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- En anàlisi matemàtica la desigualtat de Hölder és una desigualtat important entre integrals i una eina indispensable per a l'estudi d'espais . Sigui un espai de mesura i siguin i dos nombres reals, amb i tals que . Llavors, la desigualtat de Hölder afirma que per tot parell de funcions i es compleix que , o, de manera més explícita, que . En el cas és coneguda com a desigualtat de Cauchy-Schwarz. (ca)
- Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů. (cs)
- In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte. (de)
- En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios Lp. Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre S, se tiene que Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg ||1 es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en Lp(μ) y g está en Lq(μ), entonces fg está en L1(μ). Para 1 < p, q < ∞, f ∈ Lp(μ) y g ∈ Lq(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |p y |g |q son linealmente dependientes en L1(μ), lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f |p = β |g |q μ-casi en todas partes. La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio Lp(μ), y también para establecer que Lq(μ) es el espacio dual de Lp(μ) para 1 ≤ p < ∞. La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por , y descubierta independientemente por . (es)
- In mathematical analysis, Hölder's inequality, named after Otto Hölder, is a fundamental inequality between integrals and an indispensable tool for the study of Lp spaces. Theorem (Hölder's inequality). Let (S, Σ, μ) be a measure space and let p, q ∈ [1, ∞] with 1/p + 1/q = 1. Then for all measurable real- or complex-valued functions f and g on S,If, in addition, p, q ∈ (1, ∞) and f ∈ Lp(μ) and g ∈ Lq(μ), then Hölder's inequality becomes an equality if and only if |f |p and |g|q are linearly dependent in L1(μ), meaning that there exist real numbers α, β ≥ 0, not both of them zero, such that α|f |p = β |g|q μ-almost everywhere. The numbers p and q above are said to be Hölder conjugates of each other. The special case p = q = 2 gives a form of the Cauchy–Schwarz inequality. Hölder's inequality holds even if ||fg||1 is infinite, the right-hand side also being infinite in that case. Conversely, if f is in Lp(μ) and g is in Lq(μ), then the pointwise product fg is in L1(μ). Hölder's inequality is used to prove the Minkowski inequality, which is the triangle inequality in the space Lp(μ), and also to establish that Lq(μ) is the dual space of Lp(μ) for p ∈ [1, ∞). Hölder's inequality was first found by Leonard James Rogers. Inspired by Rogers' work, gave another proof as part of a work developing the concept of convex and concave functions and introducing Jensen's inequality, which was in turn named for work of Johan Jensen building on Hölder's work. (en)
- Analisi matematikoan la Hölderren desberdintza, formulatua, funtsezko desberdintza bat da artean eta ezinbesteko lanabesa ikasteko. Bira (S, Σ, μ) espazio metriko bat eta 1 ≤ p, q ≤ ∞ non 1/p + 1/q = 1 betetzen duen. Orduan, edozein balio erreal edo konplexuko f eta g S-ko , honako hau dugu: p eta q zenbakiei bata bestearen Hölderren konjokatuak deritze, eta askotan q = p* = p' idazten. p = q = 2 kasu berezian, ezaguna da. Hölderren desberdintza betetzen da ||fg ||1 infinitua izanda ere, kasu horretan desberdintzaren eskuineko aldea infinitua izanik. Bereziki, f Lp(μ)-n eta g Lq(μ)-n badaude, orduan fg L1(μ)-n dago. 1 < p, q < ∞, f ∈ Lp(μ) eta g ∈ Lq(μ) badira, Hölderren desberdintza berdintza bihurtuko da baldin eta soilik baldin |f |p eta |g |q badira L1(μ)-n. Horrek esan nahi du bi zenbaki erreal existitzen direla α, β ≥ 0, haietako baten bat desberdin 0 zanik, non α |f |p = β |g |q μ- baita. Hölderren desberdintza Minkowskiren desberdintza frogatzeko erabiltzen da, zabaltzea dena Lp(μ) espazioan, eta baita ere ezartzeko Lq(μ) Lp(μ)-ren dela, 1 ≤ p < ∞ denean. Hölderren desberdintza lehenengoz aurkitu zuen 1888an, eta Hölderrek bere aldetik 1889an. (eu)
- En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp, comme les espaces de suites ℓp. C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes. (fr)
- 해석학에서 횔더 부등식(Hölder's inequality)은 르베그 적분과 Lp 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다. (ko)
- 解析学におけるヘルダーの不等式(- ふとうしき, 英: Hölder's inequality)とは、数列や可測関数のあいだに成り立つもっとも基本的な不等式の一つであり、 測度空間上のLp空間の構造の解析などにしばしば用いられる。オットー・ヘルダーにちなんでこの名前がついている。歴史的には1888年にレオナルド・J・ロジャーズによって、さらにその翌年にヘルダーによって独立に発見された。 (ja)
- In de wiskundige analyse is de ongelijkheid van Hölder, genoemd naar de Duitse wiskundige Otto Hölder, een fundamentele ongelijkheid tussen integralen en een onmisbaar instrument bij de studie van -ruimten. Laat een maatruimte zijn en met d.w.z. Dan geldt voor alle meetbare reëel- of complex-waardige functies en op dat Van de getallen en hierboven zegt men dat het Hölder-conjugaten van elkaar zijn. Het bijzondere geval dat geeft een vorm van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. (nl)
- In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi Lp. La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome. (it)
- Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder. (pt)
- Hölders olikhet (efter Otto Hölder) är en olikhet för integraler och serier inom den gren av matematik som kallas funktionalanalys, och kan ses som en generalisering av Cauchy–Schwarz olikhet. Olikheten är ett viktigt resultat i studiet av Lp-rum, där den används för att visa Minkowskis olikhet (vilket är triangelolikheten för Lp-rum och är nödvändig för att visa att rummen är normerade rum), samt ett antal andra uppskattningar. (sv)
- Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889). Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni i jeśli oraz (pl)
- Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів . (uk)
- 赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式： 設為測度空間，，及，設在內，在內。則在內，且有 等号当且仅当与（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數使得對幾乎所有成立。 若取作附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數），有 。 我们称p和q互为赫尔德共轭。 若取為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。 當，便得到柯西-施瓦茨不等式。 赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明空間是空間的對偶。 (zh)
- Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств . (ru)
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- Leonard James Rogers (en)
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- L. P. (en)
- Leonard James (en)
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- . Since
:
it follows that a.s. on the set . Similarly, a.s. on the set , hence
:
and the conditional Hölder inequality holds on this set. On the set
:
the right-hand side is infinite and the conditional Hölder inequality holds, too. Dividing by the right-hand side, it therefore remains to show that
:
This is done by verifying that the inequality holds after integration over an arbitrary
:
Using the measurability of with respect to the (en)
- The function on is convex because , so by Jensen's inequality,
:
where is any probability distribution and any -measurable function. Let be any measure, and the distribution whose density w.r.t. is proportional to , i.e.
:
Hence we have, using , hence , and letting ,
:
Finally, we get
:
This assumes that are real and non-negative, but the extension to complex functions is straightforward .
It also assumes that are neither null nor infinity, and that : all these assumptions can also be lifted as in the proof above. (en)
- By Hölder's inequality, the integrals are well defined and, for ,
:
hence the left-hand side is always bounded above by the right-hand side.
Conversely, for , observe first that the statement is obvious when . Therefore, we assume in the following.
If , define on by
:
By checking the cases and separately, we see that and
:
It remains to consider the case . For define
:
Since is measurable, . By the definition of as the essential supremum of and the assumption , we have . Using the additional assumption on the (en)
- if necessary, there exists a subset of with . Define on by
:
Then is well-defined, measurable and for , hence . Furthermore,
: (en)
- sub-σ-algebra (en)
- We use Hölder's inequality and mathematical induction. If then the result is immediate. Let us now pass from to Without loss of generality assume that
Case 1: If then
:
Pulling out the essential supremum of and using the induction hypothesis, we get
:
Case 2: If then necessarily as well, and then
:
are Hölder conjugates in . Application of Hölder's inequality gives
:
Raising to the power and rewriting,
:
Since and
:
the claimed inequality now follows by using the induction hypothesis. (en)
- , the rules for conditional expectations, Hölder's inequality and , we see that
: (en)
- Define the random variables
:
and note that they are measurable with respect to the (en)
- σ-field (en)
- If , then is zero -almost everywhere, and the product is zero -almost everywhere, hence the left-hand side of Hölder's inequality is zero.
The same is true if .
Therefore, we may assume and in the following.
If or , then the right-hand side of Hölder's inequality is infinite.
Therefore, we may assume that and are in .
If and , then almost everywhere and Hölder's inequality follows from the monotonicity of the Lebesgue integral. Similarly for and .
Therefore, we may assume . However, to apply Young's inequality for products, we will require
Dividing and by and , respectively, we can assume that
:
We now use Young's inequality for products, which states that whenever are in with
:
for all nonnegative and , where equality is achieved if and only if . Hence
:
Integrating both sides gives
:
which proves the claim.
Under the assumptions and , equality holds if and only if almost everywhere.
More generally, if and are in , then Hölder's inequality becomes an equality if and only if there exist real numbers , namely
:
such that
: μ-almost everywhere .
The case corresponds to in . The case corresponds to in . (en)
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- En anàlisi matemàtica la desigualtat de Hölder és una desigualtat important entre integrals i una eina indispensable per a l'estudi d'espais . Sigui un espai de mesura i siguin i dos nombres reals, amb i tals que . Llavors, la desigualtat de Hölder afirma que per tot parell de funcions i es compleix que , o, de manera més explícita, que . En el cas és coneguda com a desigualtat de Cauchy-Schwarz. (ca)
- Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů. (cs)
- In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte. (de)
- En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions Lp, comme les espaces de suites ℓp. C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes. (fr)
- 해석학에서 횔더 부등식(Hölder's inequality)은 르베그 적분과 Lp 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다. (ko)
- 解析学におけるヘルダーの不等式(- ふとうしき, 英: Hölder's inequality)とは、数列や可測関数のあいだに成り立つもっとも基本的な不等式の一つであり、 測度空間上のLp空間の構造の解析などにしばしば用いられる。オットー・ヘルダーにちなんでこの名前がついている。歴史的には1888年にレオナルド・J・ロジャーズによって、さらにその翌年にヘルダーによって独立に発見された。 (ja)
- In de wiskundige analyse is de ongelijkheid van Hölder, genoemd naar de Duitse wiskundige Otto Hölder, een fundamentele ongelijkheid tussen integralen en een onmisbaar instrument bij de studie van -ruimten. Laat een maatruimte zijn en met d.w.z. Dan geldt voor alle meetbare reëel- of complex-waardige functies en op dat Van de getallen en hierboven zegt men dat het Hölder-conjugaten van elkaar zijn. Het bijzondere geval dat geeft een vorm van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. (nl)
- In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi Lp. La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome. (it)
- Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder. (pt)
- Hölders olikhet (efter Otto Hölder) är en olikhet för integraler och serier inom den gren av matematik som kallas funktionalanalys, och kan ses som en generalisering av Cauchy–Schwarz olikhet. Olikheten är ett viktigt resultat i studiet av Lp-rum, där den används för att visa Minkowskis olikhet (vilket är triangelolikheten för Lp-rum och är nödvändig för att visa att rummen är normerade rum), samt ett antal andra uppskattningar. (sv)
- Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889). Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni i jeśli oraz (pl)
- Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів . (uk)
- 赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式： 設為測度空間，，及，設在內，在內。則在內，且有 等号当且仅当与（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數使得對幾乎所有成立。 若取作附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數），有 。 我们称p和q互为赫尔德共轭。 若取為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。 當，便得到柯西-施瓦茨不等式。 赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明空間是空間的對偶。 (zh)
- Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств . (ru)
- In mathematical analysis, Hölder's inequality, named after Otto Hölder, is a fundamental inequality between integrals and an indispensable tool for the study of Lp spaces. Theorem (Hölder's inequality). Let (S, Σ, μ) be a measure space and let p, q ∈ [1, ∞] with 1/p + 1/q = 1. Then for all measurable real- or complex-valued functions f and g on S,If, in addition, p, q ∈ (1, ∞) and f ∈ Lp(μ) and g ∈ Lq(μ), then Hölder's inequality becomes an equality if and only if |f |p and |g|q are linearly dependent in L1(μ), meaning that there exist real numbers α, β ≥ 0, not both of them zero, such that α|f |p = β |g|q μ-almost everywhere. (en)
- Analisi matematikoan la Hölderren desberdintza, formulatua, funtsezko desberdintza bat da artean eta ezinbesteko lanabesa ikasteko. Bira (S, Σ, μ) espazio metriko bat eta 1 ≤ p, q ≤ ∞ non 1/p + 1/q = 1 betetzen duen. Orduan, edozein balio erreal edo konplexuko f eta g S-ko , honako hau dugu: p eta q zenbakiei bata bestearen Hölderren konjokatuak deritze, eta askotan q = p* = p' idazten. p = q = 2 kasu berezian, ezaguna da. Hölderren desberdintza lehenengoz aurkitu zuen 1888an, eta Hölderrek bere aldetik 1889an. (eu)
- En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios Lp. Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre S, se tiene que Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz. (es)
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- Desigualtat de Hölder (ca)
- Hölderova nerovnost (cs)
- Hölder-Ungleichung (de)
- Ανισότητα Χέλντερ (el)
- Desigualdad de Hölder (es)
- Hölderren desberdintza (eu)
- Inégalité de Hölder (fr)
- Hölder's inequality (en)
- Disuguaglianza di Hölder (it)
- ヘルダーの不等式 (ja)
- 횔더 부등식 (ko)
- Ongelijkheid van Hölder (nl)
- Nierówność Höldera (pl)
- Desigualdade de Hölder (pt)
- Неравенство Гёльдера (ru)
- Hölders olikhet (sv)
- 赫尔德不等式 (zh)
- Нерівність Гельдера (uk)
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