oder Pythagoreisches Zahlentripel aus drei verschiedenen natürlichen Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl ist. Nach dem Satz des Pythagoras können die drei Zahlen eines Pythagoreischen Tripels auch als die Seitenlängen eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks in der Euklidischen Geometrie aufgefasst werden. Wenn , und außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel. ピタゴラス数は、 a2 + b2 = c2を成り立たせる3つの自然数a 、 b 、cの組である。この数の組は一般的に(a, b, c)と書かれ、その一例は(3, 4, 5)である。 (a, b, c)がピタゴラス数の場合、任意の正の整数kに対して(ka, kb, kc)も同様である。原始ピタゴラス数は、 a 、 b 、 cが互いに素である三つの数の組である。 たとえば、 (3, 4, 5)は原始ピタゴラス数であるが、 (6, 8, 10)はそうではない。三辺がピタゴラス数で構成される三角形は、必然的に直角三角形になる。 これはピタゴラスの定理に由来しており、すべての直角三角形の辺の長さは次の式を満たすと述べている。 ;したがって、ピタゴラス数は直角三角形の3つの整数の辺の長さを表す。ただし、非整数の辺を持つ直角三角形は、ピタゴラス三角形を形成しない。たとえば、三辺がそれぞれ1,1,√2の三角形は直角三角形であるが、は整数ではないので、はピタゴラス数ではない。 ピタゴラス数は古くから知られてる。最も古い既知の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリンプトン322からのもので、六十進法で書かれている。 1900年の初期にエドガージェームズバンクスによって発見され、1922年にジョージアーサープリンプトンに10ドルで売却された。 整数解を探す場合、方程式a2 + b2 = c2はディオファントス方程式である。したがって、ピタゴラス数は、非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の1つである。 Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α, β, και γ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση α2 + β2 = γ2, ευρέως γνωστή ως πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια τριάδα συνήθως γράφεται (α, β, γ), και ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι αριθμοί (3, 4, 5) εφόσον ισχύει . Εάν (α, β, γ) είναι πυθαγόρεια τριάδα, τότε ομοίως θα είναι και η (κα, κβ, κγ) για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο κ. Μια πρωτογενής πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή για την οποία οι α,β,γ είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β,γ είναι 1). Una terna pitagórica es un conjunto ordenado de tres números enteros positivos a, b, c, y son solución de la ecuación diofántica cuadrática .​ La nomenclatura se liga al teorema de Pitágoras, el cual afirma que en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que (donde t es la longitud de la hipotenusa; y las otras variables, longitudes de catetos, en números enteros). En sentido recíproco también se cumple, o sea, cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de los dos catetos y de la hipotenusa correspondiente, formando un triángulo rectángulo. 勾股数，又名商高數或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「」之中，的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。 如果是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即也是勾股数。若果三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数。
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