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- In the mathematical discipline of set theory, there are many ways of describing specific countable ordinals. The smallest ones can be usefully and non-circularly expressed in terms of their Cantor normal forms. Beyond that, many ordinals of relevance to proof theory still have computable ordinal notations (see ordinal analysis). However, it is not possible to decide effectively whether a given putative ordinal notation is a notation or not (for reasons somewhat analogous to the unsolvability of the halting problem); various more-concrete ways of defining ordinals that definitely have notations are available. Since there are only countably many notations, all ordinals with notations are exhausted well below the first uncountable ordinal ω1; their supremum is called Church–Kleene ω1 or ω1CK (not to be confused with the first uncountable ordinal, ω1), described . Ordinal numbers below ω1CK are the recursive ordinals (see ). Countable ordinals larger than this may still be defined, but do not have notations. Due to the focus on countable ordinals, ordinal arithmetic is used throughout, except where otherwise noted. The ordinals described here are not as large as the ones described in large cardinals, but they are large among those that have constructive notations (descriptions). Larger and larger ordinals can be defined, but they become more and more difficult to describe. (en)
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, il existe de nombreuses méthodes de description des ordinaux dénombrables. Les plus petits (jusqu'à ε0) peuvent être exprimés (de façon utile et non circulaire) à l'aide de leur forme normale de Cantor. Au-delà, on parle de grands ordinaux dénombrables ; de nombreux grands ordinaux (le plus souvent en rapport avec la théorie de la démonstration) possèdent des notations ordinales calculables. Cependant, il n'est pas possible en général de décider si une notation ordinale potentielle en est effectivement une, pour des raisons analogues à celles rendant insoluble le problème de l'arrêt. Comme il ne peut exister qu'un nombre dénombrable de notations, l'ensemble des ordinaux qui en admettent une se termine bien avant le premier ordinal non dénombrable ω1 ; la borne supérieure de cet ensemble s'appelle l'ordinal ω1 de Church–Kleene, noté ω1CK (cet ordinal est dénombrable, et ne doit pas être confondu avec ω1). Les ordinaux inférieurs à ω1CK sont les ordinaux récursifs. Il est possible de définir des ordinaux supérieurs, mais ils ne possèderont pas de notations. L'étude des ordinaux dénombrables non récursifs est délicate, la difficulté principale venant de ce qu'on ne sait pas, en général, comparer deux grands ordinaux définis par des méthodes différentes, et parfois même, qu'on ne sait pas démontrer qu'un ordre donné est un bon ordre. (fr)
- Na disciplina de teoria dos conjuntos, há muitas maneiras de descrever ordinais específicos eque são contáveis. As menores descrições podem ser claramente e de forma não-redundante expressas em termos de suas formas normais Cantor. Além disso, muitos ordinais relevantes para a teoria da prova ainda tem notações ordinais computáveis. No entanto, não é possível decidir eficazmente se uma determinada notação ordinal é notação ou não (por razões de certa forma análogas, à insolubilidade do problema da parada); existem várias maneiras de saber se uma notação ordinal é definível. Desde que existam muitas notações contáveis, todos os ordinal com notações são completamente explorados sob o primeiro o ordinal não contável w1; seu supremo é chamado Church-Kleene w1 ou w1ck (não confunda com o primeiro ordinal não-contável, w1), descrito abaixo. Números ordinais abaixo de w1ck são ordinais recursivos (veja abaixo). Ordinais contáveis maiores do que este pode ainda ser definida, mas não têm notações. Devido ao foco nos ordinais contáveis, a aritmética ordinal é usada por toda parte, exceto onde o contrário é indicado. Os ordinais descritos aqui não são tão grandes como os cardinais longos, mas eles são grandes entre aqueles que têm notações construtivas (descrições). Ordinais cada vez maiores pode ser definida, mas tornam-se mais e mais difícil de descrever. (pt)
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- In the mathematical discipline of set theory, there are many ways of describing specific countable ordinals. The smallest ones can be usefully and non-circularly expressed in terms of their Cantor normal forms. Beyond that, many ordinals of relevance to proof theory still have computable ordinal notations (see ordinal analysis). However, it is not possible to decide effectively whether a given putative ordinal notation is a notation or not (for reasons somewhat analogous to the unsolvability of the halting problem); various more-concrete ways of defining ordinals that definitely have notations are available. (en)
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, il existe de nombreuses méthodes de description des ordinaux dénombrables. Les plus petits (jusqu'à ε0) peuvent être exprimés (de façon utile et non circulaire) à l'aide de leur forme normale de Cantor. Au-delà, on parle de grands ordinaux dénombrables ; de nombreux grands ordinaux (le plus souvent en rapport avec la théorie de la démonstration) possèdent des notations ordinales calculables. Cependant, il n'est pas possible en général de décider si une notation ordinale potentielle en est effectivement une, pour des raisons analogues à celles rendant insoluble le problème de l'arrêt. (fr)
- Na disciplina de teoria dos conjuntos, há muitas maneiras de descrever ordinais específicos eque são contáveis. As menores descrições podem ser claramente e de forma não-redundante expressas em termos de suas formas normais Cantor. Além disso, muitos ordinais relevantes para a teoria da prova ainda tem notações ordinais computáveis. No entanto, não é possível decidir eficazmente se uma determinada notação ordinal é notação ou não (por razões de certa forma análogas, à insolubilidade do problema da parada); existem várias maneiras de saber se uma notação ordinal é definível. (pt)
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