| dbo:abstract
|
- Die Funktionalableitung auch Variationsableitung ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation. Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet. (de)
- In the calculus of variations, a field of mathematical analysis, the functional derivative (or variational derivative) relates a change in a functional (a functional in this sense is a function that acts on functions) to a change in a function on which the functional depends. In the calculus of variations, functionals are usually expressed in terms of an integral of functions, their arguments, and their derivatives. In an integral L of a functional, if a function f is varied by adding to it another function δf that is arbitrarily small, and the resulting integrand is expanded in powers of δf, the coefficient of δf in the first order term is called the functional derivative. For example, consider the functional where f ′(x) ≡ df/dx. If f is varied by adding to it a function δf, and the resulting integrand L(x, f +δf, f '+δf ′) is expanded in powers of δf, then the change in the value of J to first order in δf can be expressed as follows:where the variation in the derivative, δf ′ was rewritten as the derivative of the variation (δf) ′, and integration by parts was used. (en)
- La dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations. Elle exprime la variation d'une fonctionnelle résultant d'une variation infinitésimale de la fonction fournie en argument. Cet outil est principalement utilisé pour trouver les extremums d'une fonctionnelle. En physique il est souvent nécessaire de minimiser une fonctionnelle, par exemple en mécanique analytique où la trajectoire suivie par un système doit minimiser l'action (voir principe de moindre action). Cependant, la dérivée fonctionnelle n'est qu'une notation reprenant la définition de la différentielle, elle n'apporte pas de nouveaux concepts mathématiques par rapport à la différentiabilité d'une fonctionnelle. (fr)
- En las matemática y la física teórica, la derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con respecto a una variable, uno diferencia una funcional con respecto a una función. (es)
- In matematica e in fisica, la derivata funzionale è una generalizzazione della derivata direzionale. Mentre la derivata direzionale differenzia nella direzione di un vettore, la derivata funzionale differenzia nella direzione di una funzione. Entrambe possono essere viste come estensioni dell'usuale derivata. Quando si considerano spazi localmente convessi, la derivata funzionale è indicata come . In particolare, se si tratta di spazi di Banach è detta . In fisica teorica è usato un terzo tipo di derivata (euleriana), concettualmente più simile alla derivata parziale. Nel calcolo delle variazioni, i funzionali sono frequentemente espressi mediante l'integrale di funzioni. Se ad esempio si considera un integrando di un funzionale : con , se si varia aggiungendole un'altra funzione arbitrariamente piccola, e si espande l'integrando in potenze di , allora la variazione del valore di al primo ordine dello sviluppo in può essere espressa come: Il coefficiente di , denotato con , è la derivata funzionale di rispetto a nel punto . In questo caso, la derivata funzionale è il termine a sinistra nell'equazioni di Eulero-Lagrange: (it)
- 数学および理論物理学における汎函数微分（はんかんすうびぶん、英: functional derivative）は方向微分の一般化である。方向微分が有限次元のベクトルに関する微分法であるのに対して、汎函数微分は（無限次元ベクトルとしての）連続函数に対する微分法を与えるとされるが、単純な一変数微分積分学における一次元の微分を一般化したものと見做せる点では両者は共通している。汎函数微分の数学的に厳密な取扱いは函数解析学に属する。 (ja)
- В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления. Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются. (ru)
- Функціональна похідна є узагальненням похідної за напрямком. Різниця полягає в тому, що для останньої диференціювання проводиться в напрямку якого-небудь вектора, а для функціональної похідної мова йде про функцію. Обидва ці поняття можна розглядати як узагальнення звичайного диференціального числення. Існують два основних види функціональних похідних, відповідних загальному визначенню похідної Фреше та похідної Гато функції на банаховому просторі. На практиці вони часто не розрізняються. (uk)
- 在数学和理论物理中，泛函导数是方向导数的推广。后者对一个有限维向量求微分，而前者则对一个连续函数（可视为无穷维向量）求微分。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。数学里专门研究泛函导数的分支是泛函分析。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Die Funktionalableitung auch Variationsableitung ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation. Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet. (de)
- En las matemática y la física teórica, la derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con respecto a una variable, uno diferencia una funcional con respecto a una función. (es)
- 数学および理論物理学における汎函数微分（はんかんすうびぶん、英: functional derivative）は方向微分の一般化である。方向微分が有限次元のベクトルに関する微分法であるのに対して、汎函数微分は（無限次元ベクトルとしての）連続函数に対する微分法を与えるとされるが、単純な一変数微分積分学における一次元の微分を一般化したものと見做せる点では両者は共通している。汎函数微分の数学的に厳密な取扱いは函数解析学に属する。 (ja)
- В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления. Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются. (ru)
- Функціональна похідна є узагальненням похідної за напрямком. Різниця полягає в тому, що для останньої диференціювання проводиться в напрямку якого-небудь вектора, а для функціональної похідної мова йде про функцію. Обидва ці поняття можна розглядати як узагальнення звичайного диференціального числення. Існують два основних види функціональних похідних, відповідних загальному визначенню похідної Фреше та похідної Гато функції на банаховому просторі. На практиці вони часто не розрізняються. (uk)
- 在数学和理论物理中，泛函导数是方向导数的推广。后者对一个有限维向量求微分，而前者则对一个连续函数（可视为无穷维向量）求微分。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。数学里专门研究泛函导数的分支是泛函分析。 (zh)
- In the calculus of variations, a field of mathematical analysis, the functional derivative (or variational derivative) relates a change in a functional (a functional in this sense is a function that acts on functions) to a change in a function on which the functional depends. For example, consider the functional (en)
- La dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations. Elle exprime la variation d'une fonctionnelle résultant d'une variation infinitésimale de la fonction fournie en argument. Cet outil est principalement utilisé pour trouver les extremums d'une fonctionnelle. En physique il est souvent nécessaire de minimiser une fonctionnelle, par exemple en mécanique analytique où la trajectoire suivie par un système doit minimiser l'action (voir principe de moindre action). (fr)
- In matematica e in fisica, la derivata funzionale è una generalizzazione della derivata direzionale. Mentre la derivata direzionale differenzia nella direzione di un vettore, la derivata funzionale differenzia nella direzione di una funzione. Entrambe possono essere viste come estensioni dell'usuale derivata. Quando si considerano spazi localmente convessi, la derivata funzionale è indicata come . In particolare, se si tratta di spazi di Banach è detta . In fisica teorica è usato un terzo tipo di derivata (euleriana), concettualmente più simile alla derivata parziale. (it)
|
