| dbo:abstract
|
- Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky (také jen Gödelova věta o úplnosti či věta o úplnosti) je základní větou matematické logiky. Dává do souvislosti syntaktický pojem dokazatelnosti a sémantický pojem pravdivosti v modelu. (cs)
- Der Gödelsche Vollständigkeitssatz (benannt nach Kurt Gödel) ist der Hauptsatz der mathematischen Logik. Er zeigt für den Hilbert-Kalkül (ein formales System der Prädikatenlogik erster Stufe) die Korrektheit und Vollständigkeit: Jeder Satz, der semantisch aus einer Formelmenge folgt, lässt sich mit den Schlussregeln des Systems aus der Formelmenge herleiten, und umgekehrt. Für die Logik erster Stufe sind also syntaktische und semantische Folgerung gleichbedeutend. (de)
- El teorema de completitud de Gödel es un importante teorema de la lógica matemática, que fue demostrado por primera vez por Kurt Gödel en 1929 y que en su forma más conocida establece lo siguiente: La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo, mediante una computadora o a mano). Una fórmula es lógicamente válida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la fórmula. Para expresar de manera formal el teorema de completitud de Gödel, se debe definir el significado de la palabra modelo en este contexto. Esta es una definición básica en la teoría de modelos. El teorema de Gödel establece una correspondencia entre la verdad semántica y la probabilidad sintáctica en la lógica de primer orden. Crea un vínculo entre la teoría de modelos que se ocupa de lo que es cierto en diferentes modelos, y la teoría de la demostración que estudia lo que se puede probar formalmente en sistemas formales particulares. Gödel utilizó el teorema de completitud para probar el teorema de compacidad, demostrando la naturaleza finitaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominante en las matemáticas actual. Fue luego simplificado en 1947, cuando Leon Henkin observó en su tesis de doctorado que la parte difícil de la prueba se puede presentar como el (publicado en 1949). A su vez, la prueba de Henkin fue simplificada por en 1953. (es)
- Gödel's completeness theorem is a fundamental theorem in mathematical logic that establishes a correspondence between semantic truth and syntactic provability in first-order logic. The completeness theorem applies to any first-order theory: If T is such a theory, and φ is a sentence (in the same language) and every model of T is a model of φ, then there is a (first-order) proof of φ using the statements of T as axioms. One sometimes says this as "anything universally true is provable". This is in contrast, but not contradiction, to Gödel's incompleteness theorems, in which a formula true in only some models may not be provable. It makes a close link between model theory that deals with what is true in different models, and proof theory that studies what can be formally proven in particular formal systems. It was first proved by Kurt Gödel in 1929. It was then simplified when Leon Henkin observed in his Ph.D. thesis that the hard part of the proof can be presented as the Model Existence Theorem (published in 1949). Henkin's proof was simplified by Gisbert Hasenjaeger in 1953. (en)
- En logique mathématique, le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre dresse une correspondance entre la sémantique et les démonstrations d'un système de déduction en logique du premier ordre. En termes intuitifs le théorème de complétude construit un pont entre vérité et démontrabilité formelle : tout énoncé vrai est démontrable. Plus précisément le théorème de complétude affirme que si un énoncé est conséquence sémantique d'une théorie que l'on peut décrire dans le formalisme du calcul des prédicats du premier ordre, c'est-à-dire qu'il est vrai dans tous les modèles de cette théorie, alors il est conséquence syntaxique de cette théorie : il existe une démonstration formelle qui déduit cet énoncé à partir des axiomes de la théorie en utilisant les règles d'un système de déduction comme la déduction naturelle, le calcul des séquents ou un système à la Hilbert. Théorème de complétude de la logique du premier ordre — Soit T une théorie de la logique du premier ordre. Soit une formule φ de la logique du premier ordre. Si φ est conséquence sémantique de T alors φ est conséquence syntaxique de T. (fr)
- De volledigheidsstelling van Gödel is een fundamentele stelling in de wiskundige logica, die zegt dat elke semantische geldige uitspraak in de eerste-orde logica ook bewijsbaar is. De stelling werd in 1929 voor het eerst bewezen door Kurt Gödel. Samen met gezondheid van een bewijssysteem (die veel makkelijker te bewijzen is) toont de stelling aan dat geldigheid en bewijsbaarheid overeenkomen. De Volledigheidsstelling van Gödel moet niet worden verward met de Onvolledigheidsstelling van Gödel, waar naar een andere notie van volledigheid verwezen wordt. (nl)
- 数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、英: Gödel's completeness theorem、独: Gödelscher Vollständigkeitssatz）とは、一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。 (ja)
- 수리논리학에서 괴델의 완전성 정리(Gödel-完全性定理, 영어: Gödel’s completeness theorem)는 1차 논리에서 증명 가능한 명제의 집합은 모형을 갖는다는 정리다. 즉, 증명 이론으로 정의한 진리와 모형 이론으로 정의한 진리가 서로 일치한다. 이는 1차 논리의 가장 중요한 성질 가운데 하나이며, 고차 논리에서는 성립하지 않는다. 에 따르면 1차 논리는 완전성과 콤팩트성을 만족하는 가장 강한 논리이다. 2차 논리 이상의 고차 논리에서는 완전성이 성립하지 않는다. 을 이용하여 많은 경우 정규 양상 논리의 경우에도 완전성이 성립한다. (ko)
- Il teorema di completezza di Gödel è un teorema fondamentale della logica matematica ottenuto dal logico Kurt Gödel nel 1929. Esso stabilisce una corrispondenza tra validità logica e dimostrabilità logica nella logica del primo ordine. Una formula del primo ordine è detta logicamente valida se è vera in ogni struttura del suo linguaggio. Il teorema di completezza mostra come se una formula è valida, allora esiste una prova della formula, ottenibile in numero finito di passi. La deduzione è dunque verificabile a mano o al calcolatore. La relazione tra verità e dimostrabilità stabilisce uno stretto legame tra teoria dei modelli e nella logica matematica. Un'importante conseguenza del teorema di completezza è che è possibile enumerare le conseguenze logiche di ogni teoria del primo ordine, enumerandone tutte le deduzioni corrette usando gli assiomi della teoria. I teoremi di incompletezza di Gödel, riferendosi ad un differente significato di completezza, mostrano che, se una formalizzazione di sufficiente potenza dell'aritmetica è consistente, allora esiste una formula F, dipendente dalla formalizzazione scelta, di cui non si può dimostrare né la verità, né la verità della sua negazione. (it)
- O Teorema da completude de Gödel é um importante teorema da lógica matemática, demonstrado originalmente por Kurt Gödel, em 1929. Ele defende, em sua forma mais usual, que toda fórmula logicamente válida pode ser demonstrada no cálculo de predicados de primeira ordem, isto é, existe uma derivação formal para esta fórmula. Tal derivação é uma lista finita de passos em que cada passo é obtido através de um axioma, ou de regras de inferência básicas aplicadas a passos anteriores. Uma fórmula é dita logicamente válida se for verdadeira em todos os modelos da linguagem subjacente. Modelo, neste contexto, define um conjunto universo a ser considerado e as devidas interpretações das funções e predicados de primeira ordem. Em outras palavras, o Teorema da Completude de Gödel diz que as regras de inferência da lógica de primeira ordem são completas no sentido de que nenhuma nova regra de inferência é necessária para derivar todas as fórmulas logicamente válidas. O resultado dual à completude é a correção. O fato de que o cálculo de predicados de primeira ordem é correto, ou seja, que somente sentenças logicamente válidas podem ser derivadas na lógica de primeira ordem, é garantido pelo Teorema da correção. (pt)
- Теоре́ма Гёделя о полноте́ исчисле́ния предика́тов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Впервые эта теорема была доказана Куртом Гёделем в 1929. Иными словами, если — тождественно истинная формула исчисления предикатов, то доказуема в исчислении предикатов. (ru)
- Теорема Геделя про повноту — твердження про повноту класичного числення предикатів, доведене Куртом Геделем 1930 року. Теорема Геделя про повноту є однією з найважливіших теорем математичної логіки. Вона демонструє, що класичне числення предикатів містить всі логічні закони, які можуть бути подані через предикативні формули. Відомі численні варіанти та узагальнення теореми Геделя про повноту. Наприклад, якщо з множин предикативних формул M неможливо вивести суперечність за допомогою правил числення предикатів, то існує модель для M, тобто така інтерпретація, в якій істинні всі формули з M. Цей результат став однією з засад побудови теорії моделей. (uk)
- 哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。 更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论T和在这个理论中的任何句子S，有一个S的自T的形式演绎，当且仅当S被T的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。 完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky (také jen Gödelova věta o úplnosti či věta o úplnosti) je základní větou matematické logiky. Dává do souvislosti syntaktický pojem dokazatelnosti a sémantický pojem pravdivosti v modelu. (cs)
- Der Gödelsche Vollständigkeitssatz (benannt nach Kurt Gödel) ist der Hauptsatz der mathematischen Logik. Er zeigt für den Hilbert-Kalkül (ein formales System der Prädikatenlogik erster Stufe) die Korrektheit und Vollständigkeit: Jeder Satz, der semantisch aus einer Formelmenge folgt, lässt sich mit den Schlussregeln des Systems aus der Formelmenge herleiten, und umgekehrt. Für die Logik erster Stufe sind also syntaktische und semantische Folgerung gleichbedeutend. (de)
- De volledigheidsstelling van Gödel is een fundamentele stelling in de wiskundige logica, die zegt dat elke semantische geldige uitspraak in de eerste-orde logica ook bewijsbaar is. De stelling werd in 1929 voor het eerst bewezen door Kurt Gödel. Samen met gezondheid van een bewijssysteem (die veel makkelijker te bewijzen is) toont de stelling aan dat geldigheid en bewijsbaarheid overeenkomen. De Volledigheidsstelling van Gödel moet niet worden verward met de Onvolledigheidsstelling van Gödel, waar naar een andere notie van volledigheid verwezen wordt. (nl)
- 数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、英: Gödel's completeness theorem、独: Gödelscher Vollständigkeitssatz）とは、一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。 (ja)
- 수리논리학에서 괴델의 완전성 정리(Gödel-完全性定理, 영어: Gödel’s completeness theorem)는 1차 논리에서 증명 가능한 명제의 집합은 모형을 갖는다는 정리다. 즉, 증명 이론으로 정의한 진리와 모형 이론으로 정의한 진리가 서로 일치한다. 이는 1차 논리의 가장 중요한 성질 가운데 하나이며, 고차 논리에서는 성립하지 않는다. 에 따르면 1차 논리는 완전성과 콤팩트성을 만족하는 가장 강한 논리이다. 2차 논리 이상의 고차 논리에서는 완전성이 성립하지 않는다. 을 이용하여 많은 경우 정규 양상 논리의 경우에도 완전성이 성립한다. (ko)
- Теоре́ма Гёделя о полноте́ исчисле́ния предика́тов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Впервые эта теорема была доказана Куртом Гёделем в 1929. Иными словами, если — тождественно истинная формула исчисления предикатов, то доказуема в исчислении предикатов. (ru)
- El teorema de completitud de Gödel es un importante teorema de la lógica matemática, que fue demostrado por primera vez por Kurt Gödel en 1929 y que en su forma más conocida establece lo siguiente: La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo, mediante una computadora o a mano). (es)
- Gödel's completeness theorem is a fundamental theorem in mathematical logic that establishes a correspondence between semantic truth and syntactic provability in first-order logic. The completeness theorem applies to any first-order theory: If T is such a theory, and φ is a sentence (in the same language) and every model of T is a model of φ, then there is a (first-order) proof of φ using the statements of T as axioms. One sometimes says this as "anything universally true is provable". This is in contrast, but not contradiction, to Gödel's incompleteness theorems, in which a formula true in only some models may not be provable. (en)
- En logique mathématique, le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre dresse une correspondance entre la sémantique et les démonstrations d'un système de déduction en logique du premier ordre. Théorème de complétude de la logique du premier ordre — Soit T une théorie de la logique du premier ordre. Soit une formule φ de la logique du premier ordre. Si φ est conséquence sémantique de T alors φ est conséquence syntaxique de T. (fr)
- Il teorema di completezza di Gödel è un teorema fondamentale della logica matematica ottenuto dal logico Kurt Gödel nel 1929. Esso stabilisce una corrispondenza tra validità logica e dimostrabilità logica nella logica del primo ordine. Un'importante conseguenza del teorema di completezza è che è possibile enumerare le conseguenze logiche di ogni teoria del primo ordine, enumerandone tutte le deduzioni corrette usando gli assiomi della teoria. (it)
- O Teorema da completude de Gödel é um importante teorema da lógica matemática, demonstrado originalmente por Kurt Gödel, em 1929. Ele defende, em sua forma mais usual, que toda fórmula logicamente válida pode ser demonstrada no cálculo de predicados de primeira ordem, isto é, existe uma derivação formal para esta fórmula. Tal derivação é uma lista finita de passos em que cada passo é obtido através de um axioma, ou de regras de inferência básicas aplicadas a passos anteriores. (pt)
- 哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。 (zh)
- Теорема Геделя про повноту — твердження про повноту класичного числення предикатів, доведене Куртом Геделем 1930 року. Теорема Геделя про повноту є однією з найважливіших теорем математичної логіки. Вона демонструє, що класичне числення предикатів містить всі логічні закони, які можуть бути подані через предикативні формули. (uk)
|
