| dbo:abstract
|
- في نظرية الأعداد, دالة ميرتنز هي دالة معرفة بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية n كالتالي : حيث (μ(k هي دالة موبيوس. سميت هاته الدالة هكذا نسبة للعالم الذي أنشأها و هو فرانز ميرتنز. و بتعبير آخر, (M(n هي عدد الأعداد الصحيحة الطبيعية الأصغر من n و التي لا تحتوي على أي مربع لعدد أولي ما، أثناء تفكيك n إلى جداء أعداد أولية و التي لها عدد زوجي من العوامل الأولية، ننقص منه عدد الأعداد الصحيحة الطبيعية الأصغر من n و التي لا تحتوي على أي مربع لعدد أولي ما، أثناء تفكيك n إلى جداء أعداد أولية و التي لها عدد فردي من العوامل الأولية. النظر إلى هاته الدالة يؤدي حتما إلى النظر إلى حدسية ميرتنز. (ar)
- La funció de Mertens, en honor del matemàtic Franz Mertens (1840-1927), es defineix com on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, és clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura: La funció de Mertens és molt útil en teoria de nombres i té una relació molt directa amb la funció zeta de Riemann (i amb la localització de les seves arrels no trivials): A continuació presentem alguns valors de la funció de Mertens (ca)
- Mertensova funkce je funkce v teorii čísel, která je pojmenována po pruském matematikovi a definována pro všechna přirozená čísla n a k jako kde μ(k) je Möbiova funkce. M(n) je tedy rozdíl počtu bezčtvercových celých čísel menších nebo rovných n, které mají sudý počet prvočíselných dělitelů, a těch, které jich mají lichý počet. Mertensova funkce nabývá kladných i záporných hodnot a kladné i záporné přírůstky se objevují chaotických způsobem. Nabývá hodnoty nula pro hodnoty n: 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... (cs)
- En teoría de números, la función de Mertens se define como: donde μ(k) es la función de Möbius.Dado que la función de Möbius contempla solo las imágenes {-1,0,1} resulta obvio que la función de Mertens apenas varía en su recorrido y que no existe ningún valor de x para el cual |M(x)|>x. La conjetura de Mertens va más lejos afirmando que no hay valor para x donde el valor absoluto de la función de Mertens exceda el valor de la raíz cuadrada de x, sin embargo, se ha demostrado que esta conjetura es falsa (sí hay valores de x tales que el valor absoluto de la función de Mertens es mayor que la raíz cuadrada de x). Algunos valores de la función de Mertens son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2,... (sucesión A002321 en OEIS). (es)
- In number theory, the Mertens function is defined for all positive integers n as where is the Möbius function. The function is named in honour of Franz Mertens. This definition can be extended to positive real numbers as follows: Less formally, is the count of square-free integers up to x that have an even number of prime factors, minus the count of those that have an odd number. The first 143 M(n) values are (sequence in the OEIS) The Mertens function slowly grows in positive and negative directions both on average and in peak value, oscillating in an apparently chaotic manner passing through zero when n has the values 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (sequence in the OEIS). Because the Möbius function only takes the values −1, 0, and +1, the Mertens function moves slowly, and there is no x such that |M(x)| > x. The Mertens conjecture went further, stating that there would be no x where the absolute value of the Mertens function exceeds the square root of x. The Mertens conjecture was proven false in 1985 by Andrew Odlyzko and Herman te Riele. However, the Riemann hypothesis is equivalent to a weaker conjecture on the growth of M(x), namely M(x) = O(x1/2 + ε). Since high values for M(x) grow at least as fast as , this puts a rather tight bound on its rate of growth. Here, O refers to big O notation. The true rate of growth of M(x) is not known. An unpublished conjecture of Steve Gonek states that Probabilistic evidence towards this conjecture is given by Nathan Ng. In particular, Ng gives a conditional proof that the function has a limiting distribution on . That is, for all bounded Lipschitz continuous functions on the reals we have that (en)
- En théorie des nombres, la fonction de Mertens est où μ est la fonction de Möbius. Moins formellement, M(n) est le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est pair, moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est impair. (fr)
- La funzione di Mertens è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n: , dove μ(k) denota la funzione di Möbius. Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924). Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321. Poiché la funzione di Möbius assume solo tre possibili valori (-1, 0 e +1), la funzione di Mertens, che è il suo , deve soddisfare la seguente disuguaglianza In effetti i suoi valori al variare di n presentano un andamento oscillante e variazioni ridotte, presentano molti intervalli di stazionarietà e frequenti attraversamenti dell'asse delle ascisse. (it)
- In getaltheorie is de mertensfunctie de rekenkundige functie waarin de möbiusfunctie is. Omdat de möbiusfunctie alleen de waarden –1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen is zodat . Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen is waarbij de absolute waarde van de mertensfunctie groter is dan de wortel van . De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. De riemannhypothese is echter equivalent aan een zwakker vermoeden van de groei van , namelijk Omdat grote waarden van ten minste net zo hard groeien als de wortel van , is dit een strikte grens op de groeivoet. (nl)
- Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako: gdzie jest funkcją Möbiusa. Dla każdej liczby naturalnej zachodzi zatem . (pl)
- A função de Mertens é uma função muito usada na Teoria dos Números. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Franz Mertens. É definida somente para os números naturais como: onde μ(k) é a função de Möbius. Como μ(k) só pode ser -1, 0 e +1, é fácil de ver que a função de Mertens nunca vai ser maior que seu argumento (M(x) < x). A é mais audaciosa, supondo que o valor absoluto da função nunca ultrapassa a raiz quadrada do argumento. Esta conjectura foi provada inválida em 1985 por Herman te Riele e . (pt)
- Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt: där μ(n) är möbiusfunktionen. Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n (sv)
- 梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下 ， 其中μ是默比乌斯函数。 上述定義也可以延伸到實數： 以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。 (zh)
- В теории чисел функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n формулой , где — функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честь . Другими словами, — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих n и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей. Определение выше может быть расширено на все положительные действительные числа следующим образом: (ru)
- В теорії чисел функція Мертенса визначається: де μ(k) - функція Мебіуса. Для довільного натурального числа k виконується , тому .Значення функції Мертенса для перших натуральних чисел дорівнюють: 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1, -2, -2, -3, -2, -1, -1, -2, -2, ... послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS Загалом функція Мертенса зростає у додатному і від'ємному напрямках здійснюючи хаотичні коливання і набуваючи значення нуль для чисел: 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS. Дане визначення можна поширити на довільні дійсні числа: Функція названа на честь німецького математика Франца Мертенса, що припустив виконання нерівності: З виконання гіпотези Мертенса випливала б гіпотеза Рімана. Дане припущення було спростоване в 1985 та Германом те Ріілем; контрприклад в наш час[коли?] невідомий, проте відомо існування його в межах 1014 — 3,21×1064. Гіпотеза Рімана є еквівалентною дещо слабшому твердженню про поведінку функції Мертенса: M(n) = O(n1/2 + ε). Для функції Мертенса виконується формула: де C — замкнута крива, що оточує всі корені ζ(s) — дзета-функції Рімана. Навпаки виконується рівність що є справедливою для . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في نظرية الأعداد, دالة ميرتنز هي دالة معرفة بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية n كالتالي : حيث (μ(k هي دالة موبيوس. سميت هاته الدالة هكذا نسبة للعالم الذي أنشأها و هو فرانز ميرتنز. و بتعبير آخر, (M(n هي عدد الأعداد الصحيحة الطبيعية الأصغر من n و التي لا تحتوي على أي مربع لعدد أولي ما، أثناء تفكيك n إلى جداء أعداد أولية و التي لها عدد زوجي من العوامل الأولية، ننقص منه عدد الأعداد الصحيحة الطبيعية الأصغر من n و التي لا تحتوي على أي مربع لعدد أولي ما، أثناء تفكيك n إلى جداء أعداد أولية و التي لها عدد فردي من العوامل الأولية. النظر إلى هاته الدالة يؤدي حتما إلى النظر إلى حدسية ميرتنز. (ar)
- Mertensova funkce je funkce v teorii čísel, která je pojmenována po pruském matematikovi a definována pro všechna přirozená čísla n a k jako kde μ(k) je Möbiova funkce. M(n) je tedy rozdíl počtu bezčtvercových celých čísel menších nebo rovných n, které mají sudý počet prvočíselných dělitelů, a těch, které jich mají lichý počet. Mertensova funkce nabývá kladných i záporných hodnot a kladné i záporné přírůstky se objevují chaotických způsobem. Nabývá hodnoty nula pro hodnoty n: 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... (cs)
- En théorie des nombres, la fonction de Mertens est où μ est la fonction de Möbius. Moins formellement, M(n) est le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est pair, moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est impair. (fr)
- Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako: gdzie jest funkcją Möbiusa. Dla każdej liczby naturalnej zachodzi zatem . (pl)
- A função de Mertens é uma função muito usada na Teoria dos Números. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Franz Mertens. É definida somente para os números naturais como: onde μ(k) é a função de Möbius. Como μ(k) só pode ser -1, 0 e +1, é fácil de ver que a função de Mertens nunca vai ser maior que seu argumento (M(x) < x). A é mais audaciosa, supondo que o valor absoluto da função nunca ultrapassa a raiz quadrada do argumento. Esta conjectura foi provada inválida em 1985 por Herman te Riele e . (pt)
- Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt: där μ(n) är möbiusfunktionen. Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n (sv)
- 梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下 ， 其中μ是默比乌斯函数。 上述定義也可以延伸到實數： 以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。 (zh)
- В теории чисел функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n формулой , где — функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честь . Другими словами, — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих n и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей. Определение выше может быть расширено на все положительные действительные числа следующим образом: (ru)
- La funció de Mertens, en honor del matemàtic Franz Mertens (1840-1927), es defineix com on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, és clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura: (ca)
- En teoría de números, la función de Mertens se define como: donde μ(k) es la función de Möbius.Dado que la función de Möbius contempla solo las imágenes {-1,0,1} resulta obvio que la función de Mertens apenas varía en su recorrido y que no existe ningún valor de x para el cual |M(x)|>x. La conjetura de Mertens va más lejos afirmando que no hay valor para x donde el valor absoluto de la función de Mertens exceda el valor de la raíz cuadrada de x, sin embargo, se ha demostrado que esta conjetura es falsa (sí hay valores de x tales que el valor absoluto de la función de Mertens es mayor que la raíz cuadrada de x). (es)
- In number theory, the Mertens function is defined for all positive integers n as where is the Möbius function. The function is named in honour of Franz Mertens. This definition can be extended to positive real numbers as follows: Less formally, is the count of square-free integers up to x that have an even number of prime factors, minus the count of those that have an odd number. The first 143 M(n) values are (sequence in the OEIS) The true rate of growth of M(x) is not known. An unpublished conjecture of Steve Gonek states that (en)
- La funzione di Mertens è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n: , dove μ(k) denota la funzione di Möbius. Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924). Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321. (it)
- In getaltheorie is de mertensfunctie de rekenkundige functie waarin de möbiusfunctie is. Omdat de möbiusfunctie alleen de waarden –1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen is zodat . Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen is waarbij de absolute waarde van de mertensfunctie groter is dan de wortel van . De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. De riemannhypothese is echter equivalent aan een zwakker vermoeden van de groei van , namelijk (nl)
- В теорії чисел функція Мертенса визначається: де μ(k) - функція Мебіуса. Для довільного натурального числа k виконується , тому .Значення функції Мертенса для перших натуральних чисел дорівнюють: 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1, -2, -2, -3, -2, -1, -1, -2, -2, ... послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS Загалом функція Мертенса зростає у додатному і від'ємному напрямках здійснюючи хаотичні коливання і набуваючи значення нуль для чисел: Дане визначення можна поширити на довільні дійсні числа: Для функції Мертенса виконується формула: Навпаки виконується рівність (uk)
|
