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rdfs:label: Аналітична функція 解析函数解析関数 Аналитическая функция Funzione analitica Голоморфна функція Funkcja analityczna Holomorphe Funktion Analytic function 正則関数 해석 함수 Función holomorfa Голоморфная функция Função analítica Analytische functie Función analítica Holomorfní funkce Funció analítica Funció holomorfa Αναλυτική συνάρτηση Funzione olomorfa Funkcja holomorficzna Função holomorfa Analytická funkce دالة تحليلية 全纯函数 Ολόμορφη συνάρτηση Holomorfa funkcio 정칙 함수 Fonction analytique Analytisk funktion دالة تامة الشكل Fonction holomorphe Holomorfe functie Analytische Funktion
rdfs:comment: In matematica, una funzione olomorfa (composizione delle parole greche "holos", tutto e "morphe", forma; in riferimento alla capacità della derivata di rimanere uguale a sé stessa nelle trasformazioni) è una funzione definita su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi con valori in che è differenziabile in senso complesso in ogni punto del dominio. Le funzioni olomorfe sono tra gli oggetti principali dell'analisi complessa. Si dimostra che possono essere scritte ovunque come serie di potenze convergenti. Detto in altri termini, sono funzioni analitiche, e il termine "funzione analitica" viene utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa. In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von altgriechisch ὅλος holos „ganz, vollständig“ und μορφή morphē „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von komplex differenzierbar ist. Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals reeller Funktionen gelten dabei weiterhin für komplexe Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexw 複素解析における正則関数（せいそくかんすう、英: regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、英: holomorphic function）とは、ガウス平面上あるいはリーマン面上のある領域について、常に微分可能な複素変数を指す。 Στα μαθηματικά, μια αναλυτική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που τοπικά δίνεται από μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά. Οι αναλυτικές συναρτήσεις χωρίζονται σε πραγματικές και μιγαδικές. Μια συνάρτηση είναι αναλυτική αν και μόνο αν είναι ίση με μια σειρά Taylor σε κάποια γειτονιά για κάθε σημείο. Απλό παράδειγμα αναλυτικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής είναι τα πολυώνυμα. Κάθε πολυώνυμο (πραγματικό ή μιγαδικό) είναι μια αναλυτική συνάρτηση. Αναλυτικές συναρτήσεις είναι επίσης η εκθετική συνάρτηση, η λογαριθμική συνάρτηση και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Аналіти́чна фу́нкція — функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення. У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності. Στα μαθηματικά, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι τα βασικά αντικείμενα μελέτης στην μιγαδική ανάλυση. Μια ολόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση μιας ή περισσότερων μιγαδικών μεταβλητών που είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μιας περιοχής του της. Η ύπαρξη μιας μιγαδικής παραγώγου σε μια περιοχή τιμών είναι πολύ σημαντική, γιατί υποδηλώνει ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη και ίση με τη δική της σειρά Taylor. 수학에서 해석 함수(解析函數, 영어: analytic function)란 국소적으로(locally) 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 함수 가 한 점 에서 해석적이라는 것은 그 점 근방에서의 테일러 급수가 수렴하는 것과 같은 의미이고, 정의역 의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라고 한다. 일반적으로 해석 함수는 실함수와 복소 함수의 경우로 나누어 생각하며, 복소 해석 함수는 실해석 함수에 비해 수학적으로 풍부한 성질을 갖는다. في الرياضيات، تعد الدوال التامة الشكل مركزية في دراسة التحليل العقدي. دالة تامة الشكل (بالإنجليزية: Holomorphic function)‏ هي دالة عقدية معرفة في ، يشترط فيها أن تكون قابلة للتفاضل في ما لأي نقطة من مجموعة انطلاقها. Голоморфная функция или однозначная комплексная аналитическая функция (от греч. ὅλος — «весь, целый» и μορφή — «форма»), иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости и комплексно дифференцируемая в каждой точке. В отличие от вещественного случая, это условие означает, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора. Les funcions holomorfes són l'objecte central d'estudi de l'anàlisi complexa; són funcions definides en un subconjunt obert del pla complex amb valors a que són complexament diferenciables en tots els punts. Això és una condició molt més forta que la diferenciabilitat real i implica que la funció és infinitament diferenciable i es pot descriure per la seva sèrie de Taylor. El terme funció analítica és utilitzat sovint com a sinònim de "funció holomorfa". Una funció que és holomorfa en tot el pla complex s'anomena funció entera. La frase "holomorfa en un punt a" significa que no només és diferenciable en a, sinó que és diferenciable en tot un disc obert centrat en a en el pla complex. Biholomorfa és una funció holomorfa bijectiva amb una funció inversa també holomorfa. La paraula "holomor Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci to znamená na okolí bodu , kde je libovolný bod . Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna z okolí bodu . Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní. Všechny holomorfní funkce jsou analytické. 解析関数（かいせきかんすう、英: analytic function）とは、定義域の各点において解析的（収束冪級数で書ける）な関数のことである。場合により多少異なった意味でも用いられる。複素変数 z の複素数値関数 f(z) が1点 z = c で解析的 (analytic) であるとは、c の近傍で z − c の冪級数で表されることを云う。 복소해석학에서 정칙 함수(正則函數, 영어: holomorphic function)는 복소 함수에 대한, 미분 가능 함수와 해석 함수에 동시에 대응하는 개념이다. 실수 함수의 경우 미분 가능 함수의 개념은 해석 함수의 개념보다 훨씬 약하지만, 복소 함수의 경우 같은 개념에 대응한다. Holomorfe functies (van het Griekse ὅλος (holos) dat geheel betekent) zijn het centrale onderwerp van studie binnen de complexe functietheorie, een deelgebied van de wiskunde. Holomorfe functies zijn functies die op een open deelverzameling van het complexe vlak zijn gedefinieerd met waarden in en die in ieder punt in dit definitiegebied als complexe functie kunnen worden gedifferentieerd. Dit is een veel sterkere conditie dan de reële differentieerbaarheid en houdt in dat de functie een gladde functie is, dus oneindig vaak kan worden gedifferentieerd. In de wiskunde is een analytische functie een functie die lokaal door een machtreeks kan worden benaderd die convergent is. Er zijn zowel reëelwaardige als complexwaardige analytische functies. Beide soorten functies kunnen weliswaar oneindig vaak worden gedifferentieerd, maar complexe hebben eigenschappen die niet algemeen voor reële gelden. Deze definitie komt er voor een functie in een punt mee overeen dat er een omgeving van is, waarin de taylorontwikkeling van convergeert. In mathematics, an analytic function is a function that is locally given by a convergent power series. There exist both real analytic functions and complex analytic functions. Functions of each type are infinitely differentiable, but complex analytic functions exhibit properties that do not generally hold for real analytic functions. A function is analytic if and only if its Taylor series about x0 converges to the function in some neighborhood for every x0 in its domain. Analytiska funktioner (även komplexanalytiska funktioner eller holomorfa funktioner) studeras i den del av matematiken som kallas komplex analys. En komplexvärd funktion f av en komplex variabel z är analytisk i punkten z0 om dess komplexa derivata Exempel på hela funktioner är * polynomfunktioner * * Exempel på kontinuerliga funktioner som inte är analytiska i någon punkt är * (absolutbeloppet av z). * (komplexkonjugatet av z). Varje analytisk funktion uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer. Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения. Однозначная функция называется аналитической в точке , если сужение функции на некоторую окрестность является аналитической функцией.Если функция аналитична в точке , то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки . Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция , для которой в некоторой односвязной области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий: 在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與中有重要應用。一个函数是解析函数当且仅当这个函数在它定义域内的每个点的邻域内的泰勒级数都收敛。解析函數集有時也寫作。 Funkcja holomorficzna – funkcja zespolona na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych, która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru. Funkcje holomorficzne to główny obiekt badań analizy zespolonej. Holomorficzność funkcji jest warunkiem dużo silniejszym niż różniczkowalność w sensie rzeczywistym, gdyż funkcja o tej własności jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, przez co może być przedstawiona za pomocą wzoru (szeregu) Taylora. In matematica, una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente. Spesso il termine "funzione analitica" è utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa, sebbene quest'ultimo si utilizzi più spesso per le funzioni complesse (tutte le funzioni olomorfe sono funzioni analitiche complesse e viceversa). Una funzione è analitica se e solo se, preso comunque un punto appartenente al dominio della funzione, esiste un suo intorno in cui la funzione coincide col suo sviluppo in serie di Taylor. En kompleksa analitiko, holomorfa funkcio aŭ holomorfio estas kompleksvalora funkcio sur subaro de kompleksa ebeno (aŭ pli ĝenerale kompleksa sternaĵo), kiu estas derivebla kaj analitika en la kompleksa senco. Pri reelaj funkcioj, la koncepto de deriveblo kaj analitikeco estas tre malsamaj; tamen por kompleksaj funkcioj la du konceptoj estas samampleksaj. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ℂ. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe. 全纯函数（英語：Holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面的开子集上的，在复平面中取值的，在每点上皆複可微的函数。全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数。在一点全纯，不仅表意味着可微，而且表示在某个中心为的复平面上的开邻域上可微。 Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo com valores em que são diferenciáveis em cada ponto. Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto " significa não só diferenciável em , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em , no plano complexo. هذا المقال يتحدث بشكل عام على الدوال التحليلية ذات القيم الحقيقية أو العقدية. للحديث عن الدوال ذات القيم العقدية بشكل خاص، انظر إلى دالة تامة الشكل. في الرياضيات، دالة تحليلية (بالإنجليزية: Analytic function)‏ هي دالة رياضية يمكن أن يُعبر عنها محليا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة. عند الحديث عن دالة تحليلية، قد يُقصد دالة تحليلية حقيقية وقد يُقصد دالة تحليلية عقدية (أي قيمها أعداد عقدية) فمثلا يُقال عن الدالة (f(x أنها دالة تحليلية في النقطة x0 ، إذا أمكن تمثيل (f(x بمتسلسلة تايلور لقوى (x - x0). Голомо́рфна фу́нкція — комплексна функція, визначена на відкритій підмножині комплексної площини , що має комплексну похідну в кожній точці цієї множини. Голоморфність функції є досить сильною умовою. На відміну від випадку дійсних функцій, голоморфність означає, що функція є нескінченно диференційовною і рівна сумі свого ряду Тейлора в околі кожної точки. Funkcja analityczna na zbiorze – funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu należącego do Holomorfní funkce jsou důležitým pojmem komplexní analýzy. Jsou to komplexní funkce definované na otevřených podmnožinách komplexní roviny C takové, že jsou komplexně diferencovatelné. Diferencovatelnost v komplexních číslech je silnější požadavek než v číslech reálných a implikuje fakt, že daná funkce je nekonečně diferencovatelná a rozvinutelná do Taylorovy řady. Výraz „holomorfní funkce“ bývá často zaměňován s pojmem funkce analytická, ačkoliv tento výraz má i jiné významy. Funkce holomorfní na celé komplexní rovině se označuje jako celá. En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica. Cabe dejar constancia que las clases más importantes de funciones que ocurren en el análisis clásico y en sus aplicaciones a los problemas de mecánica y física, sean analíticas, salvo en algunos puntos singulares de estas funciones. Em matemática, uma função analítica é uma função que pode ser localmente expandida em séries de Taylor. Grosseiramente falando, funções analíticas são uma família mais ampla que a das funções polinomiais mas que ainda preserva certas propriedades destes. Classicamente falando, existem funções analíticas reais e funções analíticas complexas. O desenvolvimento da análise funcional ao longo do século XX levou ao surgimento de teorias de funções analíticas que assumem valores em um espaço de Banach complexo arbitrário. En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout de ce domaine, il existe une suite donnant une expression de la fonction, valable pour tout assez proche de , sous la forme d'une série convergente : Article détaillé : Fonction holomorphe. Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejo y con valores en , que son complejo-diferenciables en algún entorno de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto. Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor. Als analytisch bezeichnet man in der Mathematik eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Aufgrund der Unterschiede zwischen reeller und komplexer Analysis spricht man zur Verdeutlichung oft auch explizit von reell-analytischen oder komplex-analytischen Funktionen. Im Komplexen sind die Eigenschaften analytisch und holomorph äquivalent. Ist eine Funktion in der gesamten komplexen Ebene definiert und analytisch, nennt man sie ganz. Una funció analítica és una funció que pot ser expressada localment com una sèrie de potències enteres convergent. En anàlisi complexa, les funcions holomorfes són analítiques.
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dbo:abstract: في الرياضيات، تعد الدوال التامة الشكل مركزية في دراسة التحليل العقدي. دالة تامة الشكل (بالإنجليزية: Holomorphic function)‏ هي دالة عقدية معرفة في ، يشترط فيها أن تكون قابلة للتفاضل في ما لأي نقطة من مجموعة انطلاقها. Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения. Однозначная функция называется аналитической в точке , если сужение функции на некоторую окрестность является аналитической функцией.Если функция аналитична в точке , то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки . Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция , для которой в некоторой односвязной области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий: 1. * Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится, и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса). 2. * В каждой точке выполняются условия Коши — Римана и Здесь и — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.) 3. * Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши). 4. * Функция является голоморфной в области . То есть комплексно дифференцируема в каждой точке . В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений. 全纯函数（英語：Holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面的开子集上的，在复平面中取值的，在每点上皆複可微的函数。全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数。在一点全纯，不仅表意味着可微，而且表示在某个中心为的复平面上的开邻域上可微。 هذا المقال يتحدث بشكل عام على الدوال التحليلية ذات القيم الحقيقية أو العقدية. للحديث عن الدوال ذات القيم العقدية بشكل خاص، انظر إلى دالة تامة الشكل. في الرياضيات، دالة تحليلية (بالإنجليزية: Analytic function)‏ هي دالة رياضية يمكن أن يُعبر عنها محليا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة. عند الحديث عن دالة تحليلية، قد يُقصد دالة تحليلية حقيقية وقد يُقصد دالة تحليلية عقدية (أي قيمها أعداد عقدية) فمثلا يُقال عن الدالة (f(x أنها دالة تحليلية في النقطة x0 ، إذا أمكن تمثيل (f(x بمتسلسلة تايلور لقوى (x - x0). Στα μαθηματικά, μια αναλυτική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που τοπικά δίνεται από μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά. Οι αναλυτικές συναρτήσεις χωρίζονται σε πραγματικές και μιγαδικές. Μια συνάρτηση είναι αναλυτική αν και μόνο αν είναι ίση με μια σειρά Taylor σε κάποια γειτονιά για κάθε σημείο. Απλό παράδειγμα αναλυτικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής είναι τα πολυώνυμα. Κάθε πολυώνυμο (πραγματικό ή μιγαδικό) είναι μια αναλυτική συνάρτηση. Αναλυτικές συναρτήσεις είναι επίσης η εκθετική συνάρτηση, η λογαριθμική συνάρτηση και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. En kompleksa analitiko, holomorfa funkcio aŭ holomorfio estas kompleksvalora funkcio sur subaro de kompleksa ebeno (aŭ pli ĝenerale kompleksa sternaĵo), kiu estas derivebla kaj analitika en la kompleksa senco. Pri reelaj funkcioj, la koncepto de deriveblo kaj analitikeco estas tre malsamaj; tamen por kompleksaj funkcioj la du konceptoj estas samampleksaj. Les funcions holomorfes són l'objecte central d'estudi de l'anàlisi complexa; són funcions definides en un subconjunt obert del pla complex amb valors a que són complexament diferenciables en tots els punts. Això és una condició molt més forta que la diferenciabilitat real i implica que la funció és infinitament diferenciable i es pot descriure per la seva sèrie de Taylor. El terme funció analítica és utilitzat sovint com a sinònim de "funció holomorfa". Una funció que és holomorfa en tot el pla complex s'anomena funció entera. La frase "holomorfa en un punt a" significa que no només és diferenciable en a, sinó que és diferenciable en tot un disc obert centrat en a en el pla complex. Biholomorfa és una funció holomorfa bijectiva amb una funció inversa també holomorfa. La paraula "holomorfa" deriva del grec "holos" que significa "sencer" i "morphe" que significa "forma" o "aparença". Una funció analítica és una funció que pot ser expressada localment com una sèrie de potències enteres convergent. En anàlisi complexa, les funcions holomorfes són analítiques. Στα μαθηματικά, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι τα βασικά αντικείμενα μελέτης στην μιγαδική ανάλυση. Μια ολόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση μιας ή περισσότερων μιγαδικών μεταβλητών που είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μιας περιοχής του της. Η ύπαρξη μιας μιγαδικής παραγώγου σε μια περιοχή τιμών είναι πολύ σημαντική, γιατί υποδηλώνει ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη και ίση με τη δική της σειρά Taylor. Ο όρος αναλυτική συνάρτηση συχνά χρησιμοποιείται αντί του "ολόμορφη συνάρτηση", αν και ο όρος "αναλυτική" χρησιμοποιείται επίσης με την ευρύτερη έννοια για να περιγράψει οποιαδήποτε συνάρτηση (πραγματική, μιγαδική, ή πιο γενικού τύπου) που μπορεί να γραφτεί ως συγκλίνουσα δυναμοσειρά γύρω από κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Το γεγονός ότι όλες οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι μιγαδικές αναλυτικές συναρτήσεις, και αντιστρόφως, είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη μιγαδική ανάλυση. Οι ολόμορφες συναρτήσεις αναφέρονται επίσης, μερικές φορές, ως αναλυτικές συναρτήσεις ή ως σύμορφη απεικόνιση. Μία ολόμορφη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο ονομάζεται μια ακέραια συνάρτηση. Η φράση "ολόμορφη σε ένα σημείο z0" σημαίνει όχι μόνο παραγωγήσιμη στο z0, αλλά παραγωγίσιμη παντού μέσα σε κάποια περιοχή του z0 στο μιγαδικό επίπεδο. In matematica, una funzione olomorfa (composizione delle parole greche "holos", tutto e "morphe", forma; in riferimento alla capacità della derivata di rimanere uguale a sé stessa nelle trasformazioni) è una funzione definita su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi con valori in che è differenziabile in senso complesso in ogni punto del dominio. Le funzioni olomorfe sono tra gli oggetti principali dell'analisi complessa. Si dimostra che possono essere scritte ovunque come serie di potenze convergenti. Detto in altri termini, sono funzioni analitiche, e il termine "funzione analitica" viene utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa. La differenziabilità in senso complesso di una funzione complessa è una condizione molto più stringente della differenziabilità reale in quanto implica che la funzione sia infinite volte differenziabile e che possa essere completamente individuata dalla sua serie di Taylor. In alcuni testi le funzioni olomorfe (e le loro derivate) definite su un aperto sono dette funzioni analitiche. In tale contesto si definisce biolomorfismo fra due insiemi aperti di una funzione olomorfa che sia iniettiva, suriettiva, e la cui inversa è anch'essa olomorfa. Аналіти́чна фу́нкція — функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення. У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності. Holomorfe functies (van het Griekse ὅλος (holos) dat geheel betekent) zijn het centrale onderwerp van studie binnen de complexe functietheorie, een deelgebied van de wiskunde. Holomorfe functies zijn functies die op een open deelverzameling van het complexe vlak zijn gedefinieerd met waarden in en die in ieder punt in dit definitiegebied als complexe functie kunnen worden gedifferentieerd. Dit is een veel sterkere conditie dan de reële differentieerbaarheid en houdt in dat de functie een gladde functie is, dus oneindig vaak kan worden gedifferentieerd. Cauchy heeft bewezen dat iedere holomorfe functie ook een analytische functie is. Dit is een belangrijke stelling uit de complexe functietheorie. Analytische functie en holomorfe functie worden daarom vaak door elkaar gebruikt. Een analytische functie is een functie die in de omgeving van, binnen een open schijf om ieder punt op zijn domein een taylorreeksontwikkeling heeft. Een functie die over het hele complexe vlak holomorf is, wordt ook een gehele functie genoemd. 복소해석학에서 정칙 함수(正則函數, 영어: holomorphic function)는 복소 함수에 대한, 미분 가능 함수와 해석 함수에 동시에 대응하는 개념이다. 실수 함수의 경우 미분 가능 함수의 개념은 해석 함수의 개념보다 훨씬 약하지만, 복소 함수의 경우 같은 개념에 대응한다. In matematica, una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente. Spesso il termine "funzione analitica" è utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa, sebbene quest'ultimo si utilizzi più spesso per le funzioni complesse (tutte le funzioni olomorfe sono funzioni analitiche complesse e viceversa). Una funzione è analitica se e solo se, preso comunque un punto appartenente al dominio della funzione, esiste un suo intorno in cui la funzione coincide col suo sviluppo in serie di Taylor. Le funzioni analitiche possono essere viste come un ponte fra i polinomi e le funzioni generiche. Esistono le funzioni analitiche reali e le funzioni analitiche complesse: simili in alcuni aspetti, differenti in altri. Funzioni di questo tipo sono infinitamente derivabili, ma le funzioni analitiche complesse esibiscono proprietà che generalmente non appartengono alle funzioni analitiche reali. Em matemática, uma função analítica é uma função que pode ser localmente expandida em séries de Taylor. Grosseiramente falando, funções analíticas são uma família mais ampla que a das funções polinomiais mas que ainda preserva certas propriedades destes. Classicamente falando, existem funções analíticas reais e funções analíticas complexas. O desenvolvimento da análise funcional ao longo do século XX levou ao surgimento de teorias de funções analíticas que assumem valores em um espaço de Banach complexo arbitrário. In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von altgriechisch ὅλος holos „ganz, vollständig“ und μορφή morphē „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von komplex differenzierbar ist. Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals reeller Funktionen gelten dabei weiterhin für komplexe Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik. Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs können für holomorphe Funktionen , wobei die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift in der Nähe jedes Wertes ihres Definitionsbereichs sehr gut durch die lineare Funktion angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von in . Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem Entwicklungspunkt, benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen. Hintergrund der Begriffsstärke der Holomorphie ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur einem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen beim Grenzübergang zum Differentialquotienten unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden – eine höhere Anforderung als nur die beiden Richtungen „positiv“ und „negativ“ auf dem reellen Zahlenstrahl. Im Laufe des 19. und 20. Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen. In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich zwei Millennium-Probleme der Mathematik, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und die Riemannsche Vermutung, drehen sich um das Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen. Holomorfní funkce jsou důležitým pojmem komplexní analýzy. Jsou to komplexní funkce definované na otevřených podmnožinách komplexní roviny C takové, že jsou komplexně diferencovatelné. Diferencovatelnost v komplexních číslech je silnější požadavek než v číslech reálných a implikuje fakt, že daná funkce je nekonečně diferencovatelná a rozvinutelná do Taylorovy řady. Výraz „holomorfní funkce“ bývá často zaměňován s pojmem funkce analytická, ačkoliv tento výraz má i jiné významy. Funkce holomorfní na celé komplexní rovině se označuje jako celá. En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout de ce domaine, il existe une suite donnant une expression de la fonction, valable pour tout assez proche de , sous la forme d'une série convergente : Toute fonction analytique est dérivable de dérivée analytique, ce qui implique que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en analyse réelle. En revanche, en analyse complexe, toute fonction simplement dérivable sur un ouvert est analytique et vérifie de nombreuses autres propriétés. Article détaillé : Fonction holomorphe. Qu'elle soit de variable réelle ou complexe, une fonction analytique sur un ouvert connexe et non identiquement nulle a ses zéros isolés. Cette propriété induit l'unicité du prolongement analytique sur tout ouvert connexe. Голоморфная функция или однозначная комплексная аналитическая функция (от греч. ὅλος — «весь, целый» и μορφή — «форма»), иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости и комплексно дифференцируемая в каждой точке. В отличие от вещественного случая, это условие означает, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора. Голоморфные функции также называют иногда аналитическими, хотя второе понятие гораздо более широкое, так как аналитическая функция может быть многозначной, а также может рассматриваться и для вещественных чисел. Funkcja holomorficzna – funkcja zespolona na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych, która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru. Funkcje holomorficzne to główny obiekt badań analizy zespolonej. Holomorficzność funkcji jest warunkiem dużo silniejszym niż różniczkowalność w sensie rzeczywistym, gdyż funkcja o tej własności jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, przez co może być przedstawiona za pomocą wzoru (szeregu) Taylora. Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejo y con valores en , que son complejo-diferenciables en algún entorno de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto. Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor. El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no solo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo. Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci to znamená na okolí bodu , kde je libovolný bod . Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna z okolí bodu . Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní. Všechny holomorfní funkce jsou analytické. In mathematics, an analytic function is a function that is locally given by a convergent power series. There exist both real analytic functions and complex analytic functions. Functions of each type are infinitely differentiable, but complex analytic functions exhibit properties that do not generally hold for real analytic functions. A function is analytic if and only if its Taylor series about x0 converges to the function in some neighborhood for every x0 in its domain. Analytiska funktioner (även komplexanalytiska funktioner eller holomorfa funktioner) studeras i den del av matematiken som kallas komplex analys. En komplexvärd funktion f av en komplex variabel z är analytisk i punkten z0 om dess komplexa derivata existerar för alla z i en omgivning av z0, där h är ett komplext tal. Detta kan tyckas vara en obetydlig förändring jämfört med definitionen på derivata, men innebär en mycket annorlunda teori jämfört med reell analys. Den är analytisk i ett område Ω i det komplexa talplanet om den är analytisk i varje punkt z i Ω. En funktion som är analytisk i hela det komplexa talplanet kallas hel funktion. Exempel på hela funktioner är * polynomfunktioner * * Exempel på kontinuerliga funktioner som inte är analytiska i någon punkt är * (absolutbeloppet av z). * (komplexkonjugatet av z). Enligt en sats ur komplexa analysen har varje analytisk funktion också analytisk derivata. Det medför att om en funktion har en derivata har den oändligt många derivator och kan utvecklas i potensserie i en öppen mängd kring alla punkter i definitionsmängden. Löst uttryckt innebär detta att analytiska funktioner med nödvändighet "uppför sig väl". Jämför med det reella fallet, där högre ordningars derivator inte behöver existera, även om en funktion är deriverbar. Varje analytisk funktion uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer. De enda hela begränsade funktionerna är enligt Liouvilles sats de konstanta funktionerna. Detta leder till ett koncist bevis för den viktiga algebrans fundamentalsats. Analytiska funktioner uppfyller Cauchys integralsats. Genom att betrakta "nästan" analytiska funktioner kan man visa Cauchys integralformel som är ett kraftfullt verktyg för beräkning av vissa integraler (exempelvis Fouriertransformen) vilket är svårt med andra metoder. Teorin har även kopplingar till icke-euklidisk geometri, särskilt via Möbiusavbildningar och konforma avbildningar. En teoretiskt mycket viktig egenskap, och ett av de elegantaste resultaten i hela teorin för analytiska funktioner av en komplex variabel, ges av Riemanns avbildningssats, som innebär att varje öppen enkelt sammanhängande mängd, skild från hela komplexa talplanet ℂ kan avbildas konformt till det inre av enhetscirkeln. Det betyder till exempel att man i princip alltid kan lösa Laplaces ekvation i ℂ och ℝ2. I modern forskning studerar man även där teorin skiljer sig åt betydligt jämfört med komplex analys i en variabel.[källa behövs] Голомо́рфна фу́нкція — комплексна функція, визначена на відкритій підмножині комплексної площини , що має комплексну похідну в кожній точці цієї множини. Голоморфність функції є досить сильною умовою. На відміну від випадку дійсних функцій, голоморфність означає, що функція є нескінченно диференційовною і рівна сумі свого ряду Тейлора в околі кожної точки. В комплексному аналізі голоморфні функції також називають аналітичними і обидва терміни використовуються в літературі як синоніми. Проте поняття аналітичних функцій має зміст і для функцій дійсних змінних . Факт, що для комплексних функцій комплексної змінної множини голоморфних та аналітичних функцій є рівними є одним із головних результатів комплексного аналізу. Funkcja analityczna na zbiorze – funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu należącego do 複素解析における正則関数（せいそくかんすう、英: regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、英: holomorphic function）とは、ガウス平面上あるいはリーマン面上のある領域について、常に微分可能な複素変数を指す。 En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ℂ. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe. En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica. Cabe dejar constancia que las clases más importantes de funciones que ocurren en el análisis clásico y en sus aplicaciones a los problemas de mecánica y física, sean analíticas, salvo en algunos puntos singulares de estas funciones. In de wiskunde is een analytische functie een functie die lokaal door een machtreeks kan worden benaderd die convergent is. Er zijn zowel reëelwaardige als complexwaardige analytische functies. Beide soorten functies kunnen weliswaar oneindig vaak worden gedifferentieerd, maar complexe hebben eigenschappen die niet algemeen voor reële gelden. Deze definitie komt er voor een functie in een punt mee overeen dat er een omgeving van is, waarin de taylorontwikkeling van convergeert. Het is voor complexwaardige functies hetzelfde dat zij analytisch of holomorf zijn. Een gehele functie is een complexwaardige fuctie die over het gehele complexe vlak analytisch, of wat hetzelfde is, holomorf is. Bronvermelding * Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Analytic function op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar. 在數學中，解析函数（英語：Analytic function）是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與中有重要應用。一个函数是解析函数当且仅当这个函数在它定义域内的每个点的邻域内的泰勒级数都收敛。解析函數集有時也寫作。 Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo com valores em que são diferenciáveis em cada ponto. Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto " significa não só diferenciável em , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em , no plano complexo. 解析関数（かいせきかんすう、英: analytic function）とは、定義域の各点において解析的（収束冪級数で書ける）な関数のことである。場合により多少異なった意味でも用いられる。複素変数 z の複素数値関数 f(z) が1点 z = c で解析的 (analytic) であるとは、c の近傍で z − c の冪級数で表されることを云う。 Als analytisch bezeichnet man in der Mathematik eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Aufgrund der Unterschiede zwischen reeller und komplexer Analysis spricht man zur Verdeutlichung oft auch explizit von reell-analytischen oder komplex-analytischen Funktionen. Im Komplexen sind die Eigenschaften analytisch und holomorph äquivalent. Ist eine Funktion in der gesamten komplexen Ebene definiert und analytisch, nennt man sie ganz. 수학에서 해석 함수(解析函數, 영어: analytic function)란 국소적으로(locally) 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 함수 가 한 점 에서 해석적이라는 것은 그 점 근방에서의 테일러 급수가 수렴하는 것과 같은 의미이고, 정의역 의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라고 한다. 일반적으로 해석 함수는 실함수와 복소 함수의 경우로 나누어 생각하며, 복소 해석 함수는 실해석 함수에 비해 수학적으로 풍부한 성질을 갖는다.
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