| dbo:abstract
|
- Die fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden. (de)
- In mathematics, the falling factorial (sometimes called the descending factorial, falling sequential product, or lower factorial) is defined as the polynomial The rising factorial (sometimes called the Pochhammer function, Pochhammer polynomial, ascending factorial, rising sequential product, or upper factorial) is defined as The value of each is taken to be 1 (an empty product) when n = 0. These symbols are collectively calledfactorial powers. The Pochhammer symbol, introduced by Leo August Pochhammer, is the notation (x)n, where n is a non-negative integer. It may represent either the rising or the falling factorial, with different articles and authors using different conventions. Pochhammer himself actually used (x)n with yet another meaning, namely to denote the binomial coefficient . In this article, the symbol (x)n is used to represent the falling factorial, and the symbol x(n) is used for the rising factorial. These conventions are used in combinatorics, although Knuth's underline and overline notations and are increasingly popular. In the theory of special functions (in particular the hypergeometric function) and in the standard reference work Abramowitz and Stegun, the Pochhammer symbol (x)n is used to represent the rising factorial. When x is a positive integer, (x)n gives the number of n-permutations of an x-element set, or equivalently the number of injective functions from a set of size n to a set of size x. (en)
- El factorial descendente (a veces llamado producto secuencial descendente o factorial inferior) es un operador matemático que se define como El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer, polinomio de Pochhammer, producto secuencial ascendente, o factorial superior) se define a su vez como El valor de ambos se toma como 1 (un producto vacío) cuando n = 0. El símbolo de Pochhammer, introducido por el matemático prusiano Leo August Pochhammer (1841-1920), es la notación (x)n, donde n es un número natural. Dependiendo del contexto, el símbolo de Pochhammer puede representar el factorial ascendente o el factorial descendente tal como se definió anteriormente. Se debe tener cuidado para verificar qué interpretación se está utilizando en cada artículo en particular. Pochhammer en realidad utilizó la notación (x)n con otro significado, a saber, denotar el coeficiente binomial . En este artículo, el símbolo (x)n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x(n) se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se usan en combinatoria. En la teoría de funciones especiales (en particular, en la función hipergeométrica), el símbolo de Pochhammer (x)n se usa para representar el factorial ascendente.Una lista útil de fórmulas para manipular el factorial ascendente en esta última notación se da en . Knuth usa el término potencias factoriales para abarcar factoriales ascendentes y descendentes. Cuando x es un entero no negativo, (x)n da el número de n-permutaciones de un conjunto de elementos x, o equivalentemente, el número de posibles funciones injectivas de un conjunto de tamaño n sobre un conjunto de tamaño x. Sin embargo, para estos significados, otras notaciones como xPn y P (x, n) se usan comúnmente. El símbolo de Pochhammer sirve principalmente para usos más algebraicos, por ejemplo cuando x es una variable indeterminada, en cuyo caso (x)n designa un polinomio particular de grado n en x. (es)
- In matematica, per fattoriale crescente di con fattori si intende il prodotto della forma . Qui denota un intero naturale, mentre può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello). Per denotare la precedente espressione si usano varie notazioni: La prima notazione spesso utilizzata, soprattutto per studiare funzioni speciali, viene detta simbolo di Pochhammer, in quanto è stata introdotta dal matematico tedesco . Taluni, in combinatorica, usano il simbolo di Pochhammer per denotare il fattoriale decrescente di con fattori ; questa espressione usando il simbolo di Pochhammer sopra definito sarebbe data da Una notazione alternativa utilizzata da , Donald E. Knuth e nel loro libro Concrete Mathematics esprime rispettivamente il fattoriale crescente come e il fattoriale decrescente come Essa ha due pregi: distinguersi nettamente da altre notazioni ed evidenziare il parallelismo tra le due costruzioni. Per fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè Sia il fattoriale crescente che il fattoriale decrescente possono essere espressi mediante un coefficiente binomiale: Quindi le numerose identità riguardanti i coefficienti binomiali conducono a corrispondenti identità per i fattoriali crescenti e decrescenti. (it)
- 数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪（かいじょうべき、英: factorial power) は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) と上昇階乗冪 (rising factorial) とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある。 階乗冪は冪あるいは冪函数の類似であり、特殊函数論あるいは組合せ論に広く応用を持つ。 (ja)
- Potęgi kroczące – symbole wykorzystywane w kombinatoryce do oznaczania pewnych specyficznych wielomianów. Są dwa rodzaje potęg kroczących. (pl)
- 在数学中，階乘冪（英語：Factorial power）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（英語：Rising factorial）和遞降階乘（英語：Falling factorial），或稱上升階乘和下降階乘， (zh)
- Убывающий факториал (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториал) записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен Похгаммера, верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториал) определяется как Значение обоих факториалов принимается равным 1 для n = 0. Символ Похгаммера, который предложил Лео Август Похгаммер, — это обозначение , где — неотрицательное целое. В зависимости от контекста, символ Похгаммера может представлять убывающий факториал или возрастающий факториал, определённые выше. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации символа в каждой конкретной статье. Сам Похгаммер использовал обозначение с совершенно другим смыслом, а именно для обозначения биномиального коэффициента . В данной статье символ используется для представления убывающего факториала, а символ — для возрастающего факториала. Эти соглашения приняты в комбинаторике. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции) символ Похгаммера используется для представления возрастающего факториалаПолезный список формул для манипуляции с возрастающими факториалами в этой последней нотации дан в книге Люси Слейтер. Кнут использовал термин факториальные степени, которые включают возрастающие и убывающие факториалы Если x — неотрицательное целое число, то даёт число n-перестановок x-элементного множества или, эквивалентно, число инъекций из множества с n элементами в множество размера x. Однако для этих значений используются другие обозначения, такие как и P(x,n). Символ Похгаммера используется большей частью для алгебраических целей, например, когда x является неизвестной величиной, и в этом случае означает определённый многочлен от x степени n. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Die fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden. (de)
- 数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪（かいじょうべき、英: factorial power) は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) と上昇階乗冪 (rising factorial) とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある。 階乗冪は冪あるいは冪函数の類似であり、特殊函数論あるいは組合せ論に広く応用を持つ。 (ja)
- Potęgi kroczące – symbole wykorzystywane w kombinatoryce do oznaczania pewnych specyficznych wielomianów. Są dwa rodzaje potęg kroczących. (pl)
- 在数学中，階乘冪（英語：Factorial power）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（英語：Rising factorial）和遞降階乘（英語：Falling factorial），或稱上升階乘和下降階乘， (zh)
- In mathematics, the falling factorial (sometimes called the descending factorial, falling sequential product, or lower factorial) is defined as the polynomial The rising factorial (sometimes called the Pochhammer function, Pochhammer polynomial, ascending factorial, rising sequential product, or upper factorial) is defined as The value of each is taken to be 1 (an empty product) when n = 0. These symbols are collectively calledfactorial powers. (en)
- El factorial descendente (a veces llamado producto secuencial descendente o factorial inferior) es un operador matemático que se define como El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer, polinomio de Pochhammer, producto secuencial ascendente, o factorial superior) se define a su vez como El valor de ambos se toma como 1 (un producto vacío) cuando n = 0. (es)
- In matematica, per fattoriale crescente di con fattori si intende il prodotto della forma . Qui denota un intero naturale, mentre può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello). Per denotare la precedente espressione si usano varie notazioni: ; questa espressione usando il simbolo di Pochhammer sopra definito sarebbe data da e il fattoriale decrescente come Per fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè (it)
- Убывающий факториал (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториал) записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен Похгаммера, верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториал) определяется как Значение обоих факториалов принимается равным 1 для n = 0. (ru)
|
