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Multiple integral Багатократний інтеграл 多重积分 Integral múltiple Integral múltiple Mehrfachintegral 多重積分 Кратный интеграл Obla integralo Całka wielokrotna Meervoudige integraal Multipelintegral Intégrale multiple Vícerozměrný integrál Integral lipat Integral múltipla 중적분 تكامل متعدد Integrale multiplo

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미적분학에서 중적분(重積分, 영어: multiple integral)은 정적분을 다변수 함수에까지 확장한 것이다. 이변수 함수의 경우를 이중 적분(二重積分, 영어: double integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 삼중 적분(三重積分, 영어: triple integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다. 계산을 위해 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표계와 원통좌표계를 쓴다. 중적분은 정적분을 여러 번 반복하여 계산할 수 있으며, 이를 푸비니 정리라고 한다. 복잡한 중적분의 계산에는 변수 변환을 통해 적분 집합이나 함수를 단순화하는 기법이 필요하며, 이를 치환 적분이라고 한다. 일변수 함수의 리만 적분 · · 르베그 적분 · 르베그-스틸티어스 적분에 대하여 각각 그에 대응하는 중적분이 존재한다. 임의의 측도(또는 유한 가법 측도)에 의한 적분이 주어졌을 때, 이에 대응하는 중적분은 곱측도에 의한 적분이다. Een meervoudige integraal is een integraal over een integratiegebied in meer dan een dimensie, van een functie van meerdere variabelen. Bij een enkelvoudige integraal berekent men de oppervlakte tussen de grafiek van de integrand en de as indien de functie niet negatief is. Bij een dubbele integraal berekent men de inhoud tussen de grafiek van de integrand en het integratiegebied indien de functie niet negatief is. Een drievoudige integraal is een integraal over een volume. Men kan zich zo'n integraal voorstellen als de massa van een object waarbij de integrand de (massa)dichtheid is. Ook in meer dan drie dimensies kan men meervoudige integralen definiëren. Het grootste probleem bij het berekenen van een meervoudige integraal is meestal niet de integrand, maar de complexiteit van het gebie A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o de . Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas. La integral múltiple és un tipus d'integral definida estesa a funcions de més d'una variable real, per exemple, o . Igual que la integral definida d'una funció positiva d'una variable representa l'àrea de la regió entre el gràfic de la funció i l'eix x, la integral doble d'una funció positiva de dues variables representa el volum de la regió compresa entre la funció i el pla que conté el seu domini. (El mateix volum es pot obtenir a través d'una integral triple — la integral de la funció de tres variables — de la funció constant f(x, y, z) = 1 sobre la regió esmentada abans entre la superfície i el pla, el mateix es pot fer amb una integral doble per calcular una superfície.) Si el nombre de variables és més gran, llavors la integral representa un , el volum d'un sòlid de més de tres dime L'integrale multiplo è una forma di integrale definito esteso a funzioni di più variabili reali (ad esempio a funzioni della forma o della forma ). Gli integrali definiti possiedono interpretazioni geometriche e fisiche significative: limitandosi per semplicità alle funzioni con valori positivi, mentre l'integrale definito per una funzione di una variabile rappresenta l'area della regione chiamata trapezoide compresa tra il suo grafico e l'asse delle ascisse, l'integrale definito per funzioni di due variabili (integrale doppio) fornisce la misura del volume del solido chiamato cilindroide compreso tra la superficie che ne dà il grafico e il piano contenente il suo dominio. En analyse mathématique, l'intégrale multiple est une forme d'intégrale qui s'applique aux fonctions de plusieurs variables réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le et le . Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension n (ou son hypervolume si n > 3) comme l'intégrale d'une fonction de n – 1 variables (Fig. 2), de même que l'intégrale définie d'une fonction continue positive d'une variable est égale à « l'aire sous la courbe » associée (Fig. 1). En matemáticas, específicamente en cálculo multivariable, una integral múltiple es un tipo de integral definida de una función de varias variables, por ejemplo, o . Integrales de funciones de dos variables sobre una región en son llamadas integrales dobles mientras que integrales de funciones de tres variables sobre una región en son llamadas integrales triples. В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл − это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число. Багатокра́тний інтегра́л це обмежений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, f(x, y) або f(x, y, z). Інтеграли функцій двох змінних в області R2 називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення R3 — потрійними інтегралами: * : * : Całka wielokrotna stopnia – całka po zmiennych z funkcji zmiennych: Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to: * całka podwójna * całka potrójna التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل أو. تسمى تكاملات دالة لمتغيرين على منطقة في R2 تكاملات ثنائية، وتسمى تكاملات دالة ذات ثلاثة متغيرات على منطقة R3 تكاملات ثلاثية. 数学の微分積分学周辺分野における重積分（じゅうせきぶん、英: multiple integral; 多重積分）は、一変数の実函数に対する定積分を多変数函数に対して拡張したものである。n-変数函数の重積分は n-重積分とも呼ばれ、二変数および三変数函数に対する重積分は、それぞれ特に二重積分 (double integral) および三重積分 (triple integral) と呼ばれる。 多重积分（英語：Multiple integral）是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数（多变量的函数），例如求或者类型的多元函数的积分。 Multipelintegral är en typ av integral utökad till funktioner av flera variabler, till exempel f(x, y) eller f(x, y, z). Vid integration av funktioner av en variabel f(x) är integralen ett mått på arean under funktionsgrafen. I fallet med funktioner av två variabler är integralen ett mått på volymen under funktionsytan och dess definitionsområde D ⊂ ℝ2. Multipel integration av en funktion av n variabler Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), integral lipat merupakan integral tentu dari , contohnya seperti f(x, y) atau f(x, y, z). Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real disebut integral lipat dua, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real disebut integral lipat tiga. In mathematics (specifically multivariable calculus), a multiple integral is a definite integral of a function of several real variables, for instance, f(x, y) or f(x, y, z). Integrals of a function of two variables over a region in (the real-number plane) are called double integrals, and integrals of a function of three variables over a region in (real-number 3D space) are called triple integrals. For multiple integrals of a single-variable function, see the Cauchy formula for repeated integration. La obla integralo estas etendita al funkcioj de pli ol unu reela variablo. Simile al tio ke la difinita integralo de pozitiva funkcio de unu variablo prezentas areon de la regiono inter la grafikaĵo de la funkcio kaj la x-akso, la duobla integralo de pozitiva funkcio de du variabloj prezentas volumenon de la regiono inter la surfaco difinita per la funkcio z = f(x, y) kaj la ebeno de x-akso kaj y-akso kiu enhavas ĝian argumentaron. Se estas pli multaj variabloj, obla integralo prezentas de la regiono donita per la funkcioj. Se T estas en R2, la integralo estas la triobla integralo de f sur T.

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L.D. Kudryavtsev

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Całka wielokrotna stopnia – całka po zmiennych z funkcji zmiennych: Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to: * całka podwójna * całka potrójna Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), integral lipat merupakan integral tentu dari , contohnya seperti f(x, y) atau f(x, y, z). Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real disebut integral lipat dua, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real disebut integral lipat tiga. En matemáticas, específicamente en cálculo multivariable, una integral múltiple es un tipo de integral definida de una función de varias variables, por ejemplo, o . Integrales de funciones de dos variables sobre una región en son llamadas integrales dobles mientras que integrales de funciones de tres variables sobre una región en son llamadas integrales triples. En analyse mathématique, l'intégrale multiple est une forme d'intégrale qui s'applique aux fonctions de plusieurs variables réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le et le . Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension n (ou son hypervolume si n > 3) comme l'intégrale d'une fonction de n – 1 variables (Fig. 2), de même que l'intégrale définie d'une fonction continue positive d'une variable est égale à « l'aire sous la courbe » associée (Fig. 1). 미적분학에서 중적분(重積分, 영어: multiple integral)은 정적분을 다변수 함수에까지 확장한 것이다. 이변수 함수의 경우를 이중 적분(二重積分, 영어: double integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 삼중 적분(三重積分, 영어: triple integral)이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다. 계산을 위해 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표계와 원통좌표계를 쓴다. 중적분은 정적분을 여러 번 반복하여 계산할 수 있으며, 이를 푸비니 정리라고 한다. 복잡한 중적분의 계산에는 변수 변환을 통해 적분 집합이나 함수를 단순화하는 기법이 필요하며, 이를 치환 적분이라고 한다. 일변수 함수의 리만 적분 · · 르베그 적분 · 르베그-스틸티어스 적분에 대하여 각각 그에 대응하는 중적분이 존재한다. 임의의 측도(또는 유한 가법 측도)에 의한 적분이 주어졌을 때, 이에 대응하는 중적분은 곱측도에 의한 적분이다. В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл − это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число. La obla integralo estas etendita al funkcioj de pli ol unu reela variablo. Simile al tio ke la difinita integralo de pozitiva funkcio de unu variablo prezentas areon de la regiono inter la grafikaĵo de la funkcio kaj la x-akso, la duobla integralo de pozitiva funkcio de du variabloj prezentas volumenon de la regiono inter la surfaco difinita per la funkcio z = f(x, y) kaj la ebeno de x-akso kaj y-akso kiu enhavas ĝian argumentaron. La samaj areo kaj volumeno povas esti ricevitaj ankaŭ alimaniere per la duobla integralo kaj triobla integralo respektive. La areo estas donita per integralo de konstanta funkcio de du variabloj f(x, y) = 1 tra la supremenciita regiono inter la grafikaĵo kaj la x-akso. La volumeno estas donita per integralo de konstanta funkcio de tri variabloj f(x, y, z) = 1 tra la supremenciita regiono inter la surfaco kaj la ebeno. Se estas pli multaj variabloj, obla integralo prezentas de la regiono donita per la funkcioj. Obla integralado de funkcio en n variabloj: f(x1, x2, ..., xn) super argumentaro D estas ofte prezentita per n (la alia varianto estas skribi nur unu integralsignon sendepende de n). Laŭ konvencio, la kvanto de integralsignoj egalas al dimensio de la domajno. Ĉi tiu estas skribmaniero kiu estas oportuna se kalkuli oblan integralon kiel ripetita integralo (vidu sube pri la kondiĉoj). Se T estas en R2, la integralo estas la duobla integralo de f sur T, kaj se T estas en R3 la integralo estas la triobla integralo de f sur T. Pro tio ke ne eblas kalkuli la malderivaĵo de funkcio de pli ol unu variablo, nedifinitaj oblaj integraloj ne ekzisti. Pro tiaj ĉiuj oblaj integraloj estas difinitaj integraloj. التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل أو. تسمى تكاملات دالة لمتغيرين على منطقة في R2 تكاملات ثنائية، وتسمى تكاملات دالة ذات ثلاثة متغيرات على منطقة R3 تكاملات ثلاثية. Багатокра́тний інтегра́л це обмежений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, f(x, y) або f(x, y, z). Інтеграли функцій двох змінних в області R2 називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення R3 — потрійними інтегралами: * : * : La integral múltiple és un tipus d'integral definida estesa a funcions de més d'una variable real, per exemple, o . Igual que la integral definida d'una funció positiva d'una variable representa l'àrea de la regió entre el gràfic de la funció i l'eix x, la integral doble d'una funció positiva de dues variables representa el volum de la regió compresa entre la funció i el pla que conté el seu domini. (El mateix volum es pot obtenir a través d'una integral triple — la integral de la funció de tres variables — de la funció constant f(x, y, z) = 1 sobre la regió esmentada abans entre la superfície i el pla, el mateix es pot fer amb una integral doble per calcular una superfície.) Si el nombre de variables és més gran, llavors la integral representa un , el volum d'un sòlid de més de tres dimensions que no es pot representar gràficament.La integració múltiple d'una funció de variables: sobre un domini normalment es representa a base d'una sèrie de signes d'integració en l'ordre invers d'execució (el signe d'integració de més a l'esquerra és el que es calcula últim) seguida per la funció i la llista dels arguments d'integració en l'ordre directe (l'argument de més a la dreta és l'últim que es calcula). El domini d'integració es representa simbòlicament, o bé per a cada integrand a cada signe integral, o sovint és abreviat amb una variable davall del signe integral de més a la dreta: A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o de . Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguidos pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita: Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas. In mathematics (specifically multivariable calculus), a multiple integral is a definite integral of a function of several real variables, for instance, f(x, y) or f(x, y, z). Integrals of a function of two variables over a region in (the real-number plane) are called double integrals, and integrals of a function of three variables over a region in (real-number 3D space) are called triple integrals. For multiple integrals of a single-variable function, see the Cauchy formula for repeated integration. 多重积分（英語：Multiple integral）是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数（多变量的函数），例如求或者类型的多元函数的积分。 L'integrale multiplo è una forma di integrale definito esteso a funzioni di più variabili reali (ad esempio a funzioni della forma o della forma ). Gli integrali definiti possiedono interpretazioni geometriche e fisiche significative: limitandosi per semplicità alle funzioni con valori positivi, mentre l'integrale definito per una funzione di una variabile rappresenta l'area della regione chiamata trapezoide compresa tra il suo grafico e l'asse delle ascisse, l'integrale definito per funzioni di due variabili (integrale doppio) fornisce la misura del volume del solido chiamato cilindroide compreso tra la superficie che ne dà il grafico e il piano contenente il suo dominio. In generale gli integrali definiti di funzioni di 3 o più variabili sono interpretabili come misure di , ovvero di volumi di solidi di 4 o più dimensioni, non rappresentabili quindi graficamente. Un integrale triplo, integrale definito di una funzione di tre variabili, è interpretabile fisicamente come misura della massa di un corpo che occupa lo spazio che corrisponde al dominio e che ha la densità variabile fornita dai valori della funzione stessa. Multipelintegral är en typ av integral utökad till funktioner av flera variabler, till exempel f(x, y) eller f(x, y, z). Vid integration av funktioner av en variabel f(x) är integralen ett mått på arean under funktionsgrafen. I fallet med funktioner av två variabler är integralen ett mått på volymen under funktionsytan och dess definitionsområde D ⊂ ℝ2. Multipel integration av en funktion av n variabler över en domän D representeras oftast av kapslade integraltecken i omvänd ordning till utförandet av integrationen (integraltecknet längst till vänster beräknas sist), följt av funktionen och integralargumenten i rätt ordning (integralen beräknas sist med avseende på argumentet längst till höger). Integrationsdomänen representeras antingen symboliskt för varje argument över varje integraltecken, eller förkortas med en variabel vid intergraltecknet längst till höger: 数学の微分積分学周辺分野における重積分（じゅうせきぶん、英: multiple integral; 多重積分）は、一変数の実函数に対する定積分を多変数函数に対して拡張したものである。n-変数函数の重積分は n-重積分とも呼ばれ、二変数および三変数函数に対する重積分は、それぞれ特に二重積分 (double integral) および三重積分 (triple integral) と呼ばれる。 Een meervoudige integraal is een integraal over een integratiegebied in meer dan een dimensie, van een functie van meerdere variabelen. Bij een enkelvoudige integraal berekent men de oppervlakte tussen de grafiek van de integrand en de as indien de functie niet negatief is. Bij een dubbele integraal berekent men de inhoud tussen de grafiek van de integrand en het integratiegebied indien de functie niet negatief is. Een drievoudige integraal is een integraal over een volume. Men kan zich zo'n integraal voorstellen als de massa van een object waarbij de integrand de (massa)dichtheid is. Ook in meer dan drie dimensies kan men meervoudige integralen definiëren. Het grootste probleem bij het berekenen van een meervoudige integraal is meestal niet de integrand, maar de complexiteit van het gebied waarover wordt geïntegreerd.

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