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- En teoria de conjunts, un cardinal regular és un nombre cardinal que és igual a la seva pròpia cofinalitat. Més explícitament, això significa que és un cardinal normal si i només si cada subconjunt il·limitat té cardinalitat . Els infinits cardinals ben ordenats que no són regulars s’anomenen cardinals singulars. Els nombres cardinals finits normalment no s’anomenen ni regulars ni singulars. En presència de l'axioma d'elecció, qualsevol nombre cardinal pot estar ben ordenat i, i llavors els següents són equivalents per a un cardinal : 1.
* és un cardinal regular. 2.
* Si i per tot , llavors . 3.
* Si , i si i per tot , llavors . 4.
* La categoria de conjunts de cardinalitat inferior que i totes les funcions entre ells són tancades sota colimits de cardinalitat menor que . Bàsicament, això significa que un cardinal regular és aquell que no es pot desglossar en un petit nombre de parts més petites. La situació és lleugerament més complicada en contextos on l'axioma d'elecció podria fallar, mentre en aquest cas no tots els cardinals són necessàriament les cardinalitats de conjunts ben ordenats. En aquest cas, l'equivalència anterior només es pot aplicar als cardinals ben ordenats. Un ordinal infinit és un ordinal regular si és un ordinal de límit que no és el límit d'un conjunt d'ordinals més petits que com al conjunt té menys de . Un ordinal regular és sempre un ordinal inicial, encara que alguns no són regulars, p. ex., (veu l'exemple a sota). Un ordinal infinit és un ordinal regular si es tracta d’un ordinal límit que no és el límit d’un conjunt d’ordinals més petits que, com a conjunt, tenen un tipus d’ordre inferior a . Un ordinal regular sempre és un ordinal inicial, tot i que alguns ordinals inicials no són regulars, per exemple, (vegeu l'exemple següent). (ca)
- Regulární ordinál (také regulární kardinál) je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). (cs)
- En teoría de conjuntos, un ordinal regular es un ordinal que satisface una propiedad especial de "clausura", a saber, que sólo puede ser aproximado por un conjunto de ordinales más pequeños que él, si este conjunto tiene un cardinal inferior al propio ordinal que se pretende aproximar. Los ordinales que satisfacen esa condición son ordinales regulares, formalmente son la clase formada por: En particular todos los ordinales regulares son cardinales. Un resultado bien conocido de la teoría de conjuntos es que la clase de todos los cardinales al igual que la clase de todos los ordinales regulares son clases no acotadas contenidas en los ordinales. Para cualquier ordinal α existe un cardinal mínimo α+ que es mayor que α. Todos los cardinales de la forma α+ son ordinales regulares. La noción de acotación aquí es la siguiente:
* Datos: Q1193137 (es)
- En théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à . Une autre définition possible équivalente est que est régulier si pour tout cardinal , toute fonction est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier. Par exemple, pour , petit signifie fini, or toute réunion indexée par un ensemble fini d'ensembles finis est finie, donc est un cardinal régulier. Pour , petit signifie dénombrable, or, sous l'axiome du choix dénombrable, toute réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable, donc est régulier. On peut montrer, sous l'axiome du choix, qu'il en est de même pour tout cardinal successeur : si est un ordinal, alors est régulier. C'est une conséquence simple du fait que . Un cardinal singulier est nécessairement un cardinal limite. Une question naturelle se pose : la réciproque est-elle vraie ? Un contre-exemple à cette réciproque, c'est-à-dire un cardinal limite et régulier, est appelé cardinal faiblement inaccessible. Le premier cardinal singulier est . En effet, , il peut donc s'écrire comme une réunion indexée par un ensemble dénombrable d'ensembles de cardinalité strictement inférieure. (fr)
- In set theory, a regular cardinal is a cardinal number that is equal to its own cofinality. More explicitly, this means that is a regular cardinal if and only if every unbounded subset has cardinality . Infinite well-ordered cardinals that are not regular are called singular cardinals. Finite cardinal numbers are typically not called regular or singular. In the presence of the axiom of choice, any cardinal number can be well-ordered, and then the following are equivalent for a cardinal : 1.
* is a regular cardinal. 2.
* If and for all , then . 3.
* If , and if and for all , then . 4.
* The category of sets of cardinality less than and all functions between them is closed under colimits of cardinality less than . 5.
* is a regular ordinal (see below) Crudely speaking, this means that a regular cardinal is one that cannot be broken down into a small number of smaller parts. The situation is slightly more complicated in contexts where the axiom of choice might fail, as in that case not all cardinals are necessarily the cardinalities of well-ordered sets. In that case, the above equivalence holds for well-orderable cardinals only. An infinite ordinal is a regular ordinal if it is a limit ordinal that is not the limit of a set of smaller ordinals that as a set has order type less than . A regular ordinal is always an initial ordinal, though some initial ordinals are not regular, e.g., (see the example below). (en)
- 集合論において、正則基数（せいそくきすう、英: regular cardinal）とは、その共終数がそれ自身である基数のこと。 簡単に言えば、正則基数は小さいパーツの少ない集まりに分割できないものである。 (この状況は選択公理を仮定しない文脈ではもっと複雑である。そのような場合、全ての濃度が整列集合の濃度とは限らなく、上記の定義は整列集合の濃度のみに対してなされる。) 選択公理を仮定するときは、いかなる濃度も基数になり、無限基数 が正則であることは 未満の基数の 未満個の和では表せないことと同値になる。 また、無限順序数 が正則順序数と呼ばれるのは、それが極限順序数でより小さい順序数の順序型が 未満の集合の極限にならないことである。 正則な順序数は始順序数 (en:initial ordinal) である。しかし、始順序数だからといって正則であるとは限らない。 正則でない整列無限集合の濃度は特異基数と呼ばれる。 有限順序数に対しては普通、正則や特異と言った呼び方はしない。 (ja)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een regulier kardinaalgetal een kardinaalgetal, dat gelijk is aan haar eigen cofinaliteit. Dus informeel gesproken is een regulier kardinaalgetal er eentje dat niet kan worden opgesplitst in een kleinere collectie van kleinere delen. (nl)
- Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi. W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe). (pl)
- Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular. (pt)
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- Regulární ordinál (také regulární kardinál) je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). (cs)
- 集合論において、正則基数（せいそくきすう、英: regular cardinal）とは、その共終数がそれ自身である基数のこと。 簡単に言えば、正則基数は小さいパーツの少ない集まりに分割できないものである。 (この状況は選択公理を仮定しない文脈ではもっと複雑である。そのような場合、全ての濃度が整列集合の濃度とは限らなく、上記の定義は整列集合の濃度のみに対してなされる。) 選択公理を仮定するときは、いかなる濃度も基数になり、無限基数 が正則であることは 未満の基数の 未満個の和では表せないことと同値になる。 また、無限順序数 が正則順序数と呼ばれるのは、それが極限順序数でより小さい順序数の順序型が 未満の集合の極限にならないことである。 正則な順序数は始順序数 (en:initial ordinal) である。しかし、始順序数だからといって正則であるとは限らない。 正則でない整列無限集合の濃度は特異基数と呼ばれる。 有限順序数に対しては普通、正則や特異と言った呼び方はしない。 (ja)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een regulier kardinaalgetal een kardinaalgetal, dat gelijk is aan haar eigen cofinaliteit. Dus informeel gesproken is een regulier kardinaalgetal er eentje dat niet kan worden opgesplitst in een kleinere collectie van kleinere delen. (nl)
- Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi. W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe). (pl)
- Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular. (pt)
- En teoria de conjunts, un cardinal regular és un nombre cardinal que és igual a la seva pròpia cofinalitat. Més explícitament, això significa que és un cardinal normal si i només si cada subconjunt il·limitat té cardinalitat . Els infinits cardinals ben ordenats que no són regulars s’anomenen cardinals singulars. Els nombres cardinals finits normalment no s’anomenen ni regulars ni singulars. En presència de l'axioma d'elecció, qualsevol nombre cardinal pot estar ben ordenat i, i llavors els següents són equivalents per a un cardinal : (ca)
- En teoría de conjuntos, un ordinal regular es un ordinal que satisface una propiedad especial de "clausura", a saber, que sólo puede ser aproximado por un conjunto de ordinales más pequeños que él, si este conjunto tiene un cardinal inferior al propio ordinal que se pretende aproximar. Los ordinales que satisfacen esa condición son ordinales regulares, formalmente son la clase formada por:
* Datos: Q1193137 (es)
- En théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à . Une autre définition possible équivalente est que est régulier si pour tout cardinal , toute fonction est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier. (fr)
- In set theory, a regular cardinal is a cardinal number that is equal to its own cofinality. More explicitly, this means that is a regular cardinal if and only if every unbounded subset has cardinality . Infinite well-ordered cardinals that are not regular are called singular cardinals. Finite cardinal numbers are typically not called regular or singular. In the presence of the axiom of choice, any cardinal number can be well-ordered, and then the following are equivalent for a cardinal : (en)
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